2024~2025学年江西省宜春市高三上册10月月考数学试卷[有解析]

这是一份2024~2025学年江西省宜春市高三上册10月月考数学试卷[有解析]，共27页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 命题“”的否定是（ ）
A. B.
C. D.
2. 已知复数，（其中为虚数单位），且，则=（ ）
A. B. C. D.
3. 已知函数，则“”是“函数在上单调递增”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4. 函数图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
5. 已知函数，，若方程有且仅有5个不相等的整数解，则其中最大整数解和最小整数解的和等于（ ）
A. B. 28C. D. 14
6. 已知（其中为自然对数底数），，，则（ ）
A. B.
C. D.
7. 已知函数，则满足的x的取值范围为（ ）
A. 1,+∞B.
C. D.
8. 已知正三棱锥，满足，，，，点在底面上，且，则点的轨迹长度为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题
9. 定义在上的偶函数满足，当时，.设函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 的图象关于直线对称
B. 在区间上单调递增
C.
D. 图象与的图象所有交点的横坐标之和为12
10. 已知，，且，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
11. “”可以看作数学上的无穷符号，也可以用来表示数学上特殊的曲线.如图所示的曲线过坐标原点上的点到两定点的距离之积为定值.则下列说法正确的是（ ）（参考数据：）
A. 若，则的方程为
B. 若上的点到两定点的距离之积为16，则点在上
C. 若，点在上，则
D. 当时，上第一象限内的点满足的面积为，则
三、填空题
12. 在展开式中，的系数为______．
13. 对于实数a，b，定义新运算：设函数，当时，函数的值域为______．
14. 甲、乙、丙三个人去做相互传球训练，训练规则是确定一人第一次将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，每次必须将球传出．如果第一次由甲将球传出，设次传球后球在甲手中的概率为，则______；______．
四、解答题
15. 某公园为了提升公园形象，提高游客旅游的体验感，他们更新了部分设施，调整了部分旅游线路.为了解游客对新措施是否满意，随机抽取了100名游客进行调查，男游客与女游客的人数之比为2:3，其中男游客有35名满意，女游客有15名不满意.
（1）完成列联表，依据表中数据，以及小概率值的独立性检验，能否认为游客对公园新措施满意与否与性别有关?
（2）从被调查的游客中按男、女分层抽样抽取5名游客.再随机从这5名游客中抽取3名游客征求他们对公园进一步提高服务质量的建议，其中抽取男游客的人数为.求出的分布列及数学期望.
参考公式：，其中.
参考数据：
16. 在中，角所对的边分别为，且.
（1）求角；
（2）若，求的长.
17. 如图，在三棱柱中，是以BC为斜边的等腰直角三角形，点D为棱的中点，棱上的点M满足平面，．
（1）求线段AM的长；
（2）若点E为棱BC的中点，且平面ABC，求直线与平面所成角的正弦值．
18. 已知函数．
（1）若函数与的图象关于点对称，求的解析式；
（2）当时，，求实数m的取值范围；
（3）判断函数在的零点个数，并说明理由．
19. 已知抛物线：的焦点为，过点的直线与相交于点，，面积的最小值为（为坐标原点）.按照如下方式依次构造点：的坐标为，直线，与的另一个交点分别为，，直线与轴的交点为，设点的横坐标为.
（1）求的值；
（2）求数列的通项公式；
（3）数列中，是否存在连续三项（按原顺序）构成等差数列？若存在，指出所有这样的连续三项；若不存在，请说明理由.
2024-2025学年江西省宜春市高三上学期10月月考数学检测试题
一、单选题
1. 命题“”的否定是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】D
【分析】根据全称量词命题的否定为特称量词命题判断即可.
【详解】命题“”为全称量词命题，
则其否定为.
故选：D
2. 已知复数，（其中为虚数单位），且，则=（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】利用复数乘方求出复数，再利用复数除法求出及共轭复数.
【详解】依题意，，由，得，
所以.
故选：A
3. 已知函数，则“”是“函数在上单调递增”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【正确答案】B
【分析】根据给定条件，求出函数在上单调递增等价条件，再利用充分条件、必要条件的定义判断即得.
【详解】由函数在上单调递增，得，解得，
所以“”是“函数在上单调递增”的必要不充分条件.
故选：B
4. 函数的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】A
【分析】求出函数的零点排除两个选项，再求出函数的极大值，结合图形即可判断得解.
【详解】函数定义域为R，由，得或，即函数有两个零点，BC错误；
，当时，，当时，，
函数在上单调递增，在上单调递减，
因此函数在处取得极大值，D错误，A符合题意.
故选：A
5. 已知函数，，若方程有且仅有5个不相等的整数解，则其中最大整数解和最小整数解的和等于（ ）
A. B. 28C. D. 14
【正确答案】A
【分析】利用换元法结合一元二次方程根的分布，数形结合计算即可.
【详解】先作出的大致图象，如下

令，则，
根据的图象可知：要满足题意必须有两个不等根，
且有两个整数根，有三个整数根，
结合对勾函数和对数函数的图象与性质知，两函数相切时符合题意，
因为，当且仅当时取得等号，
又，易知其定义域内单调递减，
即，此时有两个整数根或，
而要满足有三个整数根，结合图象知必有一根小于2，
显然只有符合题意，当时有，则，
解方程得的另一个正根为，
又，
此时五个整数根依次是，
显然最大的根和最小的根和为.
故选：A
6. 已知（其中为自然对数的底数），，，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】根据的单调性可判断大小，在构造新函数，对其求导根据其单调区间，在根据单调性，可判断大小.
【详解】因为在上单调递增，在上单调递增，
所以，即，
设，则，
当时，，所以在上单调递减，
所以，可得，
由在上递增，可得，即，
综上可得.
故选：A
7. 已知函数，则满足x的取值范围为（ ）
A. 1,+∞B.
C. D.
【正确答案】B
【分析】由奇偶函数的定义得出为偶函数，当时，令，由导数判断其单调性进而得出在上单调递增，根据抽象函数不等式解法求解即可．
【详解】由题意得，的定义域为，，
因为，
所以为偶函数，
当时，令，则，
因为和在上单调递增，所以，
所以在上单调递增，
所以在上单调递增．
由，得，所以，
两边平方并整理，得，解得．
故选：B．
8. 已知正三棱锥，满足，，，，点在底面上，且，则点的轨迹长度为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】设为等边三角形的中心，求出，求出点到的距离可得点轨迹是以点为圆心以为半径，且与的三边各有2个交点的三段相等圆弧，求出圆弧所对的圆心角可得答案.
【详解】
，
设为等边三角形的中心，则平面，
连接，则，
所以，
，
而点到的距离为，
点到的距离为，
所以点轨迹是以点为圆心，以为半径，
且与的三边各有2个交点的三段相等圆弧，如图，
设圆弧与相交于两点，作，则，
，所以，可得，
可得点的轨迹在内部的弧所对的圆心角为，
则弧长为.
故选：C.
关键点点睛：解题的关键点是确定点的轨迹.
二、多选题
9. 定义在上的偶函数满足，当时，.设函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 的图象关于直线对称
B. 在区间上单调递增
C.
D. 的图象与的图象所有交点的横坐标之和为12
【正确答案】AC
【分析】根据函数是偶函数及对称性得出函数周期及对称性判断A,根据函数值结合对称性判断C,应用函数对称性结合单调性判断B,数形结合判断的图象与的图象所有交点个数再结合对称性判断D.
【详解】对于A，因为为偶函数，故，
故，所以，故的图象关于直线对称，故A正确.
对于B，由A中分析可得是周期函数且周期为，
故当时，，故，故B错误.
对于C，由是周期为2的函数可得：，故C正确.
对于D，因为，故的图象关于对称，
而，且时，此时在1,+∞上为增函数，
故fx,gx图象如图所示：

由图可得的图象与的图象共有10个交点，所有交点的横坐标之和为10，故D错误.
故选：AC
10. 已知，，且，则下列说法正确是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】BCD
【分析】由基本不等式得，即可判断A；由基本不等式得，即可判断B；由基本不等式及指数运算即可判断C；根据基本不等式“1”的妙用，得出，即可判断D．
【详解】对于A，，即，当且仅当，即时等号成立，故A错误；
对于B，，
当且仅当，即时等号成立，故B正确；
对于C，，
当且仅当，即时等号成立，故C正确；
对于D，因为，所以，
所以
，
当且仅当，即时等号成立，故D正确；
故选：BCD．
11. “”可以看作数学上的无穷符号，也可以用来表示数学上特殊的曲线.如图所示的曲线过坐标原点上的点到两定点的距离之积为定值.则下列说法正确的是（ ）（参考数据：）
A. 若，则的方程为
B. 若上的点到两定点的距离之积为16，则点在上
C. 若，点在上，则
D. 当时，上第一象限内的点满足的面积为，则
【正确答案】ACD
【分析】设上的点为Px,y，整理可得的轨迹方程为.对于A：直接代入即可；对于B：可得，代入检验即可得；对于C：根据的轨迹方程为代入点整理可得，换元构建函数，可知为在内的零点，结合二次函数的性质分析判断；对于D：根据题意可得，，结合勾股定理分析求解.
【详解】设上的点为Px,y，可得，
整理可得，即轨迹方程为.
对于选项A：若，即，
所以的轨迹方程为，故A正确；
对于选项B：因为若上的点到两定点的距离之积为16，
即，，可得，
对于点，显然，所以点不在上，故B错误；
对于选项C：若，则的轨迹方程为，
代入点可得，整理可得，
令，可得，
令，可知为在内的零点，
因为的图象开口向上，对称轴为，可知在内单调递增，
且f2=−50，
可知fx在内存在唯一零点，且，即，故C正确；
对于选项D：若，则，
且点在第一象限内，则，
又因为的面积为，
可得，且，则，
可得，
则，即，
，即，
所以，故D正确；
故选：ACD.
关键点点睛：对于选项C：根据题意分析可得，换元构建函数，将方程的根转化为函数零点，结合零点存在性定理分析判断.
三、填空题
12. 在的展开式中，的系数为______．
【正确答案】35
【分析】合理对原式进行变形，再利用二项式定理求解即可.
【详解】由题意得，
而由二项式定理得的通项为，
令，解得，令，解得，
则含有的项为，
即的系数为35．
故35.
13. 对于实数a，b，定义新运算：设函数，当时，函数的值域为______．
【正确答案】0,2
【分析】先分、去掉的绝对值，再作差判断的范围，进而得到的解析式，进而求值域.
【详解】当时,,
则，
令,，
则,对称轴为，开口向下，
所以在上单调递减，此时
所以，
此时
当时,,
则，
令，
则,对称轴为，开口向上，
所以在上单调递增，
此时，
所以,
此时；
终上所述，.
故0,2.
14. 甲、乙、丙三个人去做相互传球训练，训练规则是确定一人第一次将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，每次必须将球传出．如果第一次由甲将球传出，设次传球后球在甲手中的概率为，则______；______．
【正确答案】 ①. ##0.25 ②.
【分析】设出事件，由题意得到，由互斥事件概率加法公式和全概率公式得到概率的递推式，接着构造等比数列,求出其通项公式即得.
【详解】设“经过次传球后，球在甲的手中”，则事件的概率即，则
依题意，，则
，
即，(*)
因代入解得，，；
由（*）可得，，且，
故数列是以为首项，为公比的等比数列，
于是，，则得，.
故；.
四、解答题
15. 某公园为了提升公园形象，提高游客旅游的体验感，他们更新了部分设施，调整了部分旅游线路.为了解游客对新措施是否满意，随机抽取了100名游客进行调查，男游客与女游客的人数之比为2:3，其中男游客有35名满意，女游客有15名不满意.
（1）完成列联表，依据表中数据，以及小概率值的独立性检验，能否认为游客对公园新措施满意与否与性别有关?
（2）从被调查的游客中按男、女分层抽样抽取5名游客.再随机从这5名游客中抽取3名游客征求他们对公园进一步提高服务质量的建议，其中抽取男游客的人数为.求出的分布列及数学期望.
参考公式：，其中.
参考数据：
【正确答案】（1）联表见详解，不能.
（2）分布列见详解，
【分析】（1）根据男游客与女游客的人数的比值,结合卡方计算公式进行计算求解即可；
（2）根据超几何分布的性质，结合数学期望公式进行求解即可.
【小问1详解】
因为调查的男游客人数为：，所以，调查的女游客人数为，于是可完成列联表如下：
零假设为：游客对公园新措施满意与否与性别无关.根据列联表中的数据，可得：
，
根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为成立，即游客对公园新措施满意与否与性别无关；
【小问2详解】
由（1）可知男游客抽2人，女游客抽3人，依题意可知的可能取值为0，1，2，并且服从超几何分布，即，，.
所以的分布列为：
.
16. 在中，角所对的边分别为，且.
（1）求角；
（2）若，求的长.
【正确答案】（1）
（2）或
【分析】(1)变形后利用余弦定理可求；
(2)先将代入可得，再将代入得，联立方程组解得，由此将向量用表示，求解向量的模可得.
【小问1详解】
由得，
则由余弦定理得，
，.
【小问2详解】
由，解得①，
，，则②，
联立①②可得，，或.
，，
则，且，
所以，
当时，，则长为；
当时，，则长为.
综上所述，的长为或.
17. 如图，在三棱柱中，是以BC为斜边的等腰直角三角形，点D为棱的中点，棱上的点M满足平面，．
（1）求线段AM的长；
（2）若点E为棱BC的中点，且平面ABC，求直线与平面所成角的正弦值．
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）由线面平行的性质定理可证得，再由面面平行的性质定理证得，由为的中点，可知为的中点，即可求出线段AM的长；
（2）以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，分别求出直线的方向向量与平面的法向量，由线面角公式求解即可.
【小问1详解】
取的中点，连接，延长交于点，连接，
在中，是中点，D为棱的中点，所以，
，三棱柱中，，，
在上，则四点共面，
因为平面，平面，
平面平面，所以，
因为，，根据题意，
所以是平行四边形，则，则为的中点，
平面平面，平面平面，
平面平面，则，
因为，为的中点，，
则为的中点，所以，
【小问2详解】
因为平面ABC，是以BC为斜边的等腰直角三角形，
点E为棱BC的中点，所以，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
因为平面ABC，平面ABC，所以，，
，
所以，
所以，
所以，
，
设平面的法向量为，则，
取，可得，所以，
设直线与平面所成角为，
所以，
线与平面所成角的余弦值为.
18. 已知函数．
（1）若函数与的图象关于点对称，求的解析式；
（2）当时，，求实数m的取值范围；
（3）判断函数在的零点个数，并说明理由．
【正确答案】（1）
（2）
（3）零点个数为1，理由见解析
【分析】（1）结合函数的对称中心求出函数解析式；
（2）根据给定区间恒成立求参转化为最值问题；
（3）先把方程转化，再构造新函数，应用导函数得出单调性结合零点存在定理得出结果.
【小问1详解】
由题意得，．
【小问2详解】
由题意得，，
令，解得，
所以当时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以的最大值为，
由于时，，
所以实数m的取值范围为
【小问3详解】
令，则，整理得，
令，则，
当时，．所以在上单调递减，
又，
所以由零点存在性定理得，在上存在唯一零点．
当时，，此时函数无零点．
综上所述，在上存在唯一零点，即函数在上的零点个数为1．
19. 已知抛物线：的焦点为，过点的直线与相交于点，，面积的最小值为（为坐标原点）.按照如下方式依次构造点：的坐标为，直线，与的另一个交点分别为，，直线与轴的交点为，设点的横坐标为.
（1）求的值；
（2）求数列的通项公式；
（3）数列中，是否存在连续三项（按原顺序）构成等差数列？若存在，指出所有这样的连续三项；若不存在，请说明理由.
【正确答案】（1）
（2）
（3）不存在，理由见解析
【分析】（1）设直线与相关点的坐标，然后联立抛物线和直线方程，利用韦达定理计算出需要的值，最后表示出面积，计算其最值，求出即可；
（2）利用抛物线中点弦定理，求出相关直线方程，然后表示出，然后找到两者关系，最后利用其关系求得通项公式即可；
（3）利用等差中项的判断方式，判断数列不可能存在连续三项是等差数列.
【小问1详解】
设直线，Ax1,y1,Bx2,y2
联立，得，
得
由韦达定理可知：
由题可知：
因为面积的最小值为，且，
所以.
【小问2详解】
设，
由题可知，，两式求差可得
所以，
所以直线方程为，整理得
同理：方程为：
令可得
可知，方程为：
因为过焦点12,0，所以有
方程为：
令可得
由，可知
因为，
得
取对数可得
由题可知，
所以数列是以为首项，2为公比的等比数列；
所以有
解得
【小问3详解】
不存在，理由如下
假设存在，则一定有
因为，得
化简得
因为
显然
所以在无解；
故不存在连续三项为等差数列.
关键点点睛：第一问，可以利用常规的计算方式计算，也可以利用抛物线的焦点三角形的面积公式（为直线倾斜角）判断即可，最好证明该二级结论；
第二问，主要是需要找到关系，所以需要多建立直线方程，最好用相同的容易计算的方式，所以利用中点弦定理，建立方程，比较容易计算，得到，此种数列，去对数求解即可;
第三问，判断是否存在连续三项为等差数列，假设存在，然后直接用反证法证明即可.
满意
不满意
总计
男游客
35
女游客
15
合计
100
0.10
0.05
0.010
0005
2.706
3.841
6.635
7.879
满意
不满意
总计
男游客
35
女游客
15
合计
100
0.10
0.05
0.010
0.005
2.706
3.841
6.635
7.879
满意
不满意
总计
男游客
35
5
40
女游客
45
15
60
合计
80
20
100
0
1
2