重庆市2024_2025学年高二数学下学期5月月考试题含解析

这是一份重庆市2024_2025学年高二数学下学期5月月考试题含解析，共19页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1. 若 ，则 （ ）
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】利用组合数公式和排列数公式化简即可得解.
【详解】由 得 ，
解得 .
故选：D
2. 若随机变量 服从正态分布 ， ，则实数 等于（ ）
A. B. 0 C. 1 D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】根据正态分布的对称性计算．
【详解】由题意 ，解得 ．
故选：B．
3. 若某射击手每次射击击中目标的概率为 （ ），每次射击的结果相互独立.在他连续 8 次射击中，
“恰有 3 次击中目标”的概率是“恰有 5 次击中目标”的概率的 ，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据条件，利用 次相互独立重复试验恰好发生 次的概率公式，即可求出结果.
【详解】因为射击手每次射击击中目标的概率为 ，且每次射击的结果相互独立，
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由题可得 ，即 ，解得 或 （舍），
故选：D.
4. 某市的 5 个区县 ， ， ， ， 地理位置如图所示，给这五个区域染色，每个区域只染一种颜色，
且相邻的区域不同色．若有四种颜色可供选择，则不同的染色方案共有（ ）
A. 24 种 B. 36 种 C. 48 种 D. 72 种
【答案】D
【解析】
【分析】先对 A，B，C 三个区域染色，再讨论 B，E 是否同色
【详解】当 B，E 同色时，共有 种不同的染色方案，
当 B，E 不同色时，共有 种不同的染色方案，
所以共有 72 种不同的染色方案.
故选：D
5. 若 ，则（ ）
A. 事件 与 互斥 B. 事件 与 相互独立
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】对于 A，由 即可判断，对于 B，由对立事件概率公式以及独立乘法公式验证；对于 C，
由 即可判断；对于 D，由 即可判断.
【详解】对于 AB， ，从而 ，故 A 错误 B 正确；
对于 C， ，故 C 错误；
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对于 D， ，故 D 错误.
故选：B.
6. 小明利用课余时间参与科学探究活动——观察蒜苗的生长，下表记录了大蒜发芽后第 4 天至第 8 天的蒜
苗高度，若用最小二乘法算得蒜苗高度 与时间 天 的线性回归方程为 ，则根据回归
方程预测，从第（ ）天开始蒜苗高度大于 .
时间 天 4 5 6 7 8
蒜苗高度 1 2.4 4.6 5 6 6.4
A. 15 B. 16 C. 17 D. 18
【答案】D
【解析】
【分析】由表中数据可得样本中心点，代入回归方程求出 ，确定回归方程，计算得解.
【详解】由表中数据得 ，代入方程 ，解得 ，
则回归方程为 ，
令 ，解得 ，因为 ，所以 .
故选：D.
7. 居民的某疾病发病率为 ，现进行普查化验，医学研究表明，化验结果是可能存有误差的．已知患有
该疾病的人其化验结果 呈阳性，而没有患该疾病的人其化验结果 呈阳性．现有某人的化验结果呈
阳性，则他真的患该疾病的概率是（ ）
A. 0.99 B. 0.9 C. 0.5 D. 0.1
【答案】C
【解析】
【分析】记事件 某人患病，事件 化验结果呈阳性，利用全概率公式求出 的值，再利用条件概率
公式可求得所求事件的概率.
【详解】记事件 某人患病，事件 化验结果呈阳性，
由题意可知 ， ， ，
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所以，
，
现在某人的化验结果呈阳性，则他真的患该疾病的概率是：
.
故选：C.
8. 当 时，关于 的不等式 恒成立，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由已知得 ，构造函数 ，利用导数判断出 的
单调性，可得 在 时恒成立，令 ，利用导数求出 的最大值可得答案.
【详解】由 得 ，
即 ，
令 ，则 ，
所以 在 上单调递增，
由 ，
可得 ， ，即 在 时恒成立，
令 ，则 ，令 得 ，
当 时 ， 单调递增，
当 时 ， 单调递减，
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所以 ，所以 .
故选：D.
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 下列说法中，正确的是（ ）
A. 一组数据 10，11，11，12，13，14，16，18，20，22 的第 50 百分位数为 13
B. 某人解答 5 个问题，答对题数为 X，若 ，则
C. 在 的展开式中，各项系数和与所有项二项式系数和相等
D. 已知一系列样本点 的经验回归方程为 ，若样本点 与 的残差
相等，则
【答案】BC
【解析】
【分析】计算第 50 百分位数判断选项 A；计算二项分布的方差判断选项 B；由二项展开式中各项系数和与
所有项二项式系数和的计算判断选项 C；由残差的计算验证选项 D.
【详解】对于 A，这组数据共 10 个， ，则第 50 百分位数为 ，A 选项错误；
对于 B，若 ，则 ，B 选项正确；
对于 C，在 的展开式中，所有项二项式系数和为 ，令 ，各项系数和为
即各项系数和与所有项二项式系数和相等，C 选项正确；
对于 D，样本点 与 的残差相等，则有
得 ，D 选项错误.
故选：BC.
10. 已知函数 ，则（ ）
A. 有两个极值点 ，
B. 有三个零点
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C. 点 是 的对称中心
D. 在区间 上有最大值，则 a 的取值范围为
【答案】BCD
【解析】
【分析】求导，令导函数为 0 得到其极值点即可判断 A，求出其极值大小即可得到其零点个数，则判断 B，
计算 即可判断 C，作出函数图象，则得到不等式组，解出即可判断 D.
【详解】对于 A，令 ，解得 ，
当 时， ，当 ， ，
函数 在 上单调递增，在 上单调递减，在 单调递增，所以 有两个极值点
，故 A 错误；
对于 B，由 A 知 ，
即三次函数 的极大值大于 0，极小值小于 0，从而 有三个零点，故 B 正确；
对于 C，因为 ，则点 是 的对
称中心，故 C 正确；
对于 D，因为 ，结合函数图象 ，所以 ，故 D 正确.
故选：BCD.
11. 已知直线 与曲线 相交于 两点，与 相交于 两点， 的横坐标分别
为 ，则（ ）
A. B. C. D.
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【答案】ACD
【解析】
【分析】根据题意，利用导数分别求得函数 和 的单调性和最大值，作出两个函数的图象，
利用图象结合对数的运算性质，逐项判定，即可求解.
【详解】由函数 ，可得 ，令 ，可得 ，
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减，
所以当 时，函数取得最大值，最大值为 ，
又由函数 ，可得 ，令 ，可得 ，
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减，
所以当 时，函数取得最大值，最大值为 ，
作出两个函数 和 的图象，如图所示，
由 ，可得 ，所以 A 正确；
因为 且 在 上单调递增，
又因为 ，所以 ，所以 ，所以 B 错误；
因为 且 在 上单调递减，
又因为 ， ，所以 ，所以 C 正确；
由 ，所以 D 正确.
故选：ACD.
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【点睛】方法技巧
已知函数零点（方程根）的个数，求参数的取值范围问题的三种常用方法：
1、直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式（组），再通过解不等式（组）确定参数的取值范围 2
、分离参数法，先分离参数，将问题转化成求函数值域问题加以解决；
3、数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中作出函数的图象，然后数形结合求解.
结论拓展：与 和 相关的常见同构模型
① ，构造函数 （或 ，构造函数
）；
② ，构造函数 （或 ，构造函数 ）；
③ ， 构 造 函 数 （ 或
，构造函数 ）.
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 街道上有编号 1，2，.3， 的十盏路灯，为节省用电又能看清路面，可以把其中的三盏路灯关掉，
但不能同时关掉相邻的两盏或三盏，在两端的灯都不能关掉的情况下，满足条件的关灯方法有__________
种.
【答案】
【解析】
【分析】采用插空法即可求解.
【详解】10 只灯关掉 3 只，实际上还亮 7 只灯，而又要求不关掉两端的灯和相邻的灯，此题可以转化为在
7 只亮着的路灯之间的 6 个空挡中放入 3 只熄灭的灯，有 种方法，
故答案为： .
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13. 已知函数 为定义在 上的可导函数，且 ．则不等式 的
解集为______．
【答案】
【解析】
【分析】令 ， ，利用导数求出函数的单调性，不等式 ，即
，根据单调性转化为自变量的不等式，解得即可.
【详解】因为 ，
令 ， ，则 ，
所以 在 上单调递增，
不等式 ，即 ，
即 ，所以 ，解得 ，
即不等式 的解集为 .
故答案为：
14. 组合恒等式 ，可以利用“算两次”的方法来证明：分别求 和 的
展开式中 的系数．前者 的展开式中 的系数为 ；后者 的展开式
中 的系数为 .因为
，则两个展开式中 的系数也相等，即 ．请用“算两次”的
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方法化简下列式子： ______．
【答案】
【解析】
【分析】结合所给信息，构造 ，利用系数相等可求.
【详解】因为 ，则两个展开式中 的系数也相等，在 中 的系数为
，而在
中 的系数为
，
所以可得 .
【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，精准理解题目所给信息是求解关键，侧重考查数学抽象和数学
建模的核心素养.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数 ，且 ，求：
（1） 的值；
（2）曲线 在点 处的切线方程；
（3）函数 在区间 上的最大值．
【答案】（1）1 （2）
（3）4
【解析】
【分析】（1）先求导，利用 求出参数 a；
（2）根据导数的几何意义可得切线斜率，点斜式求出切线方程即可；
（3）先求导，然后根据导数研究函数的单调性，即可求最值.
【小问 1 详解】
,
，解得：
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【小问 2 详解】
由（1）知 ，所以 ,
曲线 在点 处的斜率为 ，
所以切线方程 ，即 ，
即 .
【小问 3 详解】
由（1）可知： ， ，
令 ，解得 ，
故当 时， ，所以 单调递减；
当 时， ，所以 单调递增；
所以 区间 内，当 或 时可能取最大值，
又 ，
所以 最大值为 .
16. 已知 ，其中 ， ， ， ， ．且 展
开式中仅有第 5 项的二项式系数最大．
（1）求 的值；
（2）求 （用数值作答）；
（3）若 ，求二项式的值被 7 除的余数．
【答案】（1）8； （2） ；
（3）1.
【解析】
【分析】（1）根据二项式系数的性质求解可得；
（2）分别令 ， 即可求解；
（3）将 代入二项式得 ，变形为 ，利用二项式定理展开，根据 是 7 的倍数即可求得余
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数.
【小问 1 详解】
因为 展开式中仅有第 5 项的二项式系数最大，
所以 ，解得 .
【小问 2 详解】
令 得 ，
令 得 ，
所以 .
【小问 3 详解】
若 ，则
，
因为 是 7 的倍数，所以 能被 7 整除，
所以 被 7 除的余数为 1.
17. 已知函数 ．
（1）讨论函数 的单调性；
（2）若函数 有 个零点，求 的范围
（3）若函数 在 处取得极值，且存在 ，使得 成立，求实数 的取值范
围．
【答案】（1）答案见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）求出函数的定义域与导函数，再分 和 两种情况讨论，分别求出函数的单调区间；
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（2）令 ，即 ，令 ， ，依题意直线 与 的
图象有两个交点，利用导数说明函数的单调性，即可得到函数图象，数形结合求出参数 的取值范围；
（3）参变分离可得存在 ，使得 成立，令 ， ，利
用导数求出函数的最小值，即可求出 的取值范围.
【小问 1 详解】
函数 的定义域为 ，
又 ．
当 时，则 恒成立， 在 上单调递减；
当 时，由 ，解得 ，由 ，解得 ．
在 上单调递增，在 上单调递减；
综上可得，当 时， 在 上单调递减；
当 时， 上单调递增，在 上单调递减.
【小问 2 详解】
令 ，即 ，因为 ，
所以 ，
因为函数 有 个零点，所以 在 有两根，
令 ， ，
也即直线 与 的图象有两个交点，
又 ，
当 时 ，故 在 上单调递增；
当 时 ，故 在 上单调递减.
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又当 时， ， ， ，
则 的图象如下所示：
数形结合可得 ，故 的取值范围为 ；
【小问 3 详解】
在 处取得极值，
由（1）得， ，
，即 ，解得 ，
则 ，令 ， ；令 ，
所以函数 在 单调递减，在 单调递增，在 处取极小值.
．
存在 ，使得 成立，
即存在 ，使得 成立，
则 ， ，
令 ， ，
则 ，所以当 时 ，当 时 ．
所以 在 上单调递增，在 上单调递减．
，
故 ，故 的取值范围为 ．
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【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为
不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的
单调性、极(最)值问题处理．
18. 陶瓷历史已逾千年，始于春秋，兴于辽金，盛于明清.目前某省有 53 家陶瓷企业，某陶瓷厂准备烧制甲、
乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后才可进入第二次烧制，
两次烧制过程相互独立.根据该厂现有的技术水平，经过第一次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依
次为 ， ， ，经过第二次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格概率依次为 ， ， .
（1）求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率；
（2）经过前后两次烧制后，如果陶瓷合格则可以上市销售，每件陶器可获利 100 元；如果陶器不能合格，
则每件陶器亏损 80 元，求这 3 件陶器最终盈亏 分布列和数学期望.
（3） ， ， 三位学徒跟师傅学习制作某种陶器，经过一段时间 学习后，他们各自能制作成功该陶器
的概率分别为 ， ， ，且 ，现需要他们三人制作一件该陶器，每次只有一个人
制作且每个人只制作一次，如果有一个人制作失败则换下一个人重新制作，若陶器制作成功则结束.按 ，
， 的顺序制作陶器，若 ， ，求制作陶器人数 的数学期望的最大值.
【答案】（1）
（2）分布列见解析，30
（3）
【解析】
【分析】（1）根据题意结合独立事件概率乘法公式和互斥事件加法公式运算求解；
（2）求出三人烧制成功的概率均为 ，根据题意结合二项分布求分布列和期望.
（3）根据题意列出分布列，求出均值，利用导数求期望 最大值；
【小问 1 详解】
分别记甲､乙､丙经第一次烧制后合格的事件分别为 ，
设 表示第一次烧制后恰有一件产品合格的事件，则
；
【小问 2 详解】
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分别记甲､乙､丙三件产品经过两次烧制后合格的为事件 ，
则 ， ， .
设经过两轮烧制后合格品的件数为 ，则 ，
由题意 ，即 的可能取值为 ，
由于 ； ；
， .
所以 ； ； ， ，
所以随机变量 的分布列为
120 300
故随机变量 的数学期望 ，
【小问 3 详解】
由题意，制作陶器人数 的可能值为 1，2，3.
于是 ， ， ，
则随机变量 X 的分布列为
X 1 2 3
P
所以 ，
又 ，则 ，
设 ， ，
所以 在 上单调递增，则 ，
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所以 ，所以当 时， 的最大值为 .
19. 用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇，衡量曲线弯曲
程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若 是 的导函数， 是 的导函数，
则曲线 在点 处的曲率 .
（1）求曲线 在 处的曲率 的平方；
（2）求余弦曲线 曲率 的最大值；
（3）余弦曲线 ，若 ，判断 在区间 上零点的
个数，并写出证明过程.
【答案】（1）
（2）1 （3）2，证明见解析
【解析】
【分析】（1）求出 ， ，再根据所给定义计算 即可；
（2）根据所给定义表示出 ，即可得到 ，再令 ，设 ，
，利用导数求出函数的最大值，即可得解；
（3）首先得到 ，求出函数的导函数，分 、 、 三
种情况讨论，结合零点存在性定理判断函数的零点个数.
【小问 1 详解】
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因为 ，所以 ， ，
所以 ，∴ .
【小问 2 详解】
因为 ， ， ，
所 ， ，
令 ，则 ， ，
设 ， ，则 ，显然当 时， ，
在 上单调递减，
所以 ，
所以 最大值为 ，所以 的最大值为 .
【小问 3 详解】
在区间 上有且仅有 2 个零点.
证明： ，所以 ，
①当 时，因为 ， ，则 ， ，
∴ ， 在 上单调递增，又 ， .
∴ 在 上有一个零点，
②设 ，则 ，当 时， ， 单调递增，
，又 ，
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∴ 恒成立，
∴ 在 上无零点.
③当 时， ， ，
∴ 在 上单调递减，又 ， .
∴ 在 上必存在一个零点，
综上， 在区间 上有且仅有 2 个零点.
【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为
不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的
单调性、极(最)值问题处理．
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