广东省“六校联盟”2026届高三上学期第一次联考数学试卷（Word版附解析）

这是一份广东省“六校联盟”2026届高三上学期第一次联考数学试卷（Word版附解析），共19页。
注意事项：
1．答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．并用2B铅笔将对应的信息点涂黑，不按要求填涂的，答卷无效．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，只需将答题卡交回．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合,,则
A B. C. D.
【答案】C
【详解】因为集合,,故.
故选：C
2. 函数的最小正周期是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】最小正周期为.
故选：C.
3. 双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【详解】由，且该双曲线的焦点在纵轴，
所以双曲线的渐近线方程为，
故选：A
4. 底面直径和母线长均为2的圆锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【详解】由题意可知该圆锥的底面半径为，圆锥的母线长为2，
因此圆锥的高为，
所以该圆锥的体积为，
故选：A
5. 对于变量Y和变量x的成对样本观测数据，用一元线性回归模型得到经验回归模型，对应的残差如下图所示，模型误差（ ）
A. 满足一元线性回归模型的所有假设
B. 不满足一元线性回归模型的的假设
C. 不满足一元线性回归模型的假设
D. 不满足一元线性回归模型的和的假设
【答案】C
【详解】解：用一元线性回归模型得到经验回归模型，根据对应的残差图，残差的均值可能成立，但明显残差的轴上方的数据更分散，不满足一元线性回归模型，正确的只有C.
故选：C
6. 已知，，，则此三数的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【详解】因为函数在上单调递增，，
所以，，
化简可得，，
所以，
因为函数在上单调递增，
所以，即
所以，
所以，即，
故选：D.
7. 已知函数及其导函数定义域均为，记，若，均为偶函数，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【详解】对于AB，若函数满足题设条件，则函数（为常数）也满足题设条件，
故无法判断的函数值，故AB错误；
对于CD，若，均为偶函数，
则，的图象分别关于对称，即，
令，求导得，
所以，是常数，即的图象关于中心对称，
所以，
所以的周期为4，
对求导得，，所以的周期也为4，
故，只需求得的值即可，
而，求导得，令，可得，
所以，故C错误，D正确.
故选：D.
8. 已知非零复数，满足，则的值不可能等于（ ）
A. B. 1C. 0D.
【答案】C
【详解】设，，
则，，
由，则，所以，
若，则，又，故，显然满足，
若，则，又，故，显然满足，
若，则，又，故，
若，当，则，故，当，则或，故或，不符；
若，当，则，故，当，则或，故或，不符；
若，则，又，故，显然满足，
故选：C
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知向量，，（，），则（ ）
A. 存在，使得B. 不存在，使得
C. 若，则D. 若，则
【答案】BC
【详解】对于A，若，则需满足，因此不可能存在，使得，故A错误，
对于B, 若，则需满足，又，，所以不可能成立，故不存在，使得，故B正确，
对于C,若，则，，
当且仅当时取到等号，故C正确，
对于D,若，则，
则，则，又，，则，
所以，故D错误，
故选：BC
10. 掷一枚质地均匀的骰子，可等可能的得到1~6点，现投掷一次这枚骰子，记得到1点或2点或3点为事件，事件，与为两两互不相同的随机事件，且，，则（ ）
A. 存在事件B，使得B. 存在事件C，使得
C. 存在事件B，C，使得D. 存在事件B，C，使得
【答案】ACD
【详解】若事件：4点；事件：5点，则事件为不可能事件，则，故A正确；
因事件，则，故B错误；
若事件：4点或5点；事件：5点，则事件：5点，
则，故C正确；
若事件：1点或2点或4点；事件：2点或3点或5点或6点，则事件：2点，
则，，，，
则，故D正确.
故选：ACD
11. 在中，，，D为边BC的中点，则（ ）
A. B. C. D. 最大时，
【答案】BCD
【详解】，，
，即，
整理得，，
，，即.
对于A选项，，，，，
，，
，，不能确定，故A错误；
对于B选项，，，故B正确；
对于C选项，设，
在中，，，
由余弦定理知，，
在中，，，
由余弦定理知，，
，整理得，
在三角形中，两边之和大于第三边，，，
，，故C正确；
对于D选项，在中，
，
当且仅当，即时等号成立，
的最小值为，，，
的最大值为；
此时不妨设，则，
又，D为边BC的中点，则，
，，
为边BC的中点，，
又，则是边长为2的正三角形，
，故D正确.
故选：BCD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 的展开式中的系数为_________（用数字作答）．
【答案】
【详解】对于，展开式通项为，，
所以含项为，
所以该项对应系数为.
故答案为：
13. 已知曲线的焦点，曲线图象上的点满足（），则数列的前10项和_________．
【答案】##
【详解】在曲线中，，则，那么，焦点F的坐标为，
又点在曲线上，且（），
设抛物线上的点到焦点的距离为，则根据抛物线的定义可得，
，数列的通项公式为，
.
故答案为：.
14. 两次购买同一种物品，现采用两种不同的策略进行购买，第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定；第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定．购物方式比较经济的是第_________种，针对上述现象，对于任意两个正实数，，可得到不等关系是_________．
【答案】 ①. 二 ②. ，（或者）
【详解】依题意，假设第一次价格为，第二次价格为，，
第一种方式购买的平均价格为，
第二种方式，设每次购买的花费为，则购买的平均价格为，
由基本不等式得，
所以选第二种方式比较经济；
不等关系是：，，等号成立时.
故答案为：二；，
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 某校科技节进行答题竞赛，满分100分，现得到全校学生成绩的频率分布直方图如图所示：
（1）求的值；
（2）以每一组数据的中间值为代表，估计本次成绩的平均值；
（3）若采用分层按比例抽样的方法从成绩在的同学中抽取8名同学的成绩进行失分分析，如果从抽到的8名同学中不放回抽取3份试卷，记得到分数在内的人数为随机变量，求的分布列和数学期望．
【答案】（1）
（2）
（3）分布列见解析；期望为
【小问1详解】
根据题意有：，解得：.
小问2详解】
若以每一组数据的中间值为代表，估计本次考试的平均成绩为：
.
【小问3详解】
根据频率分布直方图可知，全校同学中成绩在，，各段的同学人数比例为，所以样本中三段分数的同学人数为1人，3人，4人
所以随机变量的可取值为0，1，2，3
，，
，
所以随机变量的分布列为：
.
16. 已知数列中，，.
（1）证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式；
（2）令，证明：．
【答案】（1）证明见解析；
（2）证明见解析
【小问1详解】
由题意可得：，因为，，
所以，，
所以数列是首项为2公比为2的等比数列，
所以，解得：.
【小问2详解】
由（1）知.
因为，所以数列各项为正的递减数列，
故，，
，
所以.
17. 已知函数，.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若不等式恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【小问1详解】
当时，，所以，
所以，，
故在点处的切线方程为.
【小问2详解】
[方法一] 记，则的定义域为，且，恒成立等价于恒成立.
所以，，所以在上单调递增.
又，.
当时，，
当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增，
所以，所以恒成立，满足题意；
当时，，不满足题意，舍去；
当时，，，
由零点存在性定理可知：存在唯一，使得，即：，，
当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增，
所以，满足题意.
综上所述，的取值范围是.
[方法二] 不等式等价于，可变形为：.
构造函数，则，所以在上单调递增.
原不等式恒成立等价于恒成立，即，
所以不等式，即恒成立.
设，则的定义域为，，
所以当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减，
所以，所以，即，
即的取值范围是.
18. 已知椭圆（）的离心率，椭圆上动点到右焦点的距离最大值等于3．（1）求的方程；
（2）设是坐标平面上的动点，且线段的垂直平分线与恰有一个公共点
①求动点的轨迹方程；
②求线段的长度的取值范围．
【答案】（1）
（2）① ；②
【小问1详解】
由题可知，，解得，，
又，所以椭圆方程为.
【小问2详解】
由（1）知，设，则的中点为，
①当时，的垂直平分线方程为，
此时，则或；即或
当时，的垂直平分线方程为：，
由，消得，
，
整理得，
因为线段的垂直平分线与恰有一个公共点，
则，
即，
整理得，
即，
因为，所以，
而，也满足该式，
故点的方程为，即．
②由①知，点的方程是以为圆心，为半径的圆，且圆心为椭圆左焦点，
又易知点在圆内，则，
又由椭圆的性质知，，得到，
故所求线段MQ长度的取值范围是

19. 在平面四边形中，，，，将沿翻折至，其中为动点．
（1）若二面角为直二面角，求三棱锥的体积．
（2）记三棱锥外接球半径为；
①求的最小值；
②当最小时，求异面直线AB，CP所成角．
【答案】（1）
（2）① 2；②
【小问1详解】
平面四边形ABCD中，作，，交AC延长线于E，由题意知：，
因为，，所以，
即三角形是直角三角形，
因平面平面，平面平面，，
所以平面，
故：；
【小问2详解】
以为原点，，分别为轴和轴正方向建立如图所示空间直角坐标系，
则，，
（ⅰ）设二面角大小为，，
因为，，所以，，
所以，，
所以，
故可设，．
设外接球球心坐标，半径为，
则两式相减，化简得：，
所以：，
上式中，令，，
则，
令，令，所以，
所以，
令，
因为，所以由对勾函数性质可知，的最小值是，
而
，
即的取值范围是，
所以的取值范围是，的取值范围是，
的取值范围是，的取值范围是，
的取值范围是，
所以，
因为，等号成立当且仅当，即，
又因为，所以，即，
解得，，
所以，
（ⅱ）因为，由（i）可知此时，，
因为，所以，，，
所以，
因为异面直线所成角的范围为，
故所求异面直线所成角为．0
1
2
3