人教A版高中数学高二上册选择性必修第一册同步考点讲与练 第一次月考数学试卷（提高篇）（2份，原卷版+解析版）

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一．选择题
1．在以下命题中：
①三个非零向量a，b，c不能构成空间的一个基底，则a，b，c共面；
②若两个非零向量a，b与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a，b共线；
③对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若OP=2OA−2OB−2OC，则P，A，B，C四点共面
④若a，b是两个不共线的向量，且c=λa+μb(λ,μ∈R,λ,μ≠0)，则{a,b,c}构成空间的一个基底
⑤若a,b,c为空间的一个基底，则a+b,b+c,c+a构成空间的另一个基底；
其中真命题的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
2．已知直线kx−y−k−1=0和以M−3,1，N3,2为端点的线段相交，则实数k的取值范围为（ ）
A．−12≤k≤32B．−2≤k≤23
C．k≤−12或k≥32D．k≤−2或k≥23
3．已知矩形ABCD,P为平面ABCD外一点，PA⊥平面ABCD，点M,N满足PM=12PC，PN=23PD．若MN=xAB+yAD+zAP，则x+y+z=（ ）
A．−1B．1C．−12D．12
4．瑞士数学家欧拉在《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上．这条直线被称为欧拉线．已知△ABC的顶点A−3,0，B3,0，C3,3，若直线l：ax+a2−3y−9=0与△ABC的欧拉线平行，则实数a的值为（ ）
A．－2B．－1C．－1或3D．3
5．在平面直角坐标系中，已知点Pa,b满足a+b=1，记d为点P到直线x−my−2=0的距离.当a,b,m变化时，d的最大值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
6．若点N为点M在平面α上的正投影，则记N=fαM.如图，在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，记平面AB1C1D为β，平面ABCD为γ，点P是棱CC1上一动点（与C、C1不重合）Q1=fγfβP，Q2=fβfγP.给出下列三个结论：
①线段PQ2长度的取值范围是12,22；
②存在点P使得PQ1//平面β；
③存在点P使得PQ1⊥PQ2.
其中，所有正确结论的序号是
A．①②③B．②③C．①③D．①②
7．已知圆O：x2+y2=2，过直线l：2x+y=5在第一象限内一动点P作圆O的两条切线，切点分别是A，B，直线AB与两坐标轴分别交于M，N两点，则△OMN面积的最小值为（ ）
A．12B．1625C．2516D．2
8．如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，线段B1D1上有两个动点E，F（E在F的左边），且EF=2. 下列说法正确的是（ ）
A．当E，F运动时，存在点E，F使得AE⊥CF
B．当E，F运动时，存在点E，F使得AE∥BF
C．当E运动时，二面角E−AB−C的最小值为45°
D．当E，F运动时，二面角A−EF−B的余弦值为定值13
二．多选题
9．已知向量a=1,1,−1，b=2,−1,0，c=0,1,−2，则下列结论正确的是（ ）
A．a⋅b+c=4B．a−b⋅b−c=−8
C．记a与b−c的夹角为θ，则csθ=13D．若a+λb⊥c，则λ=3
10．已知圆的圆心在直线x=2上，且与l:x−3y+2=0相切于点P1,3，过点Q1,0作圆的两条互相垂直的弦AB，CD，记线段AB，CD的中点分别为M，N，则下列结论正确的是（ ）
A．圆的方程为x−22+y2=4
B．四边形ACBD面积的最大值为72
C．弦AB的长度的取值范围为[23,4]
D．直线MN恒过定点32,0
11.在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，P为侧面BCC1B1（不含边界）内的动点，Q为线段A1C上的动点，若直线A1P与A1B1的夹角为45∘，则下列说法正确的是（ ）
A．线段A1P的长度为2
B．33A1Q+PQ的最小值为1
C．对任意点P，总存在点Q，便得D1Q⊥CP
D．存在点P，使得直线A1P与平面ADD1A1所成的角为60°
三．填空题
12.在四面体OABC中，空间的一点M满足OM=12OA+16OB+λOC，若MA，MB，MC共面，则λ= ．
13.在平面直角坐标系xOy中，已知动点Pa,b到两直线l1:y=2x与l2:y=−12x+1的距离之和为5，则ba+5的取值范围是 .
14.已知圆C：(x−a)2+(y−b)2=4的图象在第四象限，直线l1：ax+by+3=0，l2：bx−ay+4=0.若l1上存在点P，过点P作圆C的切线PA，PB，切点分别为A，B，使得△APB为等边三角形，则l2被圆C截得的弦长的最大值为 .
四．解答题
15.已知直线l1：2a−1x−a−2y+1=0，直线l2：a+1x−2y−1=0．
(1)若l1∥l2，求实数a的值；
(2)若l1⊥l2，求实数a的值．
16.已知点A−2，0，2、B−1，1，2、C−3，0，4，a=AB，b=AC．
(1)若c=3，且c//BC，求c；
(2)求csa，b；
(3)若ka+b与ka−2b垂直，求k．
17.如图，已知A(6,63)，B(0,0)，C(12,0)，直线l:(k+3)x−y−2k=0．
(1)证明直线l经过某一定点，并求此定点坐标；
(2)若直线l等分△ABC的面积，求直线l的一般式方程；
(3)若P(2,23)，李老师站在点P用激光笔照出一束光线，依次由BC（反射点为K）、AC（反射点为I）反射后，光斑落在P点，求入射光线PK的直线方程．
18.已知圆C：x−22+y2=1，点P是直线l:x+y=0上一动点，过点P作圆C的两条切线，切点分别为A，B.
(1)若P的坐标为P−1,1，求过点P的切线方程；
(2)试问直线AB是否恒过定点，若是，求出这个定点，若否说明理由；
(3)直线x−y+m=0与圆C交于E，F两点，求OE·OF的取值范围（O为坐标原点）.
19.如图，四棱台ABCD−A1B1C1D1中，上､下底面均是正方形，且侧面是全等的等腰梯形，AB=2A1B1=4,E､F分别为DC､BC的中点，上下底面中心的连线O1O垂直于上下底面，且O1O与侧棱所在直线所成的角为45∘.
(1)求证：BD1 ∥平面C1EF；
(2)求点A1到平面C1EF的距离；
(3)边BC上是否存在点M，使得直线A1M与平面C1EF所成的角的正弦值为32222，若存在，求出线段BM的长；若不存在，请说明理由.