河北省沧衡名校联盟2024-2025学年高三下学期开学考试数学试题

这是一份河北省沧衡名校联盟2024-2025学年高三下学期开学考试数学试题，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分)
1. 若集合，，则（ ）
2. 若复数z满足，为复数z的共轭复数，则（ ）
3. 一个骰子投掷两次，两次点数之和等于8的概率为（ ）
4. 已知中，点为上一点，为的平分线，，若，，则（ ）
5. 已知函数的最小正周期T满足，且该函数的图象关于点中心对称，则的值为（ ）
6. 已知双曲线的渐近线与圆在第一象限交于点，点为的左焦点，且的中点在该双曲线的渐近线上，则该双曲线的离心率为（ ）
7. 已知定义域为的函数，若对定义域中任意，都有，且，则（ ）
8. 已知四棱锥中，底面是周长为的矩形，点为与的交点，且底面，平面与平面的夹角的余弦值为，则四棱锥的体积的最大值为（ ）
二、多选题(本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分)
9. 已知等差数列的前n项和为，满足，，则下列说法正确的是（ ）
10. 已知，，且，则下列说法正确的是（ ）
11. 已知，B，C三点都在抛物线C：上，抛物线C的焦点为F，则下列说法正确的是（ ）
三、填空题(本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分)
12. 棱长为2的正方体的外接球表面积与内切球表面积的比值为______．
13. 已知曲线与直线有两个公共点，则实数k的取值范围为______．
14. 已知数列满足，，，，则______．
四、解答题(本大题共 5 小题，每小题 6 分，共 30 分)
15. 已知中，内角所对的边分别为，且满足．
(1)求角的值；
(2)若点为的中点，求的值．
16. 已知函数，．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若关于x的不等式恒成立，求实数m的取值范围．
17. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是直角梯形，侧棱底面ABCD，，，，，点M是棱SC的中点．
(1)求证：平面；
(2)求直线SA与平面所成角的正弦值；
(3)求平面与平面夹角的大小．
18. 在平面直角坐标系中，已知点，直线与x轴交于点K，动点M满足，记点M的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)已知过坐标原点O且斜率为的直线与曲线C交于，两点，过点F且斜率为的直线与圆O：交于，两点，且，在x轴同侧．
①求证：；
②若点关于O的对称点为，请探究：当k变化时，直线与曲线C的位置关系，并说明理由．
19. 已知数列G：，若满足（其中k为常数，），则称数列G为k常数型数列．
(1)若数列，，，2，6为k常数型数列，求，，k的值；
(2)若数列G为k常数型数列，（其中c为正整数），且满足，求证：数列G中至少存在两个相等的项；
(3)已知数列G为递增数列，且，n为奇数，若，，则为数列G中的项，求证：数列G为等差数列．
河北省沧衡名校联盟2024-2025学年高三下学期开学考试数学试题
整体难度：适中
考试范围：集合与常用逻辑用语、等式与不等式、复数、计数原理与概率统计、平面向量、三角函数与解三角形、平面解析几何、函数与导数、空间向量与立体几何、数列
试卷题型
试卷难度
细目表分析
知识点分析
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
A．
B．
C．
D．
A．-1
B．1
C．-i
D．i
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．1
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．2
A．
B．
C．
D．0
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．记，的前n项和为，则
A．的最小值为
B．的最小值为3
C．的最小值为
D．的最小值为
A．点F的坐标为
B．若，O为坐标原点，则直线BC过定点
C．若的重心为F，则直线BC的方程为
D．若直线AB，AC是圆的两条切线，则直线BC的斜率为
题型
数量
单选题
8
多选题
3
填空题
3
解答题
5
难度
题数
容易
3
较易
7
适中
7
较难
2
题号
难度系数
详细知识点
一、单选题
1
0.94
交集的概念及运算；解不含参数的一元二次不等式
2
0.94
共轭复数的概念及计算；复数的除法运算
3
0.94
计算古典概型问题的概率
4
0.85
向量的线性运算的几何应用；平面向量基本定理的应用
5
0.85
利用正弦函数的对称性求参数
6
0.85
已知方程求双曲线的渐近线；求双曲线的离心率或离心率的取值范围
7
0.65
函数奇偶性的应用
8
0.65
由导数求函数的最值（不含参）；锥体体积的有关计算；线面垂直证明线线垂直
二、多选题
9
0.85
等差数列通项公式的基本量计算；分组（并项）法求和；利用等差数列的性质计算；求等差数列前n项和
10
0.65
基本不等式求积的最大值；条件等式求最值；基本不等式求和的最小值；基本不等式“1”的妙用求最值
11
0.65
直线与抛物线交点相关问题；根据韦达定理求参数；由直线与圆的位置关系求参数
三、填空题
12
0.85
球的表面积的有关计算；多面体与球体内切外接问题
13
0.65
由直线与圆的位置关系求参数；直线过定点问题
14
0.65
由递推关系式求通项公式；等差中项的应用；对数的运算；等差数列通项公式的基本量计算
四、解答题
15
0.85
余弦定理解三角形；数量积的运算律；向量加法法则的几何应用
16
0.65
利用导数研究不等式恒成立问题；含参分类讨论求函数的单调区间
17
0.85
证明线面垂直；面面角的向量求法；线面角的向量求法
18
0.4
轨迹问题——椭圆；讨论椭圆与直线的位置关系；圆的弦长与中点弦；求椭圆中的弦长
19
0.4
由递推关系证明数列是等差数列；数列新定义
序号
知识点
对应题号
1
集合与常用逻辑用语
1
2
等式与不等式
1,10
3
复数
2
4
计数原理与概率统计
3
5
平面向量
4,15
6
三角函数与解三角形
5,15
7
平面解析几何
6,11,13,18
8
函数与导数
7,8,14,16
9
空间向量与立体几何
8,12,17
10
数列
9,14,19