湖南省长沙市长郡中学2025-2026学年高一上学期综合能力检测（入学考试）数学试卷含精品解析

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时量:90分钟 满分:120分
一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.)
1. “致中和，天地位焉，万物育焉.”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑、器物、标志等作品的设计上.下列学校的校徽图案是轴对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
2. 下列命题错误的个数有（ ）
①平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；②在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等；③三个点确定一个圆；④反比例函数 的图象在一、三象限，y随x 的增大而减小；⑤三角形的内心到各边的距离相等，三角形的外心是三条边垂直平分线的交点.
A. 1个B. 2个
C. 3个D. 4个
3. 神舟二十号发射窗口时间恰逢第十个“中国航天日”.为激发青少年探索浩瀚宇宙的兴趣，学校组织900名师生乘车前往航空科技馆参观，计划租用45 座和60座两种客车(两种客车都要租)，若每位学生和老师都有座位且每辆客车都没有空座位，则租车方案有（ ）
A. 3种B. 4种
C. 5种D. 6种
4. 两个二次函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
5. 如图，反比例函数的图象经过两点，过点作轴于点，过点作轴于点，连接，.若，，则的值是（ ）
A. -12B. -9
C -6D. -3
6. 如图，为半圆上一条弦，将沿着弦对折，折叠后的弧恰好与半圆的直径相切于点，若，则 的值是（ ）

A. B. C. D.
二、填空题(本题共6小题，每小题6分，共36分.)
7. 分解因式：_______.
8. 已知，则锐角的取值范围是____________.
9. 在一个不透明的布袋中装有三个球，球上分别标有数字 这些球除了数字以外完全相同.现随机摸出一个小球，记下数字m，放回后搅匀再摸出一个球，记下数字n，则使得二次函数的图象不经过第四象限的概率为__________.
10. 对于定义了一种新运算，规定.若关于的不等式组恰好有 3个整数解，则实数的取值范围是__________ .
11. 我们把自变量为的函数记作，表示自变量时函数的值，对于实数，令表示不超过的最大整数，例如，，，令 那么_______.
12. 已知函数现有下列五个结论：①图象过点 ；②图象的最低点坐标为；③图象无最高点且分为两段；④若 P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)在图象上，且 则 ；⑤若在图象上， 且 则 其中正确的结论有________.(填写序号)
三、解答题(本题共5 小题，14、15 小题每小题9分，其余每小题12 分，共54分.)
13. （1）计算: ；
（2）先化简，再求值:其中
14. 学校计划租用客车送师生到某红色基地，参加主题为“缅怀先烈，强国有我”的研学活动，请阅读下列材料，并完成相关问题.
（1）两种型号的客车每辆载客量分别是多少?
（2）本次研学活动学校最少租车费用是多少?
15. 已知方程 (k为常数).
（1）求证：该方程恒有两个不相等实数根；
（2）设该方程的两个实根为 ，求 的最小值.
16. 如图1，已知内接于⊙O，，延长AO交BC于E点，交⊙O于点F，D是劣弧上一点，连接AD并延长交BC 的延长线于点M，连接CD.

（1）求证:；
（2）若，求CD的长；
（3）如图2，连接BD分别交线段AF和线段AC于点G和点H，若且，请用含n的值表示的值.
17. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，且对称轴为直线，直线与抛物线交于两点，与轴交于点.
（1）求抛物线的解析式；
（2）时，直线与轴交于点，与直线交于若抛物线与线段有公共点，求的取值范围；
（3）过点与垂直的直线交抛物线于两点，分别是的中点.试探究：当变化时，抛物线的对称轴上是否存在定点，使得总是平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.材料一
租车公司有两种型号的客车可供租用，在每辆车满员情况下，每辆型客车比每辆型客车多载客15人；用型客车载客600人与用型客车载客450人的车辆数相同.
材料二
型客车租车费用为 3200 元/辆；型客车租车费用为 3000元/辆.优惠方案：租用型客车辆，租车费用元/辆；租用型客车，租车费用打八折.
材料三
租车公司最多提供8辆型客车；学校参加研学活动师生共有530人，租用两种型号客车共10辆.