北京市中国人民大学附属中学2024-2025学年高三下学期5月热身练习数学试题

这是一份北京市中国人民大学附属中学2024-2025学年高三下学期5月热身练习数学试题，共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题(本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分)
1. 已知集合，则（ ）
2. 在复平面内，复数，对应的点位于（ ）
3. 的展开式中的系数是（ ）
4. 等差数列的首项为1，公差不为0，若成等比数列，则的前6项和为（ ）
5. 历史上，在5月27日曾有多次地震记录．例如：2006年5月27日，印尼爪哇发生里氏6.3级地震，2024年5月27日，四川木里县发生里氏5.0级地震，经过科学家的研究发现，地震时释放出来的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为．印尼爪哇地震所释放出来的能量约是四川木里地震的（ ）倍．（精确到1．参考数据：）
6. 在平面直角坐标系xOy中，双曲线的中心在坐标原点，焦点在y轴上，一条渐近线的方程为，则它的离心率为（ ）
7. 已知直线与圆相交于A，B两点，则|的最小值为（ ）
8. 在中，“”是“为锐角三角形”的（ ）
9. 已知为等腰直角三角形，为直角，直角边长为2，点P在三角形所在平面上，向量为单位向量，点D满足，则的最大值为（ ）
10. 如图，已知两个四棱锥与的公共底面是边长为2的正方形，顶点在底面的同侧．棱锥的高，分别为AB、CD的中点，与交于点E，与交于点F，则四棱锥的体积为（ ）
二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分)
11. 函数的定义域为______.
12. 抛物线的准线与圆相切，则p的值为_______．
13. 已知函数，若函数有三个零点，则实数m的取值范围为_________．
14. 设数列的前n项的和为，若对任意的，都有，则称数列为“超神数列”，下列命题中，正确的有________．
①存在递增数列，使得它是“超神数列”；
②存在周期数列，使得它是“超神数列”；
③存在等差数列，使得它是“超神数列”；
④若为等比数列，对于任意，存在，使得为超神数列．
三、解答题(本大题共 6 小题，每小题 10 分，共 60 分)
15. 在四棱锥中，四边形为边长为4的正方形，．从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知．
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面所成角的余弦值．
条件①，平面平面；
条件②：；
条件③，．
16. 已知函数．
(1)若，求的值；
(2)若在一个周期内的部分取值如下表，：
求的解析式及单调增区间．
17. 自动驾驶是依靠人工智能、视觉计算、雷达、监控装置和全球定位系统协同合作，让自动驾驶系统可以在没有人类主动的操作下，自动安全地操作机动车辆的技术，其安全性备受人们的关注．2015年起，美国加州机动车管理局要求获得自动驾驶道路测试资质的公司每年1月1日之前上交一份自动驾驶年度报告，总结道路测试总里程数，以及过程中所经历的所有自动驾驶脱离事件，脱离事件是指在自动驾驶系统遇到无法处理的情况时，由驾驶员人工干预的事件．每次脱离平均行驶里程（MPD值，Miles per Disengagement），代表自动驾驶汽车每行驶多少里程才需要人工干预一次，它由一家公司报告的总里程数除以总脱离次数得到，这是衡量一辆自动驾驶汽车“驾驶水平”的重要指标之一．从《加州2023年自动驾驶脱离报告》中选取了9家公司的数据．
(1)从表中随机抽取一家中国公司和一家美国公司，求抽到的中国公司比抽到的美国公司MDP值高的概率；
(2)从表中的9家公司随机抽取3家，求至少有2家MPD值大于10000的概率；
(3)有人认为根据《加州2023年自动驾驶脱离报告》的数据，可以说明百度公司的自动驾驶技术已经全面超越谷歌公司．你是否同意此观点?并说明你的理由．
18. 已知．
(1)当时，求函数的极值点和极值；
(2)时，求函数在上的最小值；
(3)若不等式的解集非空，求a取值范围．
19. 椭圆的左、右焦点分别为，点P为椭圆E上动点．当P点在长轴端点时， ；当P点在短轴端点时，．过作直线的垂线，过作直线的垂线，直线的交点为Q．
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)若四边形为平行四边形，求平行四边形的面积；
(3)若点P在第一象限，点Q在椭圆E上，求点P坐标．
20. 设和M均为正整数，是两两不同的M元集合组成的集合序列，若存在，使得，就称Q中存在“三叶草”，并称为Q中的一片三叶草．
(1)若，分别直接判断以下集合序列中是否存在三叶草，存在的请写出一片相应的三叶草：
，
；
(2)若满足，其中，，证明：Q中不存在三叶草；
(3)若，其中，证明：Q中一定存在三叶草．
北京市中国人民大学附属中学2024-2025学年高三下学期5月热身练习数学试题
整体难度：适中
考试范围：集合与常用逻辑用语、等式与不等式、复数、计数原理与概率统计、数列、函数与导数、平面解析几何、三角函数与解三角形、平面向量、空间向量与立体几何
试卷题型
试卷难度
细目表分析
知识点分析
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
第20题：
A．
B．
C．
D．
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
A．
B．35
C．5
D．
A．51
B．66
C．
D．6
A．87
B．88
C．89
D．90
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
A．4
B．
C．5
D．6
A．
B．
C．
D．
x
0
m
公司
所属国家
测试总里程（英里）
脱离次数
MPD值
百度
中国
108300
6
18050
谷歌Waym
美国
1454137
110
13219
通用Cruise
美国
831040
68
12221
比亚迪
中国
32054
3
10684
小马智行
中国
174845
27
6475
Nur
美国
68762
34
2022
Zx
美国
67015
42
1595
小米
中国
12272
8
1534
苹果
美国
7544
64
117
题型
数量
单选题
10
填空题
4
解答题
6
难度
题数
容易
1
较易
7
适中
8
较难
4
题号
难度系数
详细知识点
一、单选题
1
0.85
交集的概念及运算；解不含参数的一元二次不等式
2
0.85
复数的除法运算；判断复数对应的点所在的象限；复数的乘方
3
0.65
求指定项的系数；两个二项式乘积展开式的系数问题
4
0.65
求等差数列前n项和；等差数列通项公式的基本量计算；等比中项的应用
5
0.85
对数的运算性质的应用；对数函数单调性的应用
6
0.85
求双曲线的离心率或离心率的取值范围
7
0.85
求平面两点间的距离；圆的弦长与中点弦
8
0.94
判断命题的必要不充分条件；逆用和、差角的余弦公式化简、求值
9
0.4
数量积的运算律；向量与几何最值
10
0.4
锥体体积的有关计算；证明线面垂直
二、填空题
11
0.85
具体函数的定义域；求对数型复合函数的定义域
12
0.85
由直线与圆的位置关系求参数；根据抛物线方程求焦点或准线
13
0.65
根据函数零点的个数求参数范围
14
0.4
等比数列通项公式的基本量计算；数列新定义；求等比数列前n项和；利用an与sn关系求通项或项
三、解答题
15
0.65
证明线面垂直；面面角的向量求法
16
0.65
已知三角函数值求角；求sinx型三角函数的单调性；由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）；逆用和、差角的正弦公式化简、求值
17
0.65
计算古典概型问题的概率
18
0.65
利用导数研究能成立问题；由导数求函数的最值（含参）；求已知函数的极值；求已知函数的极值点
19
0.65
椭圆中三角形（四边形）的面积；椭圆中存在定点满足某条件问题；根据a、b、c求椭圆标准方程
20
0.4
集合新定义
序号
知识点
对应题号
1
集合与常用逻辑用语
1,8,20
2
等式与不等式
1
3
复数
2
4
计数原理与概率统计
3,17
5
数列
4,14
6
函数与导数
5,11,13,18
7
平面解析几何
6,7,12,19
8
三角函数与解三角形
8,16
9
平面向量
9
10
空间向量与立体几何
10,15