辽宁省新高考联盟2026届高三上学期8月质量监测暨第高考零次诊断测试数学试卷

这是一份辽宁省新高考联盟2026届高三上学期8月质量监测暨第高考零次诊断测试数学试卷，共9页。
高 三 数 学
本试卷满分 150 分考试时间 120 分钟
第Ⅰ卷 选择题（共 58 分）
一、单选题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）
2
1．已知集合? = {?|2−? < 2 }, ? = {?|lg ? > 0 }，则
A．? ∪ ? = {?|? > −1 }B．? ∪ ? = ?
C．? ∩ ? = {?|−1 < ? < 1 }D．? ∩ ? = ∅
2．已知? = 2 ，则|?| =.
1−i
A．√2
2
B．1C．√2D．2
若用半径为4cm的半圆形纸片卷成一个圆锥筒，则这个圆锥筒的体积为
2√3πcm3B．8√3 πcm3C．4√3 πcm3D．8πcm3
33
下列函数中，最小正周期为π的偶函数是
A．? = cs?B．? = sin2?C．? = |sin?|D．? = tan|?|
已知? ，? 是椭圆?2 + ?2 = 1(? > ? > 0)的左、右焦点，P 是椭圆上任意一点，过? 引
12?2?21
∠? ?? 的外角平分线的垂线，垂足为 Q，且 Q 与短轴顶点的最短距离为?，则椭圆的离心
12
率为
A．2
3
B．3
4
C．4
5
2
D．5
6
已知△ ???的内角?，?，?满足sin2? + sin2? + sin2? = 1，其面积? = 2，则△ ???的外接圆半径?为
A．2B．2√2C．4D．4√2 7．已知点?(1, ?)不在函数?(?) = ?3 − 3??的图象上，且过点?仅有一条直线与?(?)的图象相切，则实数?的取值范围为
A．(−∞, 0] ∪ (1 , +∞)B．(−∞, 0) ∪ [1 , +∞)
44
C．(−∞, 0) ∪ (1 , +∞)D．(−∞, 0] ∪ [1 , +∞)
44
抛掷一枚质地均匀的硬币 3 次，每一次抛掷的结果要么正面向上要么反面向上，记“第
一次硬币正面向上”为事件?，“三次试验恰有 1 次正面向上”为事件?，“三次试验恰有 2 次正面向上”为事件?，“三次试验全部正面向上或者全部反面向上”为事件?，则下列说法错误的是
?与?不互斥B．?与?相互独立
C．?与?相互独立D．?与?互斥但不对立
二、多选题（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分，在每小题所给的四个选项中，有
多项符合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分）
如图，这是某地 2022 年 4 月至 2023 年 3 月每月最低气温与最高气温（单位：℃）的折线统计图.已知每月最低气温与最高气温的样本相关系数? = 0.84，则下列结论正确的有
每月最低气温与最高气温有较强的线性相关性，且二者为线性正相关 B．月温差（月最高气温一月最低气温）的最大值出现在 10 月
C．9 ∼ 12月的月温差相对于5 ∼ 8月波动性更大
D．每月最高气温与最低气温的值在前 6 个月逐月增加
10．已知tan? + tan? = −tan(? + ?) ≠ 0，则tan ?+?的取值可以为
2
A．√2
2
−1C．1
2
D．4
5
已知圆?: (? − 2)2 + (? − 2)2 = 4，直线?过点?(2,4)，则下列说法正确的是
点?在圆?上
若直线?过原点，则圆?截直线?所得弦长为4
5
C．若?与圆?相切，则?的方程为? = 4
D．若?与圆?相交于 A，B 两点，且△ ???为直角三角形，则?的方程为? − ? + 2 = 0
第Ⅱ卷 非选择题（共 92 分）
三、填空题（本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分）
12．已知函数?(?) = ? ⋅ 2? + 21−?是定义域为 R 的偶函数，则?(−2) =．
过抛物线?2 = 4?的焦点且垂直于抛物线对称轴的直线?与抛物线交于 A，B 两点，则
|??| =．
某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，一个瓶子的制造成本是0.8π?2分，其中?
（单位：cm）是球的半径.已知每出售1mL的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为6cm，则使得每瓶饮料的利润最大时的瓶子的半径为 cm. (1mL = 1cm3)
四、解答题（本大题共 5 小题，共 77 分。解答时应写?必要的文字说明、证明过程或演
算步骤）
15．已知?1 = 2，?3 = 4，{??}是等差数列，且?1?2?3 ⋅⋅⋅ ?? = ??．
求??，??；
求证： 1 + 1 + 1 +⋅⋅⋅ + 1 < ln(? + 1)．
?1?1?2?2?3?3
????
某城市随机抽取一年内 100 天的空气质量指数（AQI）的监测数据，如表所示：
(1)已知某企业每天的经济损失?（单位：元）与空气质量指数?的关系式为? = 0,0 ≤ ? ≤ 100,
{4? − 400,100 < ? ≤ 300 ，若在本年内随机抽取 1 天，试估计该天的经济损失超过 400 元
2000, ? > 300,
的概率；
(2)若本次抽取的样本数据有 30 天是在供暖季，其中有 8 天为严重污染.根据提供的统计数据，完成下表，有95%的把握认为该城市本年的空气严重污染与供暖有关吗？
附：独立性检验卡方公式：?? =?(??−??)?.
(?+?)(?+?)(?+?)(?+?)
如图 1，在△ ???中，∠? = 90∘，?、?两点分别在??、??上，使?? = ?? = ?? =
????
?? = 2.现将△ ???沿??折起得到四棱锥? − ????，在图 2 中?? = √29.
AQI
[0,50]
(50,100]
(100,150]
(150,200]
(200,300]
> 300
空气质量
优
良
轻度污染
中度污染
重度污染
严重污染
天数
6
14
18
27
20
15
污染程度
非严重污染
严重污染
供暖季
非供暖季
?(?? ≥ ??)
0.100
0.050
0.025
0.010
0.001
??
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
求证：?? ⊥平面????；
求平面???与平面???所成角的余弦值.
18．已知双曲线?的焦点在?轴上，离心率e = 3√2，且点(4, −1)在该双曲线上．
4
求?的标准方程．
(2)若直线?与双曲线?的右支相切于点?，与直线3? + 8 = 0相交于点?，线段 MN 的中点为
?，则在?轴上是否存在定点?，使得|??| = 1 |??|？若存在，求出?点坐标；若不存在，
2
请说明理由．
19．已知函数?(?)的导数为?′(?)，?′(?)的导数为?(?)的二阶导数，记作?″(?)．若函数
?(?)在包含?0的某个开区间(?, ?)上具有二阶导数，那么∀? ∈ (?, ?)，?(?) = ?(?0) +
?′(?0) (? − ? ) + ?″(?0) (? − ? )2，我们把?(?)称为函数?(?)在? = ? 处的二阶拟合函数．
1!02!00
(1)写出函数? = e?在? = 0处的二阶拟合函数?(?)，并证明e? ≥ ?(?)对? ∈ [0, +∞)恒成立；
若e? + cs? ≥ ?? + 2对? ∈ [0, +∞)恒成立，求 a 的取值范围；
(3)设函数?(?) = (? − 2)e? + ?(? − 1)2(? > 0)的两个零点为?1，?2，?(?)在? = 1处的二阶拟合函数为ℎ(?)，证明：ℎ(?)有两个零点?3，?4，且?1 + ?2 < ?3 + ?4．
2025-2026（上）8 月月度质量监测暨第零次诊断测试
高 三 数 学 参考答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
A
C
B
C
C
A
C
C
ABC
AD
AC
17
2
4
6
​
（1）由? ? ?
⋅⋅⋅ ?
= ? ，得? = ?
= 2，等差数列{? }的公差?? = ?3−?1 = 1，则
1 2 3
??11
?3−1
?? = ? + 1，
?1?2?3 ⋅⋅⋅ ??−1?? = ??
??
?+1
当? ≥ 2时，�? ? ?
⋅⋅⋅ ?
= ?
，于是?? = ?
= ? ，?1 = 2满足上式，
所以??
1 2 3
= ?+1.
?
?−1
?−1
?−1
（2）令函数?(?) = ln? − ? + 1,0 < ? < 1，求导得?′(?) = 1 − 1 > 0，?(?)在(0,1)上单调
?
递增，
?(?) < ?(1) = 0，即ln? < ? − 1，取? = ? , ? ∈ N∗，则ln ? < ? − 1 = − 1 ，
?+1
?+1
?+1
?+1
于是 1 < ln ?+1，由（1）知， 1 =?< 1 < ln ?+1 = ln(? + 1) − ln?，
?+1?
????
(?+1)(?+1)
?+1?
所以 1 + 1 + 1 +⋅⋅⋅ + 1 < ln(? + 1) − ln1 = ln(? + 1).
​
?1?1
?2?2
?3?3
????
记“在本年内随机抽取 1 天，该天的经济损失超过 400 元”为事件?.当100 < ? ≤ 300时，由? > 400，得300 ≥ ? > 200，
显然当? > 300时，? > 400，所以当? > 200时，? > 400，
由统计数据可知，空气质量指数大于 200 的频数为 35，所以??(?) = 35
100
= 7 .
20
根据题设中的数据得到表：
污染程度
非严重污染
严重污染
供暖季
22
8
非供暖季
63
7
将表中的数据代入公式计算，得??2 = 100×(22×7−63×8)2 ≈ 4.575.
30×70×85×15
因为4.575 > 3.841，所以有95%的把握认为该城市本年的空气严重污染与供暖有关.
​
（1）在图 1 的△ ???中，??? = ??? = ?? = ?? = 2，
????
所以，??//??，且?? = 4，?? = 3 ?? = 3，
2
因为∠??? = 90∘，所以，∠??? = 90∘，则?? ⊥ ??，?? ⊥ ??，
在△ ???中，∠??? = 90∘，?? = 2，?? = 3，则?? = √??2 + ??2 = √13，在图 2 的△ ???中，?? = 4，?? = √13，?? = √29，
满足??2 + ??2 = ??2，所以?? ⊥ ??，
因为?? ⊥ ??，?? ⊥ ??，?? ∩ ?? = ?，??、?? ⊂平面????，所以?? ⊥平面????.
（2）因为?? ⊥平面????，?? ⊥ ??，
以点?为原点，�?�?�⃗、�?�?�⃗、�?�?�⃗的方向分别为?、?、?轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则?(0,0,4)、?(2,3,0)、?(0,0,0), ?(0,2,0)，�?�?�⃗ = (2,3, −4)，�?�?�⃗ = (0,2, −4)，设平面???一个的法向量?�⃗ = (? , ? , ? )，则�?�⃗ ⋅ �?�?�⃗ = 2?1 + 3?1 − 4?1 = 0 ，
1 1 1
取?1 = 1，可得?�⃗ = (−1,2,1)，
?�⃗ ⋅ �?�?�⃗ = 2?1
− 4?1 = 0
设平面???的一个法向量为?�⃗ = (?2, ?2, ?2)，�?�?�⃗ = (0,0,4)，�?�?�⃗ = (2,3,0)，
则�?�⃗ ⋅ �?�?�⃗ = 4?2 = 0，取? = 3，则?�⃗ = (3, −2,0)，
?�⃗ ⋅ �?�?�⃗ = 2?2
2
+ 3?2 = 0
设平面???与平面???所成角为??，
则cs?? = |cs⟨?�⃗, ?�⃗⟩| = |?� ⃗⋅?�⃗|
|?� ⃗|⋅|?�⃗|
=7
√6×√13
= 7√78， 78
因此，平面???与平面???所成角的余弦值为7√78.
78
​
（1）设双曲线?的标准方程为?2 − ??2 = 1（? > 0，? > 0），
?2?2
√?2+?23√2
由已知得�
=
?4
，解得�?2 = 8 ，
16 − 1 = 1
?2 = 1
?2?2
故双曲线?的标准方程为?2 − ?2 = 1．
8
（2）依题意，直线??的斜率必存在，设其方程为? = ?? + ?(? ≠ 0)，
?2 − ?2 = 1
由� 8，可得(1 − 8?2)?2 − 16??? − (8?2 + 8) = 0，因为直线??与双曲线?的右
? = ?? + ?
支相切于点??，
设??(?1, ?1)，则有Δ = (−16??)2 + 4(1 − 8?2)(8?2 + 8) = 0，
整理得?2 = 8?2 − 1，由根与系数的关系可得2? = 16?? ，则? = 8?? = − 8?，
11−8?211−8?2?
于是? = ?? + ? = − 1 ，即?? (− 8? , − 1 )，又直线??与直线3? + 8 = 0相交于点?，所以
11?
??
? (−
8 , −
3
8?
3
+ ?)，
假设存在定点??，使得|????| = 1 |???|，如图，连接????，???，因为线段???的中点为??，
2
所以???? ⊥ ???，即�??�??�⃗ ⋅ �??�?�⃗ = 0，
不妨设??(? , 0)，则�??�??�⃗ = (− 8? − ? , − 1 )，�??�?�⃗ = (− 8 − ? , − 8? + ?)，
0?
0?
303
得到�??�??�⃗ ⋅ �??�?�⃗ = (−8? − ? ) (−8 − ? ) − 1 −8? + ?) = 8?(?0+3) + (?2 + 8?0 − 1) = 0，
0
?03
?0 + 3 = 0
(
?3
?03
所以有� 2
8?0
，解得?0 = −3，即??(−3,0)，
?0 +
− 1 = 0
3
故在?轴上存在定点??(−3,0)，使得|????| = 1 |???|．
2
​
（1）因为(e?)′ = e?，(e?)′′ = e?，
所以? = e?在? = 0处的二阶拟合函数??(?) = e0 + e0 ? + e0 ?2 = 1 + ? + 1 ?2．
1!2!2
设?(?) = e? − 1 − ? − 1 ?2，则?′(?) = e? − 1 − ?，?″(?) = e? − 1 ≥ 0，
2
所以?′(?)在[0, +∞)上单调递增，则?′(?) ≥ ?′(0) = 0，所以?(?)在[0, +∞)上单调递增，即?(?) ≥ ?(0) = 0，所以e? ≥ ??(?)对? ∈ [0, +∞)恒成立．
（2）记?(?) = cs? − 1 + 1 ?2, ? ∈ [0, +∞)，则?′(?) = −sin? + ?，则?″(?) = 1 − cs? ≥
2
0，
所以?′(?)在[0, +∞)上单调递增，?′(?) ≥ ?′(0) = 0，所以?(?)在[0, +∞)上单调递增，即?(?) ≥ ?(0) = 0，
所以cs? ≥ 1 − 1 ?2对? ∈ [0, +∞)恒成立，
2
由（1）可知e? ≥ 1 + ? + 1 ?2，则e? + cs? ≥ ? + 2，
2
所以当? ≤ 1时，? + 2 ≥ ?? + 2对? ∈ [0, +∞)恒成立，则e? + cs? ≥ ?? + 2对? ∈ [0, +∞)恒成立．
设?(?) = e? + cs? − ?? − 2(? ≥ 0)，
当? > 1时，?(ln?) = eln? + cs(ln?) − ?ln? − 2 < ? − ?ln? − 1，设?(?) = ? − ?ln? − 1(? > 1)，则?′(?) = −ln? < 0，
所以?(?)在(1, +∞)上单调递减，则?(?) < ?(1) = 0，所以?(ln?) < 0，这与题意矛盾，所以? ≤ 1．
（3）因为??(?) = (? − 2)e? + ?(? − 1)2, (? > 0)，
所以??′(?) = (? − 1)(e? + 2?)，则??″(?) = ?e? + 2?，
则ℎ(?) = ??(1) + ??′(1) (? − 1) + ??″(1) (? − 1)2 = e+2? (? − 1)2 − e，
1!2!2
因为ℎ(1) = −e < 0，且ℎ(?)的图象开口向上，所以ℎ(?)有两个零点，且?3 + ?4 = 2．
因为当? < 1时，??′(?) < 0，当? > 1时，??′(?) > 0，
所以??(?)在(−∞, 1)上单调递减，在(1, +∞)上单调递增，所以?1 < 1 < ?2，要证?1 + ?2 < ?3 + ?4 = 2，只需证?1 < 2 − ?2，
因为2 − ?2, ?1 ∈ (−∞, 1)，且??(?1) = ??(?2)，
所以只需证??(?2) = ??(?1) > ??(2 − ?2)，
构造函数?(?) = ??(?) − ??(2 − ?) = (? − 2)e? − ?e2−?, ? > 1，则?′(?) = (? − 1)e? + (? − 1)e2−? = (? − 1)(e?+e2−?) > 0，
所以?(?)在(1, +∞)上单调递增，所以?(?) > ?(1) = 0，即??(?) > ??(2 − ?)，因为?2 > 1，所以??(?2) > ??(2 − ?2)，所以?1 + ?2 < ?3 + ?4．
注：具体评分变更信息（分值、答案等）请阅卷教师关注阅卷群。