四川省成都外国语学校2024-2025学年高三下学期6月期末模拟（零诊模拟）考试数学试题（含答案及解析）

这是一份四川省成都外国语学校2024-2025学年高三下学期6月期末模拟（零诊模拟）考试数学试题（含答案及解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分)
1. 记等差数列的前项和为.若，，则（ ）
2. 若焦点在轴上的椭圆的离心率为，则的值为（ ）
3. 已知随机变量，若，则（ ）
4. 在的二项展开式中的系数为（ ）
5. 有2位老师和4名学生排成一队照相，老师既不能分开也不排在首尾，则不同的排法有（ ）.
6. 若函数存在极值点，则实数的取值范围为（ ）
7. 函数图象上的点到直线的距离的最小值为（ ）
8. 若函数有2个零点，则实数的取值范围是（ ）
二、多选题(本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分)
9. 如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设第n层有个球，从上往下n层球的总数为，则（ ）
10. 已知圆和直线，点P在直线l上运动，直线、分别与圆C相切于点，则下列说法正确的是（ ）
11. 如图，正四棱锥每一个侧面都是边长为4的正三角形，若点M在四边形ABCD内（包含边界）运动，N为PD的中点，则（ ）
三、填空题(本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分)
12. 直线：被圆：截得的弦AB的长为______.
13. 设两个等差数列的前项和分别为，若对任意正整数都有，则的值为__________.
14. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，过且斜率为的直线交双曲线右支于点（在第一象限），的内心为，直线交轴于点，且，则双曲线的离心率为____________．
四、解答题(本大题共 5 小题，每小题 10 分，共 50 分)
15. 已知数列的首项，且满足．
(1)求证：数列为等比数列；
(2)记，数列的前n项和，证明：．
16. 某高校在今年的自主招生考试中制定了如下的规则：笔试阶段，考生从6道备选试题中一次性抽取3道题，并独立完成所抽取的3道题，至少正确完成其中2道试题则可以进入面试．已知考生甲能正确完成6道试题中的4道题，另外2道题不能完成．
(1)求考生甲能通过笔试进入面试的概率；
(2)记所抽取的三道题中考生甲能正确完成的题数为，求的分布列和数学期望．
17. 如图，在四棱锥中，，，,点在上，且，．
(1)若为线段中点，求证：平面．
(2)若平面，求平面与平面夹角的余弦值．
18. 如图，双曲线的左､右焦点，分别为双曲线的左､右顶点，过点的直线分别交双曲线的左､右两支于两点，交双曲线的右支于点（与点不重合），且与的周长之差为2.
(1)求双曲线的方程；
(2)若直线交双曲线的右支于两点.
①记直线的斜率为，直线的斜率为，求的值；
②试探究：是否为定值？并说明理由.
19. 帕德近似是法国数学家亨利帕德发明的用有理数多项式近似特定函数的方法，给定两个正整数，函数在处的阶帕德近似定义为，且满足：...已知在处的阶帕德近似为.注：，
(1)求实数的值；
(2)求证：；
(3)求不等式的解集，其中，
四川省成都外国语学校2024-2025学年高三下学期6月期末模拟（零诊模拟）考试数学试题
整体难度：适中
考试范围：数列、平面解析几何、计数原理与概率统计、函数与导数、空间向量与立体几何
试卷题型
试卷难度
细目表分析
知识点分析
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
A．
B．
C．
D．
A．
B．9
C．
D．12
A．
B．1
C．2
D．4
A．
B．
C．
D．
A．32种
B．64种
C．96种
D．144种
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．数列的前n项和的值可能为
D．
A．切线长的最小值为
B．四边形面积的最小值为4
C．当最小时，弦所在的直线方程为
D．弦所在直线必过定点
A．当M为AD的中点时，异面直线MN与PC所成角为
B．当平面PBC时，点M的轨迹长度为
C．当时，点M到AB的距离可能为
D．存在一个体积为的圆柱体可整体放入正四棱锥内
题型
数量
单选题
8
多选题
3
填空题
3
解答题
5
难度
题数
容易
3
较易
4
适中
7
较难
5
题号
难度系数
详细知识点
一、单选题
1
0.65
利用等差数列的性质计算；求等差数列前n项和
2
0.85
由椭圆的离心率求参数的取值范围
3
0.94
二项分布的均值；二项分布的方差
4
0.94
求指定项的系数
5
0.85
元素（位置）有限制的排列问题；排列组合综合；分步乘法计数原理及简单应用；实际问题中的组合计数问题
6
0.85
根据极值点求参数
7
0.65
求在曲线上一点处的切线方程（斜率）；求点到直线的距离；两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题
8
0.4
根据函数零点的个数求参数范围；利用导数研究函数的零点
二、多选题
9
0.65
累加法求数列通项；裂项相消法求和；由递推关系式求通项公式
10
0.65
直线过定点问题；由标准方程确定圆心和半径；切线长；切点弦及其方程
11
0.4
面积、体积最大问题；异面直线夹角的向量求法；证明线面平行；由线面平行求线段长度
三、填空题
12
0.94
圆的弦长与中点弦
13
0.65
利用等差数列的性质计算；两个等差数列的前n项和之比问题
14
0.4
利用定义解决双曲线中焦点三角形问题；求双曲线的离心率或离心率的取值范围
四、解答题
15
0.65
由定义判定等比数列；裂项相消法求和
16
0.85
写出简单离散型随机变量分布列；求离散型随机变量的均值；计算古典概型问题的概率
17
0.65
证明线面平行；面面角的向量求法；线面垂直证明线线垂直
18
0.4
根据a、b、c求双曲线的标准方程；双曲线中的定值问题；根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围；根据韦达定理求参数
19
0.4
利用导数证明不等式；利用导数研究不等式恒成立问题；导数的乘除法；导数新定义
序号
知识点
对应题号
1
数列
1,9,13,15
2
平面解析几何
2,7,10,12,14,18
3
计数原理与概率统计
3,4,5,16
4
函数与导数
6,7,8,11,19
5
空间向量与立体几何
11,17