2024-2025学年北京市顺义区牛栏山一中板桥中学高二（下）期中数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年北京市顺义区牛栏山一中板桥中学高二（下）期中数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知函数f(x)=csx，则f′(π6)=( )
A. 32B. − 32C. 12D. −12
2.曲线f(x)=x+a x在点(1,f(1))处的切线与直线y=2x+5平行，则a=( )
A. 0B. 2C. 1D. 3
3.已知数列{an}的首项a1=1，且满足an+1−an=2，则a5=( )
A. 5B. 7C. 9D. 11
4.若函数f(x)=lnx−x，则f(x)的单调递增区间为( )
A. (−∞,1)B. (0,1)C. (1,+∞)D. (−1,1)
5.已知函数y=f(x)，其导函数y=f′(x)的部分图象如图，则对于函数y=f(x)的描述错误的是( )
A. 在区间(−3,−1)上单调递减
B. 在区间(1,3)上单调递增
C. x=−1为f(x)极小值
D. x=1为f(x)极小值点
6.若( x+2x2)n展开式中只有第6项的二项式系数最大，则n=( )
A. 11B. 10C. 9D. 8
7.有3名男生和3名女生排成一排，女生不能相邻的不同排法有( )
A. 72种B. 144种C. 108种D. 288种
8.某地举行新疆绿色农特产品展销活动，活动中有驼奶粉、奶豆腐、奶皮、酸奶共4种奶制品，无花果干、杏干、乌梅干、巴达木、开心果、葡萄干共6种干果，葡萄、哈密瓜、香梨、苹果、西瓜、沙棘、白杏共7种新鲜水果，张先生参观完活动决定至少选购一种商品，而每一大类中最多选购一种，则张先生不同的选购方法种数为( )
A. 94B. 168C. 276D. 279
9.某学校高二趣味运动会中设置了障碍投篮比赛，每名运动员投篮3次.已知甲同学投篮命中率为13，那么投篮比赛中甲同学恰好命中一次的概率是( )
A. 427B. 1927C. 49D. 89
10.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a9=12a12+6，a2=4，若数列{1sn}的前k项和为1011，则k=( )
A. 11B. 10C. 9D. 8
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.设函数f(x)=lnxx，则f′(1)=______．
12.在(3x2−1x)n的二项展开式中，所有二项式系数之和为128，则展开式共有______项.
13.在(x+ax2)6(a>0)的展开式中，常数项为75，则a= ______．
14.函数f(x)=x−1x2的零点是 ，极值点是 ．
15.若曲线y=ex+x在点(0,1)处的切线也是曲线y=ln(x+1)+a的切线，则a= ______．
三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
某校高一新生共有320人，其中男生192人，女生128人．为了解高一新生对数学选修课程的看法，采用分层抽样的方法从高一新生中抽取5人进行访谈．
(Ⅰ)这5人中男生、女生各多少名？
(Ⅱ)从这5人中随即抽取2人完成访谈问卷，求2人中恰有1名女生的概率．
17.(本小题15分)
设函数f(x)=x22−klnx，k>0．
(1)求f(x)的单调区间和极值；
(2)证明：若f(x)存在零点，则f(x)在区间(1, e]上仅有一个零点．
18.(本小题15分)
如图1，在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，O为DE的中点，AB=AC=2 5，BC=4.将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使得平面A1DE⊥平面BCED，如图．
(Ⅰ)求证：A1O⊥BD；
(Ⅱ)求直线A1C和平面A1BD所成角的正弦值；
19.(本小题15分)
科技创新能力是决定综合国力和国际竞争力的关键因素，也是推动经济实现高质量发展的重要支撑，而研发投入是科技创新的基本保障.下图是某公司从2010年到2019年这10年研发投入的数据分布图：
其中折线图是该公司研发投入占当年总营收的百分比，条形图是当年研发投入的数值(单位：十亿元)．
(1)从2010年至2019年中随机选取一年.求该年研发投入占当年总营收的百分比超过10%的概率；
(2)从2010年至2019年中随机选取两个年份，设X表示其中研发投入超过500亿元的年份的个数，求X的分布列和数学期望．
20.(本小题15分)
椭圆x24+y23=1的左、右顶点分别为A，B过右焦点F的直线l与椭圆交于C，D两点(与A，B重合)，设kAC=k1，kBD=k2．
(1)求椭圆的离心率e与右焦点F的坐标．
(2)求证：k1k2为定值．
21.(本小题15分)
已知函数f(x)=eax−x．
(1)当a=1时，求过点(0,0)的切线方程．
(2)求f(x)的单调区间．
(3)若∃x∈[−1,1]，使f(x)≥3成立，求a的取值范围．
参考答案
1.D
2.B
3.C
4.B
5.D
6.B
7.B
8.D
9.C
10.B
11.1
12.8
13. 5
14.x=1；x=2
15.ln2
16.解：(Ⅰ)这5人中男生人数为192320×5=3，女生人数为128320×5=2．
(Ⅱ)记这5人中的3名男生为B1，B2，B3，2名女生为G1，G2，
则样本空间为：
Ω={(B1,B2)，(B1,B3)，(B1,G1)，(B1,G2)，(B2,B3)，(B2,G1)，(B2,G2)，(B3,G1)，(B3,G2)，(G1,G2)}，
样本空间中，共包含10个样本点．
设事件A为“抽取的2人中恰有1名女生”，
则A={(B1,G1)，(B1,G2)，(B2,G1)，(B2,G2)，(B3,G1)，(B3,G2)}，
事件A共包含6个样本点． 从而P(A)=610=35．
所以抽取的2人中恰有1名女生的概率为35．
17.解：(1)由f(x)=x22−klnx(k>0)
f′(x)=x−kx=x2−kx
由f′(x)=0解得x= k
f(x)与f′(x)在区间(0,+∞)上的情况如下：
所以，f(x)的单调递增区间为( k,+∞)，单调递减区间为(0, k)；
f(x)在x= k处的极小值为f( k)=k(1−lnk)2，无极大值．
(2)证明：由(1)知，f(x)在区间(0,+∞)上的最小值为f( k)=k(1−lnk)2．
因为f(x)存在零点，所以k(1−lnk)2≤0，从而k≥e
当k=e时，f(x)在区间(1, e)上单调递减，且f( e)=0
所以x= e是f(x)在区间(1, e)上唯一零点．
当k>e时，f(x)在区间(0, e)上单调递减，且f(1)=12>0,f( e)=e−k20，
由韦达定理得y1+y2=−6t4+3t2y1y2=−94+3t2，
所以ty1y2=32(y1+y2)，
可得k1k2=y1x1+2y2x2−2=y1ty1+3y2ty2−1=y1(ty2−1)y2(ty1+3)=ty1y2−y1ty1y2+3y2
=32(y1+y2)−y132(y1+y2)+3y2=12y1+32y232y1+92y2=13，
当直线l的斜率为0时，k1=k2=0，k1k2不能做比值，
所以k=0情况不存在．
综上所述，k1k2为定值．
21.(1)当a=1时，f(x)=ex−x，则f′(x)=ex−1．
设切点为(x0,ex0−x0)，则切线斜率k=f′(x0)=ex0−1．
则切线方程为y−(ex0−x0)=(ex0−1)(x−x0)．
因为切线过点(0,0)，所以将(0,0)代入切线方程得：
0−(ex0−x0)=(ex0−1)(0−x0)，即ex0(x0−1)=0，
因为ex0>0恒成立，所以x0−1=0，解得x0=1．
则切线斜率k=e−1，切线方程为y=(e−1)x．
(2)由题意，f′(x)=aeax−1．
当a≤0时，f′(x)0时，令f′(x)=0，即aeax−1=0，解得x=−lnaa．
当x0，f(x)单调递增．
综上，当a≤0时，f(x)在R上单调递减；
当a>0时，f(x)在(−∞,−lnaa)上单调递减，在(−lnaa,+∞)上单调递增．
(3)f(x)≥3在[−1,1]有解，即当x∈[−1,1]时，f(x)max≥3，
当a>0时，由(2)知函数在[−1,1]上的最大值在端点处取得，
此时f(1)=ea−1，f(−1)=e−a+1，
所以ea−1≥3或e−a+1≥3，得a≥ln4或 a≤−ln2(与a>0矛盾舍去)，
当a≤0时，函数在[−1,1]上单调递减，那么最大值在x=−1处取得，
此时f(−1)=e−a+1，
所以e−a+1≥3，得a≤−ln2．
综合，a≤−ln2或a≥ln4，即a的取值范围为(−∞,−ln2]∪[ln4,+∞)．X
(0, k)
k
( k,+∞)
f′(x)
−
0
+
f(x)
↓
k(1−lnk)2
↑
X
0
1
2
P
29
59
29