专题03 方程（组）及不等式（组）（全国通用）-2025年中考数学一模试题分类汇编

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题型01 解一次方程（组）
题型02 一次方程（组）的实际应用
题型03 解分式方程
题型04 分式方程的实际应用
题型05 解一元二次方程
题型06 一元二次方程的根
题型07 一元二次方程的实际应用
题型08 解不等式（组）
题型09 不等式（组）的实际应用
题型10 求参数
题型01
解一次方程（组）
1．（2025·河北·一模）关于x的方程的解为，则a的值为（ ）
A．5B．6C．7D．8
2．（2025·湖南衡阳·一模）方程的解是（ ）
A．B．C．D．
3．（2025·河北·一模）若表格中的四个数满足每列的两个数的和相等，则m的值为（ ）
A．B．1C．3D．5
4．（2025·河北邯郸·一模）已知，都是实数，观察表中的运算，则的值为（ ）
A．21B．C．40D．
5．（2025·安徽芜湖·一模）已知点在第一象限，且满足，，设，若，则（ ）
A．S有最大值2B．S有最小值C．S的值恒为1D．S有最大值1
6．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）规定一种新运算：，若，则x的值为 ．
7．（2025·安徽宣城·一模）已知关于x的方程的解是负数，则a的取值范围是 ．
8．（2025·山东·一模）已知方程组，则的值为 ．
9．（2025·江苏徐州·一模）若x，y满足方程组，则 ．
10．（2025·江苏盐城·一模）已知方程，用含x的代数式表示y，则 ．
11．（2025·山东济宁·一模）已知关于的方程组的解满足，则的取值范围是 ．
12．（2025·辽宁沈阳·一模）若是关于x、y的二元一次方程，则 ．
13．（2025·浙江宁波·一模）若方程组 的解是 则方程组 的解是
14．（2025·甘肃张掖·一模）嘉淇在解关于x的一元一次方程时，发现正整数“”被污染了．
(1)【任务1】若这道题的答案是，求“”代表的正整数；
(2)【任务2】嘉淇问同学小明，小明也记不清“”的具体值了，只记得这个方程的解是正整数， 嘉淇经过深入思考，将“”设为m，通过计算，很快得到了“”的值，你知道她是怎么计算的吗？请你求出“”的值．
15．（2025·江苏苏州·一模）解方程组：
16．（2025·山东淄博·一模）已知关于的二元一次方程组．
(1)若，求的值；
(2)若均为非负数，求的取值范围；
(3)已知，在（2）的条件下，求的最大值和最小值．
题型02
一次方程（组）的实际应用
1．（2025·福建·一模）某商店销售单价为元和元的，两种商品，其中商品的利润率为，商品的利润率为．当售出的商品的数量比商品的数量少时，该商店获得的总利润率为．则与的数量关系是（ ）（利润率利润成本）
A．B．C．D．
2．（2025·山东临沂·一模）在知识问答竞赛中，答对一题加分，答错一题减分，每道题必须作答．已知王明共答题道，得分分；李红共答题道，那么两位同学答对与答错题目的差相加可能是（ ）
A．B．C．D．
3．（2025·河北邢台·一模）如图，草船借箭是一个流行很广的故事．按照这个故事所说的，我们假定诸葛亮一共派出大小草船共20艘，回来清点发现小船平均每艘上借的“箭”约有4800支，大船平均每艘上借的“箭”约有6200支，已知一共借箭112800支，设派出大船艘，则下列说法正确的是（ ）
A．依题意得：B．依题意得：
C．派出大船8艘D．派出小船14艘
4．（2025·广东惠州·一模）《九章算术》中“均输章”有云：“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起，问何日相逢？”受此启发，我们构建如下生活情境：在两座城市A和B之间，甲车从城市A驶向城市B，全程需7天；乙车从城市B驶向城市A，全程需9天．若甲车先出发2天后，乙车才从城市B出发，两车相向而行．设从乙车出发后，经过天两车相遇．则下列方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5．（2025·河北沧州·一模）如图，表中给出的是某月的月历，任意选取“U”型框中的7个数（如阴影部分所示），请你运用所学的数学知识来研究，发现这7个数的和不可能是（ ）
A．105B．77C．98D．56
6．（2025·浙江嘉兴·一模）我国古代数学专著《孙子算经》中有一个“多人共车”的问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”译文：“现有若干人要坐车，如果每人坐一辆车，则有辆车是空的；如果每人坐一辆车，那么有人需要步行．问人和车各有多少？”设人数为人，则可列方程（ ）
A．B．
C．D．
7．（2025·黑龙江牡丹江·一模）九年级某班为奖励学习进步的学生，购买了单价为12元/本的笔记本和单价为8元/支的签字笔两种文具，正好花费120元，则购买方案共有（ ）
A．4种B．3种C．2种D．1种
8．（2025·湖北孝感·一模）我国明代珠算家程大位的名著《直指算法统宗》里有一道著名算题：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？译成白话文，其意思是：有100个和尚分100个馒头，正好分完．如果大和尚一人分3个，小和尚3人分一个，试问大小和尚各有几人？设大和尚人，小和尚人，可列方程组为（ ）
A．B．
C．D．
9．（2025·陕西咸阳·一模）某购物中心将某种原价是300元的商品按原价的8折出售，可以获利，这种商品的进价为 元．
10．（2025·陕西西安·一模）九宫格中为从到不重复的个自然数，若区域的四个数之和为，区域的两个数之和为，如图，则右上角格子可填的最大数字是 ．
11．（2025·山东泰安·一模）一个两位数，十位数字比个位数字的倍大．若这个两位数减去恰好等于个位数字与十位数字对调后所得的两位数，设十位数字是，个位数字是，则列方程为 ．
12．（2025·陕西汉中·一模）某生产线共有60名工人，每名工人每天可生产14个电压表或20个电流表，1套物理电学实验器材包中要配有1个电压表和2个电流表，要使该生产线每天生产的电压表和电流表恰好能配套装入物理电学实验器材包，应分配多少名工人生产电压表？
13．（2025·陕西咸阳·一模）西安拥有丰富的历史文化遗产和深厚的文化底蕴，也成为汉服文化的重要传播地和展示窗口．某制衣厂现有一批汉服订单需交付，汉服店要求6天内完成．若工厂安排10位工人缝制，则6天后还有90套汉服未缝制；若安排14位工人缝制，则恰好提前一天完成任务．假设每位工人的工作效率相同，问每位工人每天可以缝制多少套汉服．
14．（2025·陕西西安·一模）某市为了迎接大型马拉松比赛，某条道路需要重新修建．已知每个工程队单独修需要18天，现计划先安排若干个工程队修4天，然后增加3个工程队再一起修2天，全部完成，则应先安排几个工程队先修4天？
15．（2025·贵州遵义·一模）今年春节期间，电影《哪吒2》特别火爆，小强一家去某电影院观看此部电影．到了影院后，看到有以下优惠活动方案：
(1)若小强一家6人（成人4人，学生2人），他选择哪种优惠方案划算？
(2)若成人人数是学生人数的2倍且两种优惠方案所付票价相等，求成人、学生各多少人？
16．（2025·陕西榆林·一模）我国古代数学名著《九章算术》中记载“粟米之法；粟率五十；粝米三十．今有米在十斗桶中，不知其数．满中添粟而春之，得米七斗．问故米几何？”意思为：50斗谷子能出30斗米，即出米率为．今有米在容量为10斗的桶中，但不知道数量是多少．再向桶中加满谷子，再舂成米，共得米7斗．问原来有多少斗米？（不计损耗）
17．（2025·山东烟台·一模）“低碳生活，绿色出行”的理念已逐渐深入人心，某自行车专卖店有A，B两种规格的自行车，A型车的售价为a元/辆，B型车的售价为b元/辆，该专卖店十月份前两周销售情况如下：
(1)求a，b的值；
(2)已知一辆A型车比一辆B型车进价少花300元，老板在第三个周进货时，用48000元购进A型自行车数量与用60000元购进B型自行车数量相等，求A、B两种的自行车进货单价分别是多少元？
(3)若计划第四周售出A、B两种型号自行车共25辆，其中B型车的销售量大于A型车的销售量，且不超过A型车销售量的2倍，该专卖店售出A型、B型车各多少辆才能使第四周总销售额最大，最大总销售额是多少元？
18．（2025·浙江杭州·一模）某快递公司需将一批总重为吨的物品从仓库运往配送中心．现有下表所示两种类型货车可供调配：
(1)若公司一次性派出两种货车共辆，恰好运完所有物品，且公司要求每辆货车必须满载运输，求甲、乙两种货车各派出多少辆？
(2)若快递公司派出甲型、乙型货车共辆，其中甲型货车不少于辆，要求预算运输费用不超过元，请设计一种运输方案使总费用最低，并计算最低费用．
19．（2025·河南洛阳·一模）绿动未来--树木固碳护家园
[素材呈现】
在全球气候变暖的严峻形势下，二氧化碳排放量不断攀升已成为亟待解决的关键问题，为了中和二氧化碳排放量，我们可以采取植树造林等绿化措施．根据相关统计结果，棵成年的阔叶树种（例如杨树）和棵成年的针叶树种（例如冷杉）每年大约吸收千克二氧化碳，而棵成年的阔叶树种（例如杨树）和棵成年的针叶树种（例如冷杉）每年大约吸收千克二氧化碳．
【问题解决】
(1)每棵成年的阔叶树种（例如杨树）和每棵成年的针叶树种（例如冷杉）每年大约吸收的二氧化碳分别是多少千克？
(2)某环保企业计划购买成年杨树和冷杉共棵，设购买杨树棵，这棵树木一年内吸收的二氧化碳总量为千克．
求与的函数关系式；
杨树会产生较多的飘絮物，因此规定采购杨树的棵数不超过冷杉的一半，请设计一个采购方案，使得这棵树木在一年内吸收的二氧化碳总量最大．
20．（2025·河南许昌·一模）在农作物不同的生长阶段运用科技手段实现精准施肥，可以提高产量和质量．某农场为种植小麦需要配制复合肥料．小麦在生长过程中需要大量的氮（N）促进叶片生长，适量的磷（P）促进根系发育，以及足够的钾（K）提高果实品质．农场有两种原料可供使用，其氮、磷、钾含量及成本如下表：
(1)在小麦播种前农场根据土壤检测结果配制底肥，要求肥料中含有240千克氮、120千克磷，求使用A，B两种原料各多少吨？
(2)4月份，小麦进入拔节期，农场根据小麦长势和底肥用量计划配制追肥，要求追肥用量是底肥用量的，且含有不少于100千克钾，请设计出成本最低的配制方案．
21．（2025·河南郑州·一模）2024年11月15日，郑州市热力公司开启了全市供暖，但由于供暖后室内干燥，因此大多数市民们选择使用室内空气加湿器．某商场根据民众需要，代理销售每台进价分别为220元、180元的A，B两种型号的空气加湿器，如表是近两周的销售情况：
（进价、售价均保持不变，利润销售收入进货成本）
(1)求A，B两种型号的空气加湿器每台的售价．
(2)若商场准备用不超过5880元的金额再采购这两种型号的空气加湿器共30台，如何购买才可以使商场销售完这30台空气加湿器后获得最大利润？请给出相应的采购方案，并求出最大利润．
题型03
解分式方程
1．（2025·山东潍坊·一模）若代数式和的值相等，则x的值为（ ）
A．B．C．D．
2．（2025·安徽宣城·一模）若关于的分式方程有增根，则的值为（ ）
A．1B．C．3D．
3．（2019·四川绵阳·一模）若关于x的方程.无解，则m的值是 ．
4．（2025·宁夏银川·一模）下面是某同学解分式方程的过程，请认真阅读并完成相应的学习任务：．
解：去分母，得……第一步
去括号，得……第二步
移项、合并同类项，得……第三步
解得……第四步
经检验：是原分式方程的解……第五步
(1)上面的解题过程从第______步开始出现错误，这一步错误的原因是______．
(2)请你帮这个同学正确解答这个分式方程．
5．（2025·陕西咸阳·一模）解方程：．
6．（2025·陕西渭南·一模）解方程：
题型04
分式方程的实际应用
1．（2025·山西大同·一模）新建、改造社区养老工程是2025年山西省政府确定的民生实事之一，甲、乙两个工程队投标某社区养老工程改造建设任务，甲队单独施工比乙队单独施工完成此项任务多用10天，且甲队单独施工45天和乙队单独施工30天的工作量相同，设乙队单独完成此项任务需要x天，则可列方程为（ ）
A．B．C．D．
2．（2025·江苏徐州·一模）某游客计划驾车从A地前往B地旅游，有两条路线可供选择：
路线1：全程，路况复杂，易出现拥堵．
路线2：全程，路况较好，红绿灯少．
若走路线2的平均速度是走路线1的平均速度的倍，走路线2比走路线1到达B地的时间少10分钟．求走路线1到达B地所需的时间．
3．（2025·山西忻州·一模）为了缓解交通压力，提高道路的通行效率，太原市对某一段路实行交通灯智能化改造，驾驶员只要控制好车速，便能实现“一路绿灯”．据了解，该路段总长约5.4公里，改造后车辆通过该路段的平均速度提高了，平均行驶时间减少了3分钟，求改造前车辆通过该路段的平均速度．
4．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）列方程或不等式解应用题：
为迎接南方小土豆的到来，冰雪大世界做好冰雕艺术品制作，某公司有A、B两搬运组搬运冰冻原料，已知A组每小时比B组每小时多搬运20千克，且A组搬运1200千克所用时间与B组搬运1000千克所用时间相等．
(1)求这两个搬运组每小时分别搬运多少千克冰冻原料；
(2)为生产效率和生产安全考虑，A，B两组都要参与冰冻原料运输但两组不能同时进行工作，如果要求不超过5小时需完成对580千克冰冻原料的搬运，则A组至少搬运多少千克冰冻原料？
5．（2025·江苏扬州·一模）辛弃疾的词中有“稻花香里说丰年，听取蛙声一片”．“周巷大米”清淡略甜，绵软且粘，芳香爽口，是主食佳品．某收割队承接了72公顷“周巷大米”的收割任务，为了让“周巷大米”早日上市，实际工作效率比原来提高了，结果提前2天完成任务，问原计划需要多少天完成？
6．（2025·河南南阳·一模）植一株绿色，溢一片春光．2025年植树节，某中学计划采购一批银杏树苗和白杨树苗，经了解，每棵银杏树苗比每棵白杨树苗贵元，用元购买银杏树苗的棵数与用元购买白杨树苗的棵数相同．
(1)分别求每棵银杏树苗与白杨树苗的价格．
(2)学校最终决定购买银杏树苗、白杨树苗共棵，且银杏树苗的数量不少于白杨树苗的数量的．如何设计购买方案，使总费用最少？
7．（2025·吉林松原·一模）某批发商购进哪吒、敖丙两种挂件．已知每个哪吒挂件的进价比每个敖丙挂件的进价贵1元，用400元购进哪吒挂件的个数恰好与用360元购进敖丙挂件的个数相同．求该批发商购进哪吒、敖丙两种挂件的单价各是多少元．
8．（2025·山东济南·一模）某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，现需要采购一批劳动工具开展种植活动．据了解，市场上型劳动工具的单价比型劳动工具的单价低5元，用400元购买型劳动工具的数量和用500元购买型劳动工具的数量相同．
(1)求，两种型号劳动工具的单价各是多少元？
(2)学校计划购买，两种型号的劳动工具共100把，且型劳动工具的购买数量不超过型劳动工具的购买数量的两倍，则如何购买花费最少？最少费用是多少？
题型05
解一元二次方程
1．（2025·江苏徐州·一模）（1）解方程：；
（2）解不等式组：．
2．（2025·黑龙江齐齐哈尔·一模）解一元二次方程：．
3．（2025·江苏泰州·一模）（1）化简：；
（2）解方程：．
4．（2025·辽宁抚顺·一模）解方程
(1)（配方法）
(2)（公式法）
5．（2025·浙江宁波·一模）解方程：．
6．（2025·广东深圳·一模）小海在用公式法解方程时出现了错误，解答过程如下所示：
小海的解答过程从第__________步开始出错的，其错误的原因是__________；
7．（2025·江苏淮安·一模）先化简，再求值：，其中x满足方程．
题型06
一元二次方程的根
1．（2025·河南焦作·一模）已知关于的一元二次方程无实数根，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．且
2．（2025·河北邢台·一模）小明在解关于的一元二次方程时，把一次项的符号抄成“+”，得到其中一个根是，则方程根的情况是（ ）
A．无实数根B．有两个不相等的实数根
C．有两个实数根D．有一个根是
3．（2025·河南许昌·一模）m，n在数轴上的位置如图所示，则关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．只有一个实数根B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根D．没有实数根
4．（2025·江苏苏州·一模）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则可能的值是（ ）
A．0B．C．D．
5．（2025·山东日照·一模）若关于x的一元二次方程两根为，，且与同号，则m可能的值为（ ）
A．B．C．0D．1
6．（2025·广东清远·一模）规定：对于任意实数、、，有，其中等式右边是通常的乘法和加法运算，如．若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．且D．且
7．（2025·西藏拉萨·一模）关于的方程在实数范围内有实数根，则的取值范围是（ ）
A．B．且C．D．且
8．（2025·贵州六盘水·一模）关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．B．且C．D．
9．（2025·江苏宿迁·一模）抛物线与直线交于两点，其中一个交点的横坐标大于，另一个交点的横坐标小于，则下列结论正确的是( )
A．B．C．D．
10．（2025·山东青岛·一模）一元二次方程的两根分别为，，则的值为（ ）
A．1B．C．D．3
11．（2025·河北石家庄·一模）已知关于的一元二次方程的两根互为相反数，则的值为（ ）
A．B．C．D．
12．（2025·甘肃·一模）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则这个方程的解为 ．
13．（2025·山东潍坊·一模）若是关于x的方程的两实数根，且满足，则k的值为 ．
14．（2025·浙江湖州·一模）一次数学探究活动中，老师给出了两个二次多项式，（其中p，q，c均是不为零的常数）及这两个代数式的一些信息，如下表所示：
（说明：a，b，m，n，，均为常数）
有学生探究得到以下四个结论：①若，则；②若，则；③若有且只有一个x的值，使代数式的值为0，则；④若，则c的值不可能是．其中所有正确结论的序号是 ．
15．（2025·山东日照·一模）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ．
16．（2025·广东惠州·一模）已知关于的两个实数根，满足两根之和等于4，两根之积等于，求的值 ．
17．（2025·湖南娄底·一模）已知方程的两个解分别为a，b，则 ．
18．（2025·四川成都·一模）已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，则的值为 ．
19．（2025·黑龙江大庆·一模）已知和是方程的两个解，则的值为 ．
20．（2025·四川达州·一模）已知关于的方程有两个实数根．
(1)求的取值范围；
(2)若方程有一个根是1，求方程的另一个根及的值．
题型07
一元二次方程的实际应用
1．（2025·河南焦作·一模）技术对我国具有重大战略意义，它不仅仅是一项通信技术的升级，更是推动经济、社会、科技全面变革的重要引擎．某市近年来大力发展通信，已知该市2022年投入发展通信的资金为1000万元；2024年投入发展通信的资金为5000万元．设该市投入发展通信的资金的年平均增长率为，则下列方程中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2025·山东青岛·一模）现代互联网技术的广泛应用，促进快递行业高速发展，据调查，我市某家快递公司，去年3月份与5月份完成投递的快递总件数分别为万件和8万件，设该快递公司这两个月投递总件数的月平均增长率为，则下列方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2025·安徽合肥·一模）在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为的雷锋雕像，雕像的下部应设计为多高？设雕像的下部高为，则所列方程为（ ）
A．B．C．D．
4．（2025·江苏扬州·一模）在计算正数a的平方时，误算成a与2的积，求得的答案比正确答案大1，则 ．
5．（2025·甘肃武威·一模）某市图书馆为推广全民阅读活动，决定加大图书购置经费的投入．一月份投入图书购置经费50万元，3月份投入72万元．求该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率．
6．（2025·辽宁大连·一模）小明用一条长为的绳子围成一个矩形．
(1)当围成矩形面积是，求该矩形的长与宽；
(2)能围成面积是的矩形吗？如能，说明围法；如不能，说明理由．
7．（2025·江苏徐州·一模）如图①，一张长方形纸板的长为24，宽为12，将其剪掉四角并折叠成如图②的有盖长方体盒子，若该长方体盒子的底面积为32，求该长方体盒子的高．
8．（2025·贵州安顺·一模）如图1，用一段长为33米的篱笆围成一个一边靠墙并且中间有一道篱笆隔墙的矩形菜园，墙长为12米．设的长为x米，矩形菜园的面积为S平方米．
(1) ______米， ______平方米．（用含x的代数式表示）
(2)若，求x的值．
(3)如图2，若在分成的两个小矩形的正前方和中间的篱笆隔墙各开一个1米宽的门（无需篱笆），当x为何值时，S取最大值？最大值为多少？
9．（2025·湖北襄阳·一模）某商家销售一种成本为元的商品，当售价定为元件时，每天可销售件，根据经验，售价每涨价元，每天销量将减少件，且单件该商品的利润率不能超过．
(1)求每天的销量（件）与当天的销售单价（元件）满足的函数关系式（不用写出自变量的取值范围）；
(2)当销售单价定为多少元时，商家销售该商品每天获得的利润最大，并求出最大利润；
(3)当销售单价定为什么范围时，商家销售该商品每天获得的利润不低于元？
10．（2025·江西抚州·一模）2024年巴黎奥运会顺利闭幕，吉祥物“弗里热”深受奥运迷的喜爱，一商场以20元的进价进一批“弗里热”纪念品，以40元每个的价格售出，每周可以卖出500个，经过市场调查发现，价格每涨1元，就少卖10个
(1)设每件商品售价为x元时，则每件商品的利润为______元，此时每周可以卖出______个；
(2)若商场计划一周的利润达到12000元，并且更大优惠让利消费者，售价应定为多少钱？
11．（2025·山东临沂·一模）在我国，端午节作为传统佳节，历来有吃粽子的习俗．某食品加工厂拥有，两条不同的粽子生产线，生产线每小时加工粽子个，生产线每小时加工粽子个．
(1)若生产线，一共加工小时，且生产粽子总数量不少于个，则B生产线至少加工多少小时？
(2)原计划，生产线每天均工作小时．由于改进了生产工艺，在实际生产过程中，生产线每小时比原计划多生产个（），生产线每小时比原计划多生产个．若生产线每天比原计划少工作小时，生产线每天比原计划少工作小时，这样一天恰好生产粽子个，求的值．
题型08
解不等式（组）
1．（2025·河南南阳·一模）数轴上表示不等式组的解集中，含有一个解是的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2025·广西河池·一模）在数轴上表示不等式的解集正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2025·湖南娄底·一模）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2025·山东临沂·一模）一元一次不等式组：的解集为（ ）
A．B．C．D．
5．（2025·山东临沂·一模）若点在第四象限，那么a的取值范围是（ ）
A．B．且C．D．
6．（2025·陕西汉中·一模）解不等式，并在如图所示的数轴上表示该不等式的解集．
7．（2025·宁夏银川·一模）解不等式组：
8．（2025·安徽宿州·一模）解不等式组：．
9．（2025·甘肃陇南·一模）解不等式组：，并写出它的所有正整数解．
题型09
不等式（组）的实际应用
1．（2025·江西景德镇·一模）古巴比伦有这样一个有趣的问题：“有二田，其一比其二广五亩．若以其一之十亩予其二，则其二之广不逾其一之倍，问初时其一田最小几何？”其大意为：两块土地，第一块面积比第二块大5亩，若从第一块取10亩给第二块，则第二块面积不超过第一块的2倍，问最初第一块土地的最小面积为 ．
2．（2025·湖南·一模）阅读理解：记表示不超过的最小整数，如，，应用：已知，且，则的值为 ．
3．（2025·宁夏银川·一模）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气.”某校为提高学生的阅读品味，现决定购买获得茅盾文学奖的甲，乙两种书共本，已知购买本甲种书和本乙种书共需元；购买本甲种书和本乙种书共需元.
(1)求甲，乙两种书的单价分别为多少元；
(2)若学校决定购买以上两种书的总费用不超过元，那么该校最多可以购买甲种书多少本？
4．（2025·广西南宁·一模）某公司计划采购A型和B型储能锂电池系统．已知每套B型的进价比每套A型的进价多0.5万元，用6万元购进A型的数量与用9万元购进B型的数量相等．
(1)求每套A型储能锂电池系统的进价；
(2)该公司计划采购这两种系统共15套，总费用不超过20万元，则购买A型系统最少多少套？
5．（2025·山东济南·一模）茂业天地商场从一厂家购买印有巴黎奥运会标志的T恤和奥运会吉祥物，已知购进10件恤和5个奥运会吉祥物共需250元；购进15件恤和10个奥运会吉祥物共需425元．
(1)求购进一件恤和一个奥运会吉祥物各需多少元？
(2)若商场决定购买T恤和奥运会吉祥物共60个，总费用不低于988元且不高于1000元，则共有几种购买方案？哪种购买方案需要的总费用最少？最少费用是多少元？
6．（2025·河南鹤壁·一模）如图，某小区物业对一块长、宽的矩形区域进行改造，欲在它的西南角种植一块矩形草坪，草坪围栏总长度为．点P 是区域内一棵大树所在的位置，大树与区域边界的距离如图中数据所示，要求大树周围内（不含边界）不种植草坪．设草坪的边的长为，草坪面积为．
(1)求x 的取值范围．
(2)如何种植才能使草坪的面积最小？最小面积是多少？
题型10
求参数
1．（2025·江苏南通·一模）关于x的不等式组的整数解仅有5个，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（2025·重庆·一模）若关于的不等式组有解且至多3个整数解，关于的分式方程的解为整数，那么符合条件的所有整数的和为 ．
3．（2025·重庆·一模）若关于x的不等式组无解，且关于y的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数a的值之和为 ．
4．（2025·江苏扬州·一模）若关于x的方程的解为正数，且使关于y的不等式组 的解集为，则符合条件的所有整数a的和为 ．
5．（2025·重庆·一模）若整数a使得关于x的不等式组有正整数解，且关于y的分式方程有正整数解，则所有满足条件的a的值之积为 ．
6．（2025·山东东营·一模）若关于x的方程的解是非负数，则m的取值范围为 ．
7．（2025·黑龙江牡丹江·一模）若关于的分式方程的解为整数，则整数的值有 个．
8．（2025·河北·一模）若关于x的不等式组有2个整数解，则实数m的取值范围是 ．
9．（2025·宁夏吴忠·一模）关于的不等式组的解是，则实数的取值范围是 ．
10．（2025·广东韶关·一模）若关于的不等式组的解集为，则的取值范围是 ．
11．（2025·黑龙江大庆·一模）若不等式组无解，则的取值范围为 ．
12．（2024·湖北恩施·一模）关于的一元一次不等式组的两个不等式的解集在数轴上表示如图，则的值为 ．
的运算
运算的结果
7
优惠方案一
会员费200元，票价35元/人．
优惠方案二
原票价50元/人，成人原价，学生票价是原价的5折．
A型车销售（辆）
B型车销售量（辆）
总销售额（元）
第一周
10
12
36600
第二周
12
15
45000
类型
甲型
乙型
满载（吨）
价格（元）
原料
氮（N）含量
（千克/吨）
磷（P）含量
（千克/吨）
钾（K）含量
（千克/吨）
成本
（元/吨）
原料A
20
40
30
600
原料B
50
10
40
800
销售时段
销售数量
销售收入
A种型号
B种型号
第一周
3台
4台
2400元
第二周
6台
9台
5100元
解方程
解： （第一步）
（第二步）
∴原方程无实数根 （第三步）
二次多项式
对二次多项式进行因式分解
对二次多项式使用配方法