湖北省2024_2025学年高一数学下学期期中联考试卷含解析

这是一份湖北省2024_2025学年高一数学下学期期中联考试卷含解析，共18页。试卷主要包含了选择题的作答，非选择题的作答等内容，欢迎下载使用。
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在
答题卡上的指定位置．
2．选择题的作答：选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区
域均无效．
3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸
和答题卡上的非答题区域均无效．
4．保持卡面清洁、不要折叠、不要弄破、弄皱、不准使用涂改液、修正带、刮纸刀．
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题所给的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1. 设 ， ，则 在复平面内所对应 点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】根据所给的两个复数，求出 ，写出对应点的坐标，看出所在的象限.
【详解】∵复数 ， ，
∴z= ，
∴复数在复平面上对应的点的坐标是
∴在复平面内的对应点位于第四象限，
故选：D
2. 方程 的根所在的区间为（ ）
A. B. C. D.
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【答案】C
【解析】
【分析】利用零点存在定理可得出结果.
【详解】令 ，
故函数 为定义在 上的连续函数，且显然为增函数，
因为 ， ， ，
由零点存在定理可知，方程 的根所在的区间为 .
故选：C.
3. 已知 ， ， ，则 （ ）
A. 6 B. 8 C. 10 D. 14
【答案】C
【解析】
【分析】根据已知结合数量积的运算律得出 ，进而求出 的值，即可得出答案.
【详解】由已知可得，
，
所以， ，
所以， ，
所以， .
故选：C.
4. 已知 ， 均为第二象限角， ， ，则 等于（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】先利用同角三角函数的平方关系和商数关系，分别求出 ，然后利用两角差的正切公式
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求值.
【详解】因为 ， 均为第二象限角，所以 ， ，同理可得
.
.
故选：A.
5. 已知函数 在区间 上单调递减，则实数 a 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据复合函数的单调性、二次函数的单调性结合对数函数定义域列出不等式，求解即可得出答案.
【详解】根据复合函数的单调性法则、二次函数的单调性结合已知条件可知，二次函数
在区间 上单调递减，
所以有
根据对数函数的定义域可知，应有 在区间 上恒成立，
则只需要 ，即 ，所以 .
综上所述， .
故选：D.
6. 已知偶函数 在 上单调递增，若 ， ， ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先利用偶函数的性质将自变量转化到 上，再比较自变量的大小，最后根据单调性得出函数
值的大小关系.
【详解】已知 是偶函数，则 .
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因为 ，所以 .
对于 ，因为 ，所以 .
对于 ，且对数函数 在 上单调递增，所以 ，
又因为 ，综上可得 .
因为 在 上单调递增，所以 ，即 .
故选：B.
7. 设函数 ，若函数 在区间 上恰有 2 个零点，则实数
的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用半角公式和辅助角公式，化简得 ，然后利用整体代入的方法得到实数
的取值范围.
【详解】
， ，
要使函数有 2 个零点，则 ，得 .
故选：A.
8. 在 中，a，b，c 分别是内角 A，B，C 所对的边，若 ，则角
A 的大小为（ ）
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A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】将题目中的等式转化为关于边长的方程，结合余弦定理建立方程组，最终求解角 A 的值.
【详解】设 ，
则：
由 ，消去 得：
由 ，消去 得：
将余弦定理 ， 代入方程(1)和(2)，化
简得：
(3)
(4)
联立得：
代入(3)得：
由余弦定理：
，
因为
所以 .
故选：C
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 若 ，则
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B. 复数 的虚部为 1
C. 若 ，则方程在复数集中的解集为
D. 若复数 z 满足 ，则复数 z 对应的点所构成的图形的面积为
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用复数得四则运算法则可以得到 A 不正确、B 正确，根据复数域上一元二次方程得求解公式，
可得 C 项正确，根据复数得几何意义可得 D 项圆环 面积.
【详解】对于 A，设 ，则 ，化简得 ，不需要 ，
所以 A 项不对.
对于 B， ，虚部为 1，B 项正确.
对于 C， ，所以 ，得 ，所以方程在复数集中 解集为 ，C 项正确.
对于 D，根据复数得几何意义可知，复数 z 对应的点所构成的图形为如图所示得圆环，所以面积为
，所以 D 项正确.
故选：BCD.
10. 在 中，内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，下列说法正确的是（ ）
A. 若 ，则 为锐角三角形
B. 若 ，则 为等腰三角形
C. 若 ， ， ，则符合条件的 有两个
D. 若 ， ，且 有且仅有一个解，则
【答案】BC
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【解析】
【分析】根据余弦定理求出 为锐角；边化角化简可得 ；根据正弦定理，求解即可判断 C、D.
【详解】对于 A 项，由已知结合余弦定理可得 ，则 为锐角.不能说明 为
锐角三角形.故 A 错误；
对于 B 项，由 结合正弦定理边化角可得，
.
又 ，
所以， .
所以， 为等腰三角形.故 B 正确；
对于 C 项，由正弦定理 可得 .
又 ，所以 ， 有两解.
即符合条件的 有两个.故 C 正确；
对于 D 项，若 ，则有 ，此时 有且仅有一个解；
若 ，由正弦定理 可得 .
当 ，即 时， 为直角，此时 有且仅有一个解.
综上所述，当 或 时， 有且仅有一个解.故 D 错误.
故选：BC.
11. 将函数 ，（ ， ， ）的图象按照以下顺序进行变换：①
向左平移 个单位长度；②横坐标变为原来的 2 倍，纵坐标变为原来的 倍；③向下平移 个单位长度，
可得到函数 的图象．则下列结论正确的是（ ）
A. 函数 的解析式为
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B. 函数 的对称中心为
C. 若 ，则 x 的取值范围为
D. 若方程 在 内恰有两个根 ，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】先通过图象变换得到 ，然后利用三角函数的性质，通过整体代入求函数的对称中心和不等式
的解集，最后利用整体代换的思想将令 ，将 转化为 ，得出答案.
【详解】 左平移 个单位长度
横坐标变为原来的 2 倍，纵坐标变为原来的 倍
向下平移 个单位长度
所以 ，即 ，A 项正确.
由 得 ，
即函数 的对称中心为 ，B 项错误.
由 ，得 ，由三角函数的图象可得
，所以 x 的取值范围为 ，C 项正确.
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令 ，则 ， ，
若方程 在 内恰有两个根 ， ，
则 即 在 内恰有两个根 ，
所以 ， ，
故 ，D 项正确.
故选：ACD.
【点睛】方法点睛：在三角函数的解题中，我们经常使用整体代换的思想，令 解决问题.
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12. 函数 （a＞0 且 a≠1）的图象过定点_____；
【答案】
【解析】
【分析】令指数部分等于零，求得 x，y 的值，可得函数的图象经过定点的坐标．
【详解】对于函数 （ ＞0 且 ≠1），令 ，求得 x＝1，y＝3，
可得函数 （ ＞0 且 ≠1）的图象过定点（1，3），
故答案为（1，3）．
【点睛】指数函数 的图象经过定点（0，1），利用这一性质可以解决本题．
13. 折扇，又称“怀袖雅物”．如图，这是折扇的平面示意图，其中 ， ， ，则此
扇面（扇环 ABCD）的面积为__________．
【答案】
【解析】
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【分析】利用扇形的面积公式 可得扇形 和扇形 的面积，扇面的面积为两个扇形面积
的差.
【详解】设 ，已知扇形 的面积 ，扇形 的面积
，所以扇面的面积为 .
故答案为： .
14. 在 中，点 E 是 BC 的中点，点 D 满足 ，且 ，若记向量 在向量
上的投影向量为 ，则 的最小值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】先通过题意将 用 表示出来，然后代入投影向量的定义式中求模长，通过化简发现 可
以化简为关于 的不等式，最后用基本不等式进行求解.
【详解】由题意可得
，
所以
，
当且仅当 ，即 时取等号.
故答案为： .
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
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15. 已知 ， ， ，i 为虚数单位，且 是纯虚数．
（1）求实数 m 的值．
（2）求 的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据复数的运算得出 的表达式，进而根据纯虚数的概念列出方程组，求解即可得出答案；
（2）由（1）得出 ，然后根据共轭复数的概念得出 ，进而根据复数的乘法运算计算化简即可得出
答案.
【小问 1 详解】
由已知可得， .
因为 是纯虚数，所以有 ，解得 .
【小问 2 详解】
由（1）可知， ， ，
所以 ，
所以 .
16. 已知 ， ，且 ．
（1）求 与 的夹角 ．
（2）若 与 的夹角为钝角，求实数 的取值范围．
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【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据数量积的运算律展开已知化简得出 .进而根据数量积的定义求解得出
，结合夹角的范围即可得出答案；
（2）由已知可得 ，且 与 的夹角不为 ，结合向量数量积的
运算律以及向量共线的充要条件，即可得出答案.
【小问 1 详解】
由已知 展开可得，
，
化简可得， .
则由 可得， .
又 ，所以 .
【小问 2 详解】
.
则由 可得， ，解得 .
若 与 共线，则 ，使得 .
因为 的任意性，所以有 ，解得 .
时， 与 的夹角为 ，
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所以，若 与 的夹角为钝角，则 且 ，
所以，实数 的取值范围为 .
17. 已知函数 ，
（1）若 ， ，求 和 （结果用 m，n 表示）．
（2）求不等式 的解集．
（3）若 ，都有 成立，求实数 t 的取值范围．
【答案】（1） ， ；
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用对数的运算性质可得.
（2）解分段函数不等式，先利用指数和对数的性质分段求解，最后求并集；
（3）参变分离，现设 ，求 ， .
【小问 1 详解】
已知 ，所以 ， ，
所以 ，
.
【小问 2 详解】
当 时， ，所以 ，解得 ，所以 ；
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当 时， ，所以 ，解得 ，所以 ；
综上可得，不等式 的解集为 .
【小问 3 详解】
，所以 ，设 ，
则 ，令 ，
则 ，
即 ， ，所以 ，
所以 ，即 ，
因为 ，都有 成立，所以 ，所以 ，
综上实数 t 的取值范围为 .
18. 在锐角 中，a，b，c 分别是内角 A，B，C 所对的边，若 ，且
．
（1）求角 B 的大小．
（2）求 的取值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用三角恒等式将条件方程化简，结合锐角三角形 性质确定角 B 的大小；
（2）通过余弦定理和三角形面积公式建立边角关系化简可得 ，进而可得出结果.
【小问 1 详解】
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化简可得： ，
， 整理得： ，
所以 ，即 ，
因为 ，所以 .
根据正弦定理可得：则 ，
又因为 ，所以 ，解得 ，
由于 是锐角三角形，所以
【小问 2 详解】
由余弦定理： ，
所以
利用面积公式： ,代入 得：
，结合余弦定理 ,得：
，即 ,此时三角形为等边三角形, ,
故：
19. 如图，设 ，且 ，当 时，定义平面坐标系为 的斜坐标系．在 的斜坐标系
中，任意一点 P 的斜坐标这样定义：设 ， 分别为 Ox，Oy 正方向同向的单位向量，若向量
，记向量 ．在 的斜坐标系中．
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（1）若向量 ，求 ．
（2）已知向量 ， ，证明： ．
（3）若向量 ， 的斜坐标分别为 和 ， ，设函数 ，
， ．
①证明： 有且只有一个零点 ．
②比较 与 的大小，并说明理由．（参考数据： ， ）
【答案】（1）
（2）证明解析. （3） ，理由见解析
【解析】
【分析】（1）（2）直接利用提干信息进行计算；
（3）①先化简出 ，然后分别讨论 在 ， ， 三个区间的正负，然后利用零点存
在定理判断零点是否存在以及有多少个；
②利用①将 化成 ，从而根据 的范围判断 与 的大小.
【小问 1 详解】
因为向量 ，所以 ，又因为 ， ，
所以 ，
所以 .
【小问 2 详解】
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因为向量 ， ，所以 ， ，
所以
化简得 .
【小问 3 详解】
①由（2）得 ，
化简得 ，
所以 ，
当 时， 单调递增，因为 ，
又因为 ， ，所以 ，
又因为 ，所以 ，
由零点存在定理可得，存在 ，使得 ，
所以 在 上有一个零点.
当 时， ， ，所以 ，
故 在 上没有零点.
当 时， ， ，
所以 ，故 在 上没有零点.
综上可得， 有且只有一个零点 .
② .
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理由如下： 在 上单调递减，
所以 ，即 ，所以 .
【点睛】方法点睛：在证明函数零点时，我们常用零点存在定理：
如果一个函数在闭区间 上连续，并且满足 ，那么在区间 内至少存在一个点 ，
使得 .
如果一个函数在闭区间 上连续且单调，并且满足 ，那么在区间 内有且仅有一个
点 ，使得 .
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