云南省临沧地区中学2026届高三上学期入学模拟检测数学数学试题（解析版）

这是一份云南省临沧地区中学2026届高三上学期入学模拟检测数学数学试题（解析版），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知复数z1=12+32i，z2=-12+32i，则z=z1z2在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【解析】z=z1z2=12+32i-12+32i=(12+32i)(-12-32i)(-12+32i)(-12-32i)=12-32i，
在复平面对应点(12，-32)，在第四象限，
故选：D.
2．在空间中，α与β是不重合的两个平面，直线l⊥平面α，直线n/平面β，则“α//β”是“l⊥n”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】因为直线n/平面β，若α//β，则n//α或n⊂α，所以存在n1⊂α，使得n//n1，
因为直线l⊥平面α，n1⊂α，所以l⊥n1，
又因为n//n1，所以l⊥n；
若直线l⊥平面α，l⊥n，则n//α或n⊂α，若直线n/平面β，则不足以说明α//β，
比如让n和α与β的交线平行（假设α，β相交）且n不在α，β平面内，此时满足直线n/平面β，n/平面α，
但不满足α//β，
所以“α//β”是“l⊥n”的充分不必要条件.
故选：A.
3．为研究某地区疫情结束后一段时间内的复工率，用模型（1）和模型（2）模拟复工率y（%）与复工时间x（x的取值为5，10，15，20，25，30天）的回归关系：模型（1）y(1)=a+bx，模型（2）y(2)=ec+dx，设两模型的决定系数依次为R12和R22.若两模型的残差图分别如下，则（ ）
A．R12R22D．R12、R22关系不能确定
【答案】A
【解析】根据残差点图，模型（2）残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，带状区域宽度窄，拟合精度较高，所以R120， y>0，x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，则(a+b)2cd的最小值是（ ）
A．0B．1C．2D．4
【答案】D
【解析】∵x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列
根据等差数列和等比数列的性质可知：a+b=x+y，cd=xy，
(a+b)2cd=(x+y)2xy≥(2xy)2xy=4，
当且仅当x=y时取“=”.
6．已知抛物线E：y2=2pxp>0，O为坐标原点，点Q在直线x=-p2上，过点Q作E的两条切线，切点分别为A，B，若QA，QB分别交y轴于M，N两点，则OM⋅ON=（ ）
A．p2B．2p2C．p22D．p24
【答案】D
【解析】由题意知点Q在准线上，所以两条切线斜率必存在，设点Q(-p2，y0)，直线QA的解析式为y-y0=k1(x+p2)，即y=k1x+p2k1+y0，可得M(0，p2k1+y0)，
直线QB的解析式为y-y0=k2(x+p2)，即y=k2x+p2k2+y0，可得N(0，p2k2+y0).
联立直线QA和抛物线方程组得y=k1x+p2k1+y0y2=2px，消去y得(k1x+p2k1+y0)2=2px，
化简得k12x2+(pk12+2k1y0-2p)x+p24k12+y02+pk1y0=0，
由Δ=0得(pk12+2k1y0-2p)2-4k12(p24k12+y02+pk1y0)=0，化简得pk12+2k1y0-p=0，
根据对称性可知也有pk22+2k2y0-p=0，即k1，k2都是方程px2+2y0x-p=0的根，
根据韦达定理得k1+k2=-2y0p，k1k2=-pp=-1.
OM⋅ON=-(p2k1+y0)(p2k2+y0)=-p24k1k2-py02(k1+k2)-y02，
代入得OM⋅ON=-p24×(-1)-py02⋅2y0p-y02=p24.
故选：D.
7．在三棱锥A-BCD中，AB=BC=CD=DA=7，BD=23，二面角A-BD-C是钝角.若三棱锥A-BCD的体积为2，则A-BCD的外接球的表面积是（ ）
A．12πB．13πC．373πD．534π
【答案】B
【解析】如图1，取BD中点E，连接AE，CE，则AE⊥BD，CE⊥BD，又AE∩CE=E，AE，CE⊂平面AEC，所以BD⊥平面AEC，
VABCD=13S△AEC⋅BD=13S△AEC⋅23=2，所以S△AEC=3，
又AE=CE=(7)2-(3)2=2，
S△AEC=12AE⋅CEsin∠AEC=12×2×2×sin∠AEC=3，sin∠AEC=32，
又由AE⊥BD，CE⊥BD，知∠AEC为二面角A-BD-C的平面角，此角为钝角，
所以∠AEC=2π3，
所以AC=22+22-2×2×2×cs2π3=23=BD，
因此四面体ABCD可以放置在一个长方体中，四面体ABCD的六条棱是长方体的六个面对角线，如图2，
此长方体的外接球就是四面体ABCD的外接球，设长方体的棱长分别为a，b，c，
则a2+b2=7b2+c2=7c2+a2=12，解得a=6b=1c=6，
所以外接球的直径为2R=a2+b2+c2=13，R=132，
球表面积为S=4πR2=13π．
故选：B．
图1 图2
8．已知sinα+β=13，csα-β=23，则sinαcsβ+csβsinα+csαsinβ+sinβcsα=（ ）
A．-43B．43C．23D．-23
【答案】A
【解析】sinα+β=sinαcsβ+csαsinβ=13，csα-β=csαcsβ+sinαsinβ=23，∴cs2α+β=1-sin2α+β=89，sin2α-β=1-cs2α-β=59，
sin2α=sinα+β+α-β=sinα+βcsα-β+csα+βsinα-β=29+csα+βsinα-β，
sin2β=sinα+β-α-β=sinα+βcsα-β-csα+βsinα-β =29-csα+βsinα-β，
∴sin2α+sin2β=49，sin2αsin2β=481-cs2α+βsin2α-β=481-89×59=-49，
∴sinαcsβ+csβsinα+csαsinβ+sinβcsα=sinαsinβ+csαcsβsinβcsβ+csαcsβ+sinαsinβsinαcsα=23sinβcsβ+23sinαcsα=431sin2β+1sin2α=43×sin2α+sin2βsin2αsin2β=-43.
故选：A.
二、多选题
9．对任意向量a，b，下列关系式中恒成立的是（ ）
A．a→⋅b→≤a→·b→B．a+b≤a+b
C．a-b≤a-bD．a+b⋅a-b=a2-b2
【答案】ABD
【解析】A选项，a→⋅b→=a→·b→csθ=a→·b→csθ，其中θ为a，b的夹角，
由csθ≤1，可得a⋅b≤ab恒成立，故A正确；
B选项，由向量的加法法则可得：a+b≤a+b恒成立，当且仅当a，b同向或a，b中有零向量时等号成立，故B正确；
C选项，根据向量减法可得：a-b≥a-b，当且仅当a，b同向或a，b中有零向量时等号成立，
故a-b≤a-b不恒成立，故C错误；
D选项，根据数量积的运算律可得：a+b⋅a-b=a2-b2恒成立，故D正确.
故选：ABD.
10．已知直线4x+3y-12=0与x轴、y轴交于A，B两点，点P为圆C:(x-3)2+(y-4)2=4上的动点，则（ ）
A．直线AB与圆C相离B．△ABC 的面积为12
C．当∠PBA最小时，|PB|=5D．点P到直线AB距离的最大值为325
【答案】AC
【解析】由圆C:(x-3)2+(y-4)2=4，可得圆心为C(3，4)，半径为r=2，
对于A中，圆心坐标C到直线4x+3y-12=0的距离为d=|12+12-12|32+42=125>r=2，
所以直线AB与圆C相离，所以A正确；
对于B中，由点C到直线AB的距离为125，则△ABC的面积S△ABC=12×5×125=6，所以B项错误；
对于C中，如图所示，当∠PBA最小时，直线PB与圆相切，此时|PB|=BC2-4=5，所以C正确；
对于D中，由点P到直线AB距离的最大值为d+r=125+2=225，所以D错误．
故选：AC.
11．已知函数f(x)=-x3+ax2+bx+1(a，b∈R)，则下列说法正确的有（ ）
A．若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在-∞，x0上单调递减
B．当a=1时，若f(x)在R上单调递减，则b≤-1
C．当b=0时，若f(x)有3个零点，则a的取值范围为-∞，-3322
D．若不等式f(x)>-1的解集为{x|x0，hx单调递增.
故hx≥h1=32.
令函数mx=x2ex-1x>0，则m'x=x2-xex-1，
当x∈0，2时，m'x>0，mx单调递增；
当x∈2，+∞时，m'xx2ex-1，从而原命题得证.
19．已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P(1，63)在椭圆上，且直线PF1与PF2的斜率之积为-23．
（1）求C的方程；
（2）直线l:y=kx+m(k>0，m>0)与C交于M，N两点，与y轴交于点A，与x轴交于点B．
（ⅰ）若A，B恰为弦MN的两个三等分点，求直线l的方程；
（ⅱ）若点B与点F1重合，线段MN的垂直平分线与x轴交于点Q，求|MN||QF1|的值．
解：（1）将点P1，63代入C的方程得：1a2+23b2=1①，
设C的焦距为2c(c>0)，则F1(-c，0)，F2(c，0)，
故kPF1⋅kPF2=631+c×631-c=-23，解得c=2②，
又a2=b2+c2③，由①②③解得b2=1或a2=3，
所以C的方程为x23+y2=1．
（2）（ⅰ）由题，A(0，m)，B-mk，0，设Mx1，y1，Nx2，y2，O为坐标原点，
因为A，B恰为弦MN的两个三等分点，所以BA→=NB→=AM→，
则OA=12(OB+OM)，即x1-mk=0，12y1=m，解得x1=mky1=2m，所以Mmk，2m，
又OB=12(OA+ON)，即x2=-2mk，12y2+m2=0，解得x2=-2mk，y2=-m，所以N-2mk，-m，
将点M，N的坐标代入C的方程得m23k2+4m2=1，4m23k2+m2=1，解得k2=13，m2=15，
因为k>0，m>0，所以k=33，m=55，
所以直线l的方程为y=33x+55．
（ⅱ）由题直线l过点F1(-2，0)，所以l:y=k(x+2)，
与椭圆方程联立y=k(x+2)，x23+y2=1，得1+3k2x2+62k2x+6k2-3=0，
Δ=12k2+12>0，
设Mx1，y1，Nx2，y2，则x1+x2=-62k21+3k2，x1x2=6k2-31+3k2，
所以|MN|=1+k2x2-x1=1+k2x1+x22-4x1x2=1+k272k41+3k22-46k2-31+3k2=23×1+k21+3k2，
又y1+y2=kx1+x2+22=k-62k21+3k2+22=22k1+3k2，
所以MN中点为-32k21+3k2，2k1+3k2，
所以MN的垂直平分线方程为y-2k1+3k2=-1kx+32k21+3k2，
令y=0得x=-22k21+3k2，故Q-22k21+3k2，0，
所以QF1=-22k21+3k2+2=2×1+k21+3k2，
所以|MN|QF1=6．