2024~2025学年黑龙江省牡丹江市高三上学期11月月考数学试卷【有解析】

这是一份2024~2025学年黑龙江省牡丹江市高三上学期11月月考数学试卷【有解析】，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知集合，，，则实数a的取值集合为（ ）
A．B．C．D．
2．已知数列，则“”是“为等差数列”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．在平行六面体中，M为AC与BD的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ）．
A．B．
C．D．
4．已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
5．向量在向量上的投影为，且，则（ ）
A．B．C．D．
6．已知，则（ ）
A．1B．2C．3D．2
7．若等比数列的各项均为正数，且成等差数列，则（ ）
A．3B．6C．9D．18
8．对，不等式恒成立，则（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
二、多选题（本大题共3小题）
9．某次物理考试后，为分析学生的学习情况，某校从某年级中随机抽取了名学生的成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图．为进一步分析高分学生的成绩分布情况，计算得到这名学生中，成绩位于内的学生成绩方差为，成绩位于内的同学成绩方差为．则（ ）
A．
B．估计该年级成绩在分及以上的学生成绩的平均数为
C．估计该年级学生成绩的中位数约为
D．估计该年级成绩在分及以上的学生成绩的方差为
10．设复数，，则（ ）
A．的虚部为
B．的共轭复数为
C．
D．在复平面内，复数对应的点位于第四象限
11．函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．函数在上单调递增
C．若，则的最小值是1
D．把y=fx的图象向右平移2个单位长度，所得图象与函数y=fx的图象关于轴对称
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知，，与的夹角为，则 ．
13．正四面体中，，，则异面直线与所成角的正弦值为 ．
14．在三棱锥中，二面角的大小为，，，则三棱锥外接球表面积的最小值为 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．如图，中，角、、的对边分别为、、
(1)若，求角的余弦值大小；
(2)已知、，若为外接圆劣弧上一点，求周长的最大值.
16．在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，，且底面，与底面成角，且．
(1)求证：；
(2)当直线与平面所成角的正弦值为时，求的值．
17．如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，侧面是等边三角形，.
(1)求证：平面平面；
(2)设为侧棱上一点，四边形是过两点的截面，且平面，是否存在点，使得平面平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由.
18．踢毽子在我国流传很广，有着悠久的历史，是一项传统民间体育活动.某次体育课上，甲、乙、1丙、丁四人一起踢毽子.毽子在四人中传递，先从甲开始，甲传给乙、丙、丁的概率均为；当乙接到毽子时，乙传给甲、丙、丁的概率分别为，，；当丙接到毽子时，丙传给甲、乙、丁的概率分别为，，；当丁接到毽子时，丁传给甲、乙、丙的概率分别为，，.假设毽子一直没有掉地上，经过次传毽子后，毽子被甲、乙、丙、丁接到的概率分别为，，，，已知.
(1)记丁在前2次传毽子中，接到毽子的次数为，求的分布列；
(2)证明为等比数列，并判断经过150次传毽子后甲接到毽子的概率与的大小.
19．已知 ，函数，.
(1)当与都存在极小值，且极小值之和为时，求实数a的值；
(2)若，求证.
答案
1．【正确答案】C
【详解】由题意得，，∵，，
∴实数a的取值集合为,
故选:C.
2．【正确答案】B
【详解】对数列，设，显然满足，
但不是等差数列，故充分性不满足；
若为等差数列，设其公差为，则，
故必要性成立；
综上所述，“”是“为等差数列”的必要不充分条件.
故选：B.
3．【正确答案】A
【详解】因为在平行六面体中，，
所以.
故选：A.
4．【正确答案】D
【分析】设，把和用表示出来，根据等量关系求出的值，而，可得结果.
【详解】设，
则有，，，
可得，即，解得，
所以.
故选D.
5．【正确答案】A
【详解】由题意，，即，
又，则，即，
所以，，则.
故选：A．
6．【正确答案】C
【详解】由可得，
故选：C
7．【正确答案】C
【分析】先根据等比数列部分项成等差得出公比，再结合等比数列通项求值即可.
【详解】若等比数列的各项均为正数，所以公比，
且成等差数列，可得,
即得
可得，
所以.
故选C.
8．【正确答案】D
【详解】由得，
对于选项A、B，若，可令，不等式可化为，
当时，，
要使恒成立，则需，即恒成立，
∴，
当时，，
要使恒成立，则需，即恒成立，
∴，
∴，
当时，，
要使恒成立，则需，即恒成立，
∴，
综上可得，不存在使得不等式恒成立，选项A、B错误.
对于选项C、D，若，
∵
∴，
∴，
要使不等式恒成立，则需，
∵函数在为增函数，
∴函数有相同的零点，
由得，由得，，
∴，即，
∴，
∴，选项D正确.
故选D.
9．【正确答案】AD
【详解】对于A选项，在频率分布直方图中，所有直方图的面积之和为，
则，解得，故A正确；
对于B选项，估计成绩在分以上的同学的成绩的平均数为
分，故B错误；
对于C选项，前两个矩形的面积之和为
前三个矩形的面积之和为.
设该年级学生成绩的中位数为，则，
根据中位数的定义可得，解得，
所以，估计该年级学生成绩的中位数约为，故C错误；
对于D选项，估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的方差为
，故D正确.
故选：AD.
10．【正确答案】ABD
【详解】选项A：，其虚部为，故A正确．
选项B：，则的共轭复数为，故B正确．
选项C：因为，所以．
又，所以，故C不正确．
选项D：，其在复平面内对应的点为，位于第四象限，故D正确．
故选：ABD.
11．【正确答案】ACD
【详解】由图可知，，则，又及函数在上单调递减，所以，
所以，又函数过点12,0，所以，
所以，解得，
又且，即，即，所以，
所以，所以；
对于A：
，
又，，
即，又在上单调递增，
所以，即，
所以，则，故A正确；
对于B：当时，又在上单调递减，
所以在上单调递减，故B错误；
对于C：令，即，
则或，
解得或，
又，则的最小值是，故C正确；
对于D：把y=fx的图象向右平移个单位长度得到，
又，
所以与关于轴对称，故D正确.
故选：ACD
12．【正确答案】
【详解】由向量，，与的夹角为，可得，
所以.
故答案为.
13．【正确答案】/
【详解】从正方体中可截取一个正四面体，设正方体的边长为，
根据正方体的性质建立空间直角坐标系如图所示：
，
则，
所以，
则，
因为，，
所以，则，
所以，
根据，
则，
所以异面直线PQ与BD所成角的正弦值为.
故答案为.
14．【正确答案】
【详解】
取外心，外心，中点为，
则，，面，面
所以，，
设，
由正弦定理得，
余弦定理得，所以，
所以由正弦定理得，即，
所以，，，
在四边形中，
，
，
当且仅当时等号成立，
所以三棱锥外接球表面积最小值为，
故答案为.
15．【正确答案】(1)
(2)
【详解】（1）在中，由及正弦定理，得即，
则，整理得，而，即.
（2）在中，，
由余弦定理得，即，
于是，解得，当且仅当时取等号，
所以当时，周长取得最大值.
16．【正确答案】(1)证明见解析
(2)．
【详解】（1）如图，以点为原点，直线为轴，直线为轴建立坐标系．
那么，，，，．
故，
因为，
所以，即．
（2）因为，
所以，故，所以平面，
故平面的法向量
设直线与平面所成角为，则：
整理得，即．
17．【正确答案】(1)证明见解析
(2)存在，
【详解】（1）证明：在中，因，
所以，所以，又，
且，平面，所以平面，
又平面，
所以平面平面.
（2）假设存在点，使得平面平面.
取中点为，连接，则，
因为平面平面，
平面平面，
所以平面.
如图所示建立空间直角坐标系，
不妨设，则，，则，
设是平面的法向量，则，取.
设，其中.
则
连接，因平面平面，平面平面，故取与同向的单位向量.
设是平面的法向量，
则，取.
由平面平面，知，有，解得.
故在侧棱上存在点，使得平面平面.
18．【正确答案】(1)分布列见解析
(2)证明见解析，经过150次传毽子后甲接到毽子的概率大于
【详解】（1）的所有可能取值为0，1，
，
，
所以的分布列为
（2）当时，.
当时，，，，
所以，
因为，所以，
所以，所以，
因为，，所以，所以.
所以是首项为，公比的等比数列，
所以，即，
所以，
故经过150次传毽子后甲接到毽子的概率大于.
19．【正确答案】(1)1
(2)证明见解析
【详解】（1），定义域均为，
，
当时，则，在单调递增，无极值，与题不符；
当时，令，解得：，
所以在单调递减，在单调递增，
在取极小值，且；
又，
当时：，在单调递减，无极值，与题不符；
当时：令，解得：，
所以在单调递减，在单调递增，
在取极小值，且；
由题：，解得.
（2）令，因为，所以，
由可得：，
（1）-（2）得：，所以，
要证： ，只要证： ，只要证：
不妨设，所以只要证：，
即证：，令，只要证：，
令， ，
所以在上单调递增，
， 即有成立，所以成立.
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