上海市建平中学2024-2025学年高三下学期3月月考数学试卷（含答案解析）

这是一份上海市建平中学2024-2025学年高三下学期3月月考数学试卷（含答案解析），共15页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、填空题(本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分)
1. 已知复数，其中i为虚数单位，则______.
2. 已知全集，，则______.
3. 在的展开式中，常数项为___________.
4. 已知随机变量，若，则______.
5. 数列满足（n为正整数），且与的等比中项是2，则______.
6. 若实数x，y满足，则的取值范围是__________；
7. 将序号分别为1，2，3，4，5的5张电影券全部分给甲、乙、丙、丁4人，每人至少1张，则在甲分得2张电影券的条件下，其分得2张电影券连号的概率为______.
8. 已知曲线与直线有两个相异的交点，那么实数b的取值范围是______.
9. 已知函数为奇函数，则______.
10. 已知双曲线的两条渐近线将双曲线所在平面分为上，下，左，右4个部分（不含渐近线上的点），若位于上部分，不位于下部分，则C的离心率的取值范围为______.
11. 为进一步缓解中小学放学时道路拥堵问题，小明提出一个改造方案：假设校门口有条长155米，宽10米的公路（如图矩形ABCD），公路的一侧划有31个长5米宽2.5米的停车位（如矩形AEFG），由于停车位不足，放学时段造成道路拥堵，在不改变停车位的大小和汽车通道宽度的条件下，通过压缩道路边绿化带及改变停车位方向来增加停车位，记绿化带被压缩的宽度（米），此时，停车位相对道路倾斜的角度，其中，该路段改造后的停车位比改造前增加______个.

12. 已知，（i，，2，3）均为实数，且满足，，，，且的最大值是______.
二、单选题(本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分)
13. “”是“直线与垂直”的（ ）.
14. 经验表明，一般树的胸径（树的主干在地面以上1.3m处的直径）越大，树就越高.在研究树高y与胸径x之间的关系时，某同学收集了某种树的5组观测数据（如下表）：假设树高y与胸径x满足的经验回归方程为，则（ ）
15. 已知函数，.若存在，存在，使成立，则实数a的取值范围是（ ）
16. 已知数列满足，有如下两个命题：命题：“是严格增数列”的充要条件是“存任使得对任意，都有”；命题：“是严格减数列”的充要条件是“存在使得对任意，都有”.则下列说法中正确的是（ ）
三、解答题(本大题共 5 小题，每小题 8 分，共 40 分)
17. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，且，的中点为，的中点为.
(1)证明：平面；
(2)若直线与面所成角为，求点到平面的距离.
18. 在中，角所对的边分别为.
(1)若，求的面积S；
(2)若角C的平分线与的交点为，求的最小值.
19. 马尔可夫链是因俄国数学家安德烈·马尔可夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第次状态的概率分布只跟第n次的状态有关，为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校开学后，食堂从开学第一天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐.已知某同学每天中午会在食堂提供的两种套餐中选择，已知他第一天选择米饭套餐的概率为，而前一天选择了米饭套餐后一天继续选择米饭套餐的概率为，前一天选择面食套餐后继续选择面食套餐的概率为，如此往复.
(1)求该同学第二天中午选择米饭套餐的概率；
(2)记该同学第n天选择米饭套餐的概率为；
①证明：为等比数列；
②当时，恒成立，求m的取值范围.
20. 如图，已知椭圆的上、下焦点分别为，，焦距为2，离心率为，称圆心在椭圆上运动，且半径为的圆是椭圆的“环绕圆”.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)记直线与椭圆的另一个交点为点，“环绕圆”的面积为，三角形的面积为，试判断，是否存在点，使，若存在，求满足条件的直线的条数，若不存在，请说明理由；
(3)若过原点可作“环绕圆”的两条切线，分别交椭圆于、两点，直线，的斜率存在，记为，，求的最小值.
21. 已知函数，若点P是函数的图像的两条互相垂直的切线的交点：则点P是函数的“特征点”，记的所有“特征点”的集合为；
(1)若，，求；
(2)若，求证：函数的所有“特征点”在一条定直线上，并求出这条直线的方程；
(3)若，记函数的所有点组成的集合为N，且，求实数a的取值范围.
上海市建平中学2024-2025学年高三下学期3月月考数学试卷
整体难度：适中
考试范围：复数、集合与常用逻辑用语、计数原理与概率统计、数列、坐标系与参数方程、函数与导数、平面解析几何、三角函数与解三角形、平面向量、不等式选讲、空间向量与立体几何、等式与不等式
试卷题型
试卷难度
细目表分析
知识点分析
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
第20题：
第21题：
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．不充分也不必要条件
胸径x/cm
8
9
10
11
12
树高y/m
8.2
10
11
12
13.8
A．当胸径时，树高y的预测值为14
B．
C．表中的树高观测数据y的40%分位数为10
D．当胸径时，树高y的离差为0.32
A．
B．
C．
D．
A．和都是真命题
B．是真命题，是假命题
C．是假命题，是真命题
D．和都是假命题
题型
数量
填空题
12
单选题
4
解答题
5
难度
题数
容易
5
较易
5
适中
6
较难
3
困难
2
题号
难度系数
详细知识点
一、填空题
1
0.94
求复数的模；复数的除法运算
2
0.94
补集的概念及运算
3
0.85
求指定项的系数
4
0.94
指定区间的概率
5
0.94
判断等差数列；等比中项的应用
6
0.65
圆的参数方程
7
0.94
计算条件概率；计算古典概型问题的概率
8
0.85
根据函数零点的个数求参数范围；由直线与圆的位置关系求参数
9
0.85
由奇偶性求参数
10
0.65
求双曲线的离心率或离心率的取值范围
11
0.4
已知正（余）弦求余（正）弦；余弦函数图象的应用；等差数列的简单应用
12
0.4
数量积的坐标表示
二、单选题
13
0.85
判断命题的充分不必要条件；已知直线垂直求参数
14
0.85
根据回归方程进行数据估计；根据样本中心点求参数
15
0.65
分类讨论解绝对值不等式；函数基本性质的综合应用
16
0.15
判断数列的增减性；由递推数列研究数列的有关性质
三、解答题
17
0.65
证明线面平行；点到平面距离的向量求法
18
0.65
正弦定理边角互化的应用；余弦定理解三角形；三角形面积公式及其应用；基本不等式求和的最小值
19
0.4
确定数列中的最大（小）项；利用全概率公式求概率；由递推关系证明等比数列
20
0.65
椭圆中三角形（四边形）的面积；求椭圆中的最值问题；过圆外一点的圆的切线方程；根据离心率求椭圆的标准方程
21
0.15
求在曲线上一点处的切线方程（斜率）；求过一点的切线方程；求曲线切线的斜率（倾斜角）；函数新定义
序号
知识点
对应题号
1
复数
1
2
集合与常用逻辑用语
2,13
3
计数原理与概率统计
3,4,7,14,19
4
数列
5,11,16,19
5
坐标系与参数方程
6
6
函数与导数
8,9,15,21
7
平面解析几何
8,10,13,20
8
三角函数与解三角形
11,18
9
平面向量
12
10
不等式选讲
15
11
空间向量与立体几何
17
12
等式与不等式
18