北京市北京师范大学附属实验中学2024-2025学年高三下学期统练（四）数学试题（含答案解析）

这是一份北京市北京师范大学附属实验中学2024-2025学年高三下学期统练（四）数学试题（含答案解析），共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题，六；判断命题的充分不必要条件等内容，欢迎下载使用。

一、单选题(本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分)
1. ，，且，则实数取值的集合是（ ）
2. 若复数满足，则复数的虚部是（ ）
3. 的展开式中，常数项等于（ ）
4. 设向量，若，则（ ）
5. 已知函数，则不等式的解集为（ ）
6. 在中，“”是“”的（ ）
7. 已知平面直角坐标系中，动点到的距离与点到轴的距离的差为2，则的轨迹方程是（ ）
8. 有一个木制工艺品，其形状是一个圆柱被挖去一个与其共底面的圆锥．已知圆柱的底面半径为3，高为5，圆锥的高为4，则这个木质工艺品的体积为（ ）
9. 已知且，则下列结论中不正确的是（ ）
10. 已知函数，则（ ）
二、填空题(本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分)
11. 设是等比数列，，，则______．
12. 若双曲线的一条渐近线方程为，则______；离心率______．
13. 无穷数列的前n项和记为．若是递增数列，而是递减数列，则数列的通项公式可以为____．
14. 在中，，为的中点，为线段上的一个动点，则的最小值为______．
15. 已知数列．给出下列四个结论：
①；
②；
③为递增数列；
④，使得．
其中所有正确结论的序号是__________．
三、解答题(本大题共 6 小题，每小题 9 分，共 54 分)
16. 已知函数．
(1)求函数的最小正周期；
(2)在下列三个条件中，选择一个作为已知，使得实数的值唯一确定，求函数在上的最小值．
条件①：的最大值为；
条件②：的一个对称中心为；
条件③：的一条对称轴为．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
17. 如图，梯形，所在的平面互相垂直，，，，，，点为棱的中点．
(1)求证：平面；
(2)求二面角的余弦值；
(3)判断直线与平面是否相交，如果相交，求出到交点的距离；如果不相交，求直线到平面的距离．
18. 为了解客户对A，B两家快递公司的配送时效和服务满意度情况，现随机获得了某地区客户对这两家快递公司评价的调查问卷，已知A，B两家公司的调查问卷分别有120份和80份，全部数据统计如下：
假设客户对A，B两家快递公司的评价相互独立，用频率估计概率.
(1)从该地区选择A快递公司的客户中随机抽取1人，估计该客户对A快递公可配送时效的评价不低于75分的概率：
(2)分别从该地区A和B快递公司的样本调查问卷中，各随机抽取1份，记X为这2份问卷中的服务满意度评价不低于75分的份数，求X的分布列和数学期望：
(3)记评价分数为“优秀”等级，为“良好”等级，为“一般”等级､已知小王比较看重配送时效的等级，根据该地区A，B两家快递公司配送时效的样本评价分数的等级情况，你认为小王选择A，B哪家快递公司合适？说明理由，
19. 已知椭圆的一个顶点为，离心率为．
(1)求椭圆的方程；
(2)不经过点的直线与椭圆交于不同的两点，，且．记，的面积分别为，，求的值．
20. 已知函数，．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，求函数的单调递减区间；
(3)若函数在区间上只有一个极值点，求a的取值范围．
21. 已知集合，对于，，定义与之间的距离为．
(1)已知，写出所有的，使得；
(2)已知，若，并且，求的最大值；
(3)设集合，中有个元素，若中任意两个元素间的距离的最小值为，求证：．
北京市北京师范大学附属实验中学2024-2025学年高三下学期统练（四）数学试题
整体难度：适中
考试范围：集合与常用逻辑用语、复数、计数原理与概率统计、平面向量、函数与导数、三角函数与解三角形、平面解析几何、空间向量与立体几何、等式与不等式、数列、推理与证明
试卷题型
试卷难度
细目表分析
知识点分析
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
第20题：
第21题：
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．15
C．
D．20
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
A．或
B．或
C．或
D．或
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．不是周期函数
C．在区间上存在极值
D．在区间内有且只有一个零点
快递公司
A快递公司
B快递公司
项目
份数
评价分数
配送时效
服务满意度
配送时效
服务满意度
29
24
16
12
47
56
40
48
44
40
24
20
题型
数量
单选题
10
填空题
5
解答题
6
难度
题数
容易
4
较易
5
适中
10
较难
2
题号
难度系数
详细知识点
一、单选题
1
0.85
根据并集结果求集合或参数；集合元素互异性的应用
2
0.94
求复数的实部与虚部；复数的除法运算
3
0.65
求二项展开式的第k项
4
0.94
向量模的坐标表示；平面向量线性运算的坐标表示；由向量共线（平行）求参数
5
0.65
一次函数的图像和性质；指数函数图像应用
6
0.94
已知正（余）弦求余（正）弦；诱导公式五、六；判断命题的充分不必要条件
7
0.85
求平面轨迹方程；根据抛物线方程求焦点或准线
8
0.85
求组合体的体积；柱体体积的有关计算；锥体体积的有关计算
9
0.65
对数的运算；由基本不等式比较大小
10
0.65
函数极值的辨析；诱导公式五、六；求余弦（型）函数的最小正周期
二、填空题
11
0.94
等比数列下标和性质及应用
12
0.85
根据双曲线的渐近线求标准方程；求双曲线的离心率或离心率的取值范围
13
0.85
构造法求数列通项；判断数列的增减性
14
0.65
数量积的运算律；基本不等式求积的最大值
15
0.4
判断数列的增减性；由递推数列研究数列的有关性质；根据数列递推公式写出数列的项
三、解答题
16
0.65
求含sinx(型)函数的值域和最值；求正弦（型）函数的最小正周期；三角恒等变换的化简问题
17
0.65
空间位置关系的向量证明；面面角的向量求法；面面垂直证线面垂直
18
0.65
写出简单离散型随机变量分布列；求离散型随机变量的均值；用频率估计概率
19
0.65
根据a、b、c求椭圆标准方程；椭圆中的定值问题
20
0.65
利用导数求函数的单调区间（不含参）；根据极值点求参数；求在曲线上一点处的切线方程（斜率）
21
0.4
反证法证明；集合新定义
序号
知识点
对应题号
1
集合与常用逻辑用语
1,6,21
2
复数
2
3
计数原理与概率统计
3,18
4
平面向量
4,14
5
函数与导数
5,9,10,20
6
三角函数与解三角形
6,10,16
7
平面解析几何
7,12,19
8
空间向量与立体几何
8,17
9
等式与不等式
9,14
10
数列
11,13,15
11
推理与证明
21