重庆市名校联盟2024-2025学年高三上学期第一次联合考试数学试题

这是一份重庆市名校联盟2024-2025学年高三上学期第一次联合考试数学试题，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．若集合，，则下面结论中正确的是（ ）
A．B．
C． D．
2．记为数列的前n项和，则“任意正整数，均有”是“是递增数列”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．已知向量，，，若点，，能构成三角形，则实数不可以是（ ）
A．B．C．1D．
4．已知，则的值是（ ）
A．B．C．D．
5．已知函数在点处的切线与曲线只有一个公共点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
6．数学活动小组由12名同学组成，现将12名同学平均分成四组分别研究四个不同课题，且每组只研究一个课题，并要求每组选出一名组长，则不同的分配方案的种数为
A．B．C．D．
7．血氧饱和度是呼吸循环的重要生理参数.人体的血氧饱和度正常范围是，当血氧饱和度低于时，需要吸氧治疗，在环境模拟实验室的某段时间内，可以用指数模型：描述血氧饱和度随给氧时间t（单位：时）的变化规律，其中为初始血氧饱和度，K为参数.已知，给氧1小时后，血氧饱和度为.若使得血氧饱和度达到，则至少还需要给氧时间（单位：时）为（ ）
（精确到0.1，参考数据：）
A．0.3B．0.5C．0.7D．0.9
8．若的内角满足，则（ ）
A．的最大值为B．的最大值为
C．A的最小值为D．的最小值为
二、多选题
9．已知的展开式中，二项式系数之和为64，下列说法正确的是（ ）
A．2，n，10成等差数列
B．各项系数之和为64
C．展开式中二项式系数最大的项是第3项
D．展开式中第5项为常数项
10．甲、乙两支田径队的体检结果为：甲队体重的平均数为，方差为200，乙队体重的平均数为，方差为300，又已知甲、乙两队的队员人数之比为，则下列说法正确的是（ ）
A．甲、乙两队全部队员的平均体重是
B．甲、乙两队全部队员的平均体重是
C．甲、乙两队全部队员的方差是296
D．甲、乙两队全部队员的方差是306
11．设函数，则（ ）
A．的最大值为B．
C．曲线存在对称轴D．曲线存在对称中心
三、填空题
12．复数，则复数z的实部与虚部之和是 .
13．若函数在其定义域的一个区间内不单调，则实数的取值范围是 .
14．已知平面向量，，满足，，，则 ，若，则的最大值为 .
四、解答题
15．已知各项均为正数的等差数列的前三项和为12，等比数列的前三项和为，且，.
(1)求和的通项公式；
(2)设，其中，求数列的前20项和.
16．已知
(1)求的单调递增区间；
(2)若函数在区间上恰有两个零点，
①求的取值范围；
②求的值.
17．随着社会经济的发展，个人驾驶已经逐渐成为一项成年人的基本技能.某免费“驾考App”软件是驾校学员的热门学习工具，该软件设置每天最多为一个学员提供5次模拟考试机会.学员小张经过理论学习后，准备利用该App进行模拟考试，若他每次的通过率均为，且计划当出现第一次通过后，当天就不再进行模拟考试，否则直到利用完该软件当天给的所有模拟考试机会为止.
(1)求学员小张最多利用两次机会就通过模拟考试的概率；
(2)若学员小张每次模拟考试用10分钟，求他一天内模拟考试花费的时间X的期望.
18．2023年8月27日，哈尔滨马拉松在哈尔滨音乐公园音乐长廊鸣枪开跑，比赛某补给站平面设计图如图所示，根据需要，在设计时要求，，

(1)若，，求的值；
(2)若，四边形ABCD面积为4，求的值．
19．已知函数（其中，）.
(1)当，，记的导函数为，证明：恒成立；
(2)指出的对称中心，并说明理由；
(3)已知，设函数，若对任意的恒成立，求的最小值.
《重庆市名校联盟2024-2025学年高三上学期第一次联合考试数学试题》参考答案
1．D
【难度】0.94
【知识点】判断元素与集合的关系、判断两个集合的包含关系
【分析】根据集合与集合的关系、元素与集合的关系可得B、C错误，再根据为无理数可得正确的选项.
【详解】因为表示元素，表示集合，故B、C错误.
因为不是自然数，所以，且不成立，故A也错误，D正确，
故选：D.
【点睛】本题考查元素与集合的关系、集合与集合的关系的判断，一般地，集合与集合之间用包含或不包含，
2．A
【难度】0.65
【知识点】判断命题的充分不必要条件、判断数列的增减性
【分析】根据与的关系，利用作差法，可判断充分性，取特殊例子，可判断必要性，即得答案.
【详解】当时，则，
∴，即数列是递增数列，
所以“对任意正整数n，均有”是“为递增数列”的充分条件；
取数列为，显然数列是递增数列，但是不一定大于零，
所以“对任意正整数n，均有”不是“为递增数列”的必要条件，
因此“对任意正整数n，均有”是“为递增数列”的充分不必要条件.
故选：A.
3．C
【难度】0.65
【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、由向量共线（平行）求参数
【分析】求与，使之共线并求出的值，即可得解．
【详解】因为，
．
假设三点共线，则，即．
所以只要，则三点即可构成三角形.
故选：C
4．D
【难度】0.85
【知识点】诱导公式二、三、四、诱导公式五、六
【解析】将代数式中的角用表示，利用诱导公式即可求出所求代数式的值.
【详解】.
故选：D.
【点睛】本题考查利用诱导公式求三角函数值，解题时要将角利用已知角加以表示，考查计算能力，属于基础题.
5．B
【难度】0.65
【知识点】已知切线（斜率）求参数、导数的加减法
【分析】求出切线方程，再对分和讨论即可.
【详解】由得，
所以切线方程是，
①若，则曲线为，显然切线与该曲线只有一个公共点，
②若，则，
即，
由，即，
得或，
综上:或或.
故选：B.
6．A
【难度】0.65
【知识点】分组分配问题
【详解】将这12名同学平均分成四组分别研究四个不同课题,且每组只研究一个课题
只需每个课题依次选三个人即可，共有中选法，最后选一名组长各有3种，
故不同的分配方案为：，
故选A.
7．B
【难度】0.85
【知识点】对数的运算性质的应用、利用给定函数模型解决实际问题
【分析】依据题给条件列出关于时间t的方程，解之即可求得给氧时间至少还需要的小时数.
【详解】设使得血氧饱和度达到正常值，给氧时间至少还需要小时，
由题意可得，，两边同时取自然对数并整理，
得，，
则，则给氧时间至少还需要小时
故选： B
8．A
【难度】0.65
【知识点】利用余弦函数的单调性求参数、正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、基本不等式求和的最小值
【分析】利用正弦定理边化角，再利用余弦定理和基本不等式求解即可.
【详解】由题意结合正弦定理有：，结合余弦定理可得：
，
，
当且仅当时等号成立，
所以，的最小值是，
又余弦函数在上单调递减得，的最大值为.
故选：A.
9．ABD
【难度】0.85
【知识点】等差中项的应用、二项式系数的增减性和最值、二项式的系数和、二项展开式各项的系数和
【分析】先根据二项式系数之和求出n的值，再令可求系数和，根据展开式的总项数可得二项式系数最大项，利用展开式的通项公式求第5项.
【详解】由的二项式系数之和为，得，得2，6，10成等差数列，A正确；
令，，则的各项系数之和为64，B正确；
的展开式共有7项，则二项式系数最大的项是第4项，C不正确；
的展开式中的第5项为为常数项，D正确.
故选:ABD
10．AC
【难度】0.65
【知识点】计算几个数的平均数、估计总体的方差、标准差
【分析】依题意利用各样本平均数和方差与总体平均数和方差的关系式，代入公式计算即可求得结果.
【详解】根据题意可知，甲、乙两队的队员在所有队员中所占权重分别为；
又甲队体重的平均数为，乙队体重的平均数为，
所以甲、乙两队全部队员的平均体重是，即可得A正确，B错误；
乙两队全部队员的方差是，可知C正确，D错误.
故选：AC
11．ABC
【难度】0.65
【知识点】函数基本性质的综合应用
【分析】函数，
对于A：分别求出分子分母的范围，即可求出的最大值；
对于B：借助于，判断出；
对于C：分析出和的对称轴即可
对于D：利用对称中心的定义进行验证.
【详解】
作出的图像，如图示：
对于A：∵分子，分母，
∴，故A正确；
对于B：考虑，故B正确；
对于C：∵是的对称轴，也是的对称轴，
∴是的对称轴，故C正确；
对于D：∵不可能为常数，故D错误.
故选：ABC
【点睛】（1）多项选择题是2020年高考新题型，需要要对选项一一验证；
（2）对于非基本初等函数的单调性、奇偶性、周期性、最值等性质，利用定义法进行分析.
12．
【难度】0.85
【知识点】求复数的实部与虚部、复数代数形式的乘法运算
【分析】先化简求得再计算实部和虚部的和即可.
【详解】，故实部和虚部之和为.
故答案为：
13．
【难度】0.85
【知识点】根据极值点求参数
【分析】只需函数的极值点在区间内，再利用为定义域的真子集即可求出实数的取值范围.
【详解】解：函数的定义域是，
所以，即.
因为，
所以在上单调递增，
由，可得
若函数在区间内不单调，
则，解之可得，
又因为，所以.
故答案为：.
14．
【难度】0.4
【知识点】已知数量积求模、数量积的坐标表示、轨迹问题——圆
【分析】空1，利用向量的数量积的定义求解即可；空2，先建立平面直角坐标系，再设，则点在圆上运动，结合三角函数范围得出，即可求解.
【详解】空1，因为，，，
所以；

空2，以为坐标原点，所在直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，
不妨设，由题知，则，
故可设，，设，
则，
即点在圆上运动，令，
故
，
所以的最大值为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：关键在于建立坐标系，求得点的轨迹方程，进而三角代换利用辅助角公式求得最大值.
15．(1)，
(2)
【难度】0.85
【知识点】求等差数列前n项和、等比数列通项公式的基本量计算、求等比数列前n项和、分组（并项）法求和
【分析】（1）设出等差数列、等比数列的基本量，根据题意得到关于基本量的方程组进行求解；
（2）利用分组法和等差数列、等比数列的求和公式进行求解.
【详解】（1）解：设等差数列的首项为、公差为，
等差数列的首项为、公比为，
由题意，得，
解得，，，，
所以，；
（2）解：由题知的前20项和
，
即.
16．(1)
(2)①或②
【难度】0.4
【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、求含sinx(型)函数的值域和最值、辅助角公式、三角恒等变换的化简问题
【分析】（1）根据降幂公式，二倍角的正弦公式，辅助角公式化简函数的解析式，结合正弦函数单调性进行求解即可；
（2）①利用换元法，结合数形结合思想进行求解即可；②根据正弦函数的性质进行求解即可.
【详解】（1）
，
结合正弦函数的图象与性质可得：当，
即时，函数单调递增，
所以函数的单调递增区间为；
（2）①令，当时，，，
所以，

所以要使在区间上恰有两个零点，的取值范围为或；
②设是函数的两个零点（即），
由正弦函数图象性质可知，即，
所以.
17．(1)
(2)
【难度】0.65
【知识点】互斥事件的概率加法公式、独立事件的乘法公式、求离散型随机变量的均值、均值的性质
【分析】（1）借助独立事件的概率乘法公式和互斥事件加法概率公式计算即可得；
（2）求出一天内模拟考试的次数的所有可能取值，计算相应概率，代入数学期望公式求解的期望，借助期望的性质求得模拟考试花费时间X的期望即可.
【详解】（1）设学员小张恰第i次通过模拟考试的概率为，则，，
所以，学员小张最多利用两次机会就通过模拟考试的概率为.
（2）设表示一天内模拟考试的次数，则，
由题意知：，，，，，
所以，
因为，所以，
所以小张一天内模拟考试花费的时间X的期望为分钟.
18．(1)
(2)
【难度】0.65
【知识点】逆用和、差角的余弦公式化简、求值、正弦定理解三角形、余弦定理解三角形
【分析】（1）中求出BD，在中，由正弦定理求出，根据即可求；
（2）在、中，分别由余弦定理求出，两式相减可得与的关系式；又由的与的关系式；两个关系式平方后相加即可求出﹒
【详解】（1）在中，∵，则
∴．
在中，由正弦定理得，，
∴．
由，得，
∴，
∴．
（2）在、中，由余弦定理得，
，
，
从而①，
由得，
②，
得，，
即，
∴．
19．(1)证明见解析
(2)的对称中心为，理由如解析
(3)
【难度】0.15
【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数研究不等式恒成立问题
【分析】（1）根据给定条件，求出函数的导数，再判断导数值为正即可.
（2）利用对称中心的定义，计算推理即得.
（3）求出函数及其导数，再按分类讨论并求出函数的最小值，建立不等式，构造函数，利用导数求出最小值即可.
【详解】（1）函数的定义域为，当时，，
所以恒成立.
（2）的对称中心为，理由如下：
依题意，
，
所以的对称中心为.
（3）函数，定义域为，
求导得，
当时，，在R上单调递增，
当时，，的取值范围为，
因此当时，函数的取值范围为，不合题意；
当时，由，得，在上单调递增，
由，得，在上单调递减，
故函数在处取得最小值，，
由对任意的恒成立，得，即成立，
因此，
设
当时，；
当时，，
所以函数在上递减，在上递增，
则，即，当且仅当时取等号，
所以的最小值为.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
A
C
D
B
A
B
A
ABD
AC
题号
11









答案
ABC