湖南省长沙市2024_2025学年高三上学期期中第三个月考数学试卷[附解析]

这是一份湖南省长沙市2024_2025学年高三上学期期中第三个月考数学试卷[附解析]，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.集合的真子集个数是（ ）
A.7B.8C.15D.16
2.“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
3.已知角的终边上有一点的坐标是，其中，则（ ）
A.B.C.D.
4.设向量，满足，，则等于（ ）
A.B.2C.5D.8
5.若无论为何值，直线与双曲线总有公共点，则的取值范围是（ ）
A.B.
C.，且D.，且
6.已知函数的图象关于原点对称，且满足，且当时，，若，则等于（ ）
A.B.C.D.
7.已知正三棱台所有顶点均在半径为5的半球球面上，且，，则该三棱台的高为（ ）
A.1B.4C.7D.1或7
8.北宋数学家沈括博学多才、善于观察.据说有一天，他走进一家酒馆，看见一层层垒起的酒坛，不禁想到：“怎么求这些酒坛的总数呢？”经过反复尝试，沈括提出对于上底有个，下底有个，共层的堆积物（如图所示），可以用公式求出物体的总数，这就是所谓的“隙积术”，相当于求数列，的和.若由小球堆成的上述垛积共7层，小球总个数为238，则该垛积最上层的小球个数为（ ）
A.2B.6C.12D.20
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.若，则下列正确的是（ ）
A.B.
C.D.
10.对于函数和，下列说法中正确的有（ ）
A.与有相同的零点B.与有相同的最大值点
C.与有相同的最小正周期D.与的图象有相同的对称轴
11.过点的直线与抛物线交于，两点，抛物线在点处的切线与直线交于点，作交于点，则（ ）
A.
B.直线恒过定点
C.点的轨迹方程是
D.的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知复数，的模长为1，且，则________.
13.在中，角，，所对的边分别为，，已知，，，则________.
14.若正实数是函数的一个零点，是函数的一个大于e的零点，则的值为________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分13分）
现有某企业计划用10年的时间进行技术革新，有两种方案：
两方案使用期都是10年，贷款10年后一次性还本付息（年末结息），若银行贷款利息均按的复利计算.
（1）计算10年后，A方案到期一次性需要付银行多少本息？
（2）试比较A、B两方案的优劣.
（结果精确到万元，参考数据：，）
16.（本小题满分15分）
如图，四棱锥中，底面为等腰梯形，.点在底面的射影点在线段上.
（1）在图中过作平面的垂线段，为垂足，并给出严谨的作图过程；
（2）若.求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
17.（本小题满分15分）
已知函数，为的导数.
（1）证明：当时，；
（2）设，证明：有且仅有2个零点.
18.（本小题满分17分）
在平面直角坐标系中，已知椭圆的两个焦点为、，为椭圆上一动点，设，当时，面积取得最大值.
（1）求椭圆的标准方程.
（2）过点的直线与椭圆交于不同的两点、（在，之间），若为椭圆上一点，且，
①求的取值范围；
②求四边形的面积.
19.（本小题满分17分）
飞行棋是大家熟悉的棋类游戏，玩家通过投掷骰子来决定飞机起飞与飞行的步数.当且仅当玩家投郑出6点时，飞机才能起飞.并且掷得6点的游戏者可以连续投掷骰子，直至显示点数不是6点.飞机起飞后，飞行步数即骰子向上的点数.
（1）求甲玩家第一轮投掷中，投郑次数的均值）
（2）对于两个离散型随机变量，，我们将其可能出现的结果作为一个有序数对，类似于离散型随机变量的分布列，我们可以用如下表格来表示这个有序数对的概率分布：
（记，）
若已知，则事件的条件概率为.可以发现依然是一个随机变量，可以对其求期望.
（ⅰ）上述期望依旧是一个随机变量（取值不同时，期望也不同），不妨记为，求；
（ⅱ）若修改游戏规则，需连续掷出两次6点飞机才能起飞，记表示“甲第一次未能掷出6点”表示“甲第一次掷出6点且第二次未能掷出6点”，表示“甲第一次第二次均掷出6点”，为甲首次使得飞机起飞时抛掷骰子的次数，求.
数学答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.C集合共有（个）真子集.故选C.
2.A解不等式，得，解不等式，得，所以“”是“”的充分不必要条件.
3.C根据三角函数的概念，，，故选C.
4.B.
5.B易得原点到直线的距离，故直线为单位圆的切线，由于直线与双曲线总有公共点，所以点必在双曲线内或双曲线上，则.
6.D依题意函数的图象关于原点对称，所以为奇函数，
因为，
故函数的周期为4，则，而，
所以由可得，而，所以，解得.
7.A上下底面所在外接圆的半径分别为，，过点，，，的截面如图：
，，，故选A.
8.B由题意，得，，则由得，整理得，所以.因为，为正整数，所以或6.因此有或而无整数解，因此.故选B.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.BC对于A：令，则，故A错误；
对于B：令，则，故B正确；
对于C：令，则，故C正确；
对于D，由，
两边同时求导得，
令，则，故D错误.故选BC.
10.ACD，.
令，则，；令，则，，两个函数的零点是相同的，故选项A正确.
的最大值点是，，的最大值点是，，两个函数的最大值虽然是相同的，但最大值点是不同的，故选项B不正确.
由正弦型函数的最小正周期为可知与有相同的最小正周期，故选项C正确.
曲线的对称轴为，，曲线的对称轴为，，两个函数的图象有相同的对称轴，故选项D正确.故选ACD.
11.BC作图如下：
设直线的方程为（斜率显然存在），，，
联立消去整理可得，由韦达定理得，，
A.，，故A错误；
B.抛物线在点处的切线为，当时，，即，直线的方程为，整理得，直线恒过定点，故B正确；
C.由选项B可得点在以线段为直径的圆上，点除外，故点的轨迹方程是，故C正确；
D.，
，
则，
令，，则，
设，，则，当时，单调递增，
所以，故D错误.故选BC.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.1设，，因为，所以.
因为，，所以，
所以，
所以，，所以.
13.在中，因为，所以.
又，可知为锐角且.
由正弦定理，，
于是.
将及的值代入可得，
平方得，故.
14.e依题意得，，即，，，即，，
，
，，
又，，同构函数：，
则，又，
，，，又，，单调递增，
，.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（1）A方案到期时银行贷款本息为（万元）.……（3分）
（2）A方案10年共获利：（万元），……（5分）
到期时银行贷款本息为（万元），所以A方案净收益为：（万元），……（7分）
B方案10年共获利：（万元），……（9分）
到期时银行贷款本息为（万元），……（11分）
所以B方案净收益为：（万元），……（12分）
由比较知A方案比B方案更优.……（13分）
16.（1）连接，有平面，所以.
在中，.
同理，在中，有.
又因为，所以，，所以，
，故，即.
又因为，，平面，所以平面.
平面，所以平面平面.……（5分）
过作垂直于点，因为平面平面，平面平面，
且平面，有平面.……（7分）
（2）依题意，.故为，的交点，且.
所以，.
过作直线的平行线，则，，，两两垂直，以为原点建立如图所示空间直角坐标系，
则：，，，，
所以，，，.
设平面的法向量为，
则取.
同理，平面的法向量，
，……（14分）
故所求锐二面角余弦值为.……（15分）
17.（1）由，
设，则，
当时，设，，
，，
和在上单调递增，，，
当时，，，
则，
函数在上单调递增，，
即当时，.
（2）由已知得.
①当时，，在上单调递增，
又，，由零点存在定理可知，在上仅有一个零点.……（10分）
②当时，设，则，
在上单调递减，，
，，
在上单调递减，
又，，
由零点存在定理可知在上仅有一个零点，
综上所述，有且仅有2个零点.……（15分）
18.（1）设，为椭圆的焦半距，，
，当时，最大，此时或，不妨设，当时，得，所以，又因为，所以，.
从，而椭圆的标准方程为.……（3分）
（2）由题意，直线的斜率显然存在.设，.……（4分）
，同理，.
.……（6分）
联立，……（8分）
，.……（9分）
又，，，同号.
.
，，.
令，则，解得，.……（12分）
（3），.且四边形为平行四边形.
由（2）知，，
.而在椭圆上，.
化简得.……（14分）
线段，……（15分）
到直线的距离.……（16分）
.……（17分）
19.（1），，2，3，…，
所以，，2，3，…，
记，则.
作差得：，
所以，.
故.……（6分）
（2）（ⅰ）所有可能的取值为：，.
且对应的概率，.
所以，
又，所以.……（12分）
（ⅱ），；，；，，
，故.……（17分）贷款
利润
A方案
一次性向银行贷款10万元
第1年利润1万元，以后每年比前一年增加的利润
B方案
每年初向银行贷款1万元
第1年利润1万元，以后每年比前一年增加利润3000元
1
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
C
A
C
B
B
D
A
B
BC
ACD
BC