2024-2025学年甘肃省兰州市学府致远学校高二（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年甘肃省兰州市学府致远学校高二（下）期中数学试卷（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.若函数f(x)=lnx+x2，则f′(1)=( )
A. 3B. 12C. 1D. 0
2.下列求导运算结果不正确的是( )
A. (csx)′=sinxB. (lnx)′=1xC. (ex)′=exD. (1x)′=−1x2
3.曲线y=f(x)=xx−1在点(2,f(2))处的切线斜率为( )
A. 2B. −2C. −1D. 1
4.已知点B(−2,1,1)关于z轴的对称点为A，则|AB|等于( )
A. 3 2B. 2 6C. 2 5D. 2
5.如图是y=f(x)的导函数f′(x)的图象，对于下列四个判断，其中正确的判断是( )
A. 当x=3时，f(x)取得极小值
B. f(x)在[−2,1]上是增函数
C. 当x=1时，f(x)取得极大值
D. f(x)在[−1,2]上是增函数，在[2,4]上是减函数
6.在空间直角坐标系中，有A(1,0,0)，B(0,2,0)，C(1,2,3)三点，则点C到直线AB的距离为( )
A. 615B. 75C. 4 55D. 7 55
7.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，M是AD的中点，N是C1D1的中点，则异面直线D1M与DN所成角的余弦值为( )
A. 12B. 35C. 34D. 45
8.若函数f(x)=aex−x3在区间(1,3)上单调递增，则实数a的最小值为( )
A. 3eB. 12e3C. 12e2D. 27e3
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图，在空间直角坐标系中，已知直三棱柱ABC−A1B1C1，AB⊥BC，|BA|=|BC|=|BB1|=2，F是棱CC1的中点，则( )
A. A(2,0,0) B. C(2,0,0)
C. C1(2,0,0) D. F(0,2,1)
10.已知空间中三个向量a=(1,2,−1)，b=(1,−2,3)，c=(−2,1,1)，则下列说法正确的是( )
A. |a|= 6B. (a+c)⊥b
C. b在c上的投影向量为(13,16,16)D. cs〈a,b〉=− 217
11.已知f(x)=ax3−3x+1(a≠0)( )
A. 当a=2时，x= 22是f(x)的极大值点
B. 当a=2时，f(x)的所有零点之和为0
C. 直线y=−3x+1是f(x)的切线
D. 存在a使f(x)在(−1,1)上单调递增
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数f(x)=2x2+x，则f′(2)= ______．
13.已知x∈R，空间向量a=(3,1,2)，b=(1,1,−1)，c=(5,x,0).若a，b，c共面，则x= ______．
14.若函数f(x)=x3+mx2+x+1在R上无极值点，则实数m的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数f(x)=13x3−ax+13,a∈R，且满足f′(2)=0．
(1)求实数a的值；
(2)求函数y=f(x)的极值．
16.(本小题15分)
已知函数f(x)=x−1ex．
(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；
(2)求f(x)的最值．
17.(本小题15分)
如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，E是BC1的中点．
(1)求证：BC1⊥平面CDE；
(2)求直线BD1与平面BDE所成角的正弦值．
18.(本小题12分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，PD=2DC=4，E是棱PA的中点．
(1)求证：PC//平面BDE；
(2)求平面BDE与平面BDP夹角的余弦值．
19.(本小题12分)
已知函数f(x)=x22+alnx−(a+1)x．
(1)求f(x)的单调递增区间；
(2)若a≥0,f(x)≥−e22对x∈[1,+∞)恒成立，求实数a的取值范围．
答案解析
1.【答案】A
【解析】解：由题意可得：f′(x)=1x+2x，所以f′(1)=1+2=3．
故选：A．
求导可得f′(x)=1x+2x，即可得结果．
本题考查了简单函数的求导，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】解：对于A，(csx)′=−sinx，故A错误；
对于B，(lnx)′=1x，故B正确；
对于C，(ex)′=ex，故C正确；
对于D，(1x)′=−1x2，故D正确．
故选：A．
根据求导公式计算即可．
本题主要考查了导数的计算，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】解：因为f(x)=xx−1，所以f′(x)=x−1−x(x−1)2=−1(x−1)2，
所以曲线y=f(x)=xx−1在点(2,f(2))处的切线斜率为f′(2)=−1(2−1)2=−1．
故选：C．
根据导数的几何意义求解即可．
本题考查导数的几何意义，属基础题．
4.【答案】C
【解析】解：点B(−2,1,1)关于z轴的对称点为A(2,−1,1)，
∴由空间中两点间距离公式得：
|AB|= (2+2)2+(−1−1)2+(1−1)2= 16+4+0= 20=2 5．
故选：C．
由点关于某坐标轴对称的点的特征以及两点距离公式即可求解．
本题考查点关于某坐标轴对称的点的特征以及两点距离公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
5.【答案】D
【解析】解：如图是y=f(x)的导函数f′(x)的图象，
对于A，f′(3)≠0，不满足取极值的必要条件，故A错误；
对于B，当−2