2024-2025学年上海市金山中学高二下学期期末数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年上海市金山中学高二下学期期末数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.若m，n是不相同的直线，α,β是不重合的平面，则下列命题为真命题的是( )
A. 若m!/α，n//α，则m//nB. 若m//α，n⊂α，则m//n
C. 若m//α，m//β，则α//βD. 若α//β，m⊂α，则m//β
2.等轴双曲线C过点P(3,1)，则双曲线C的右焦点F2到其中一条渐近线的距离为( )
A. 3B. 2C. 2 2D. 2 3
3.已知(2−x)2025=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+⋯+a2025(x+1)2025，则a0+a1+⋯+a2025=( )
A. 22025B. 24050C. 1D. 0
4.已知f(x)=sinx+lnx，将y=f(x)的所有极值点按照由小到大的顺序排列，得到数列xn，对于正整数n有如下两个命题：甲：(n−1)π1的解集为 ．
8.已知a→,b→为单位向量，a→−b→= 3，则a→,b→的夹角为 ．
9.从高三某班抽取10名同学，他们的数学成绩如下：102，110，117，120，122，122，122，126，134，145(单位：分)，则这10名同学数学成绩的第70百分位数是 ．
10.底面半径为2的圆柱的侧面积是圆柱表面积的12，则该圆柱的高为
11.已知点A(m,1)在抛物线C：y=ax2上，且点A与焦点的距离为3，则a的值为 ．
12.设由复数组成的数列an满足：对任意的正整数n，都有an+1an=i(i是虚数单位)，则数列an的前2024项的和为 ．
13.《红楼梦》四十一回中，凤姐为刘姥姥准备了一道名为“茄鲞”的佳肴，这道菜用到了鸡汤、鸡脯肉、香菌、新笋、豆腐干、果干、茄子净肉七种原料，烹饪时要求香菌、新笋、豆腐干一起下锅，茄子净肉在鸡脯肉后下锅，鸡汤最后下锅，则烹饪“茄鲞”时不同的下锅顺序共有 种.
14.已知a>0, b>0，且ab=1，则12a+12b+8a+b的最小值为 ．
15.已知定义在R上的函数f(x)的导函数f′(x)，若f′(x)x+2的解集是 ．
16.已知实数x1,x2,y1,y2满足：x12+y12=2,x22+y22=2,x1y2−y1x2=2，则x1+y1−2+x2+y2−2的最大值是 ．
三、解答题：本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题14分)
在四棱锥P−ABCD中，底面为梯形，AB//CD，∠BAP=∠CDP=90°，PA=PD=AB=2，PA⊥PD，四棱锥P−ABCD的体积为4．
(1)求证：AB⊥平面PAD；
(2)求PC与平面ABCD所成角.(结果用反三角函数表示)
18.(本小题14分)
已知函数f(x)= 2sin(ωx+φ)，g(x)= 2csωx，ω>0，φ∈[0,π)，它们的最小正周期为π．
(1)若y=f(x)是奇函数，求f(x)和g(x)在[0,π]上的公共减区间D；
(2)若y=f(x)+g(x)的一个零点为x=−π6，求f(x)+g(x)的最大值．
19.(本小题14分)
为大力弘扬中华民族尊老、敬老、爱老的传统美德，某医院从A，B两个科室的志愿者中随机抽调4人为某社区养老院的老人进行“免费健康体检”活动，已知A，B两个科室中的志愿者分布如下：
(1)求抽到的4人中，恰好有2名医生，且这2名医生恰好来自同一科室的概率；
(2)设X为选出的4人中医生的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．
20.(本小题14分)
已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的长轴为MN，椭圆的离心率e= 32，左右焦点分别记作F1、F2，且MF1⋅NF1=1，过F1、F2分别作直线l1、l2交椭圆于AB、CD(B,C在x轴上方)，且l1//l2；
(1)求此椭圆方程．
(2)当直线l1的斜率k1与直线BC的斜率k2都存在时，求证：k1⋅k2为定值．
(3)求四边形AF1F2D面积的最大值．
21.(本小题14分)
已知函数y=f(x)，若点P是函数y=f(x)的图像的两条互相垂直的切线的交点，则点P是函数y=f(x)的“特征点”，记y=f(x)的所有“特征点”的集合为Mf；
(1)若f(x)=lnx，求Mf；
(2)若f(x)=x2，求证：函数y=f(x)的所有“特征点”在一条定直线上，并求出这条直线的方程；
(3)若f(x)=x3−ax2，记函数y=f(x)的所有点组成的集合为N，且Mf∩N=⌀，求实数a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】根据平面内直线、平面平行的性质判断即可．
【详解】对于A，若m//α，n//α，m,n可能相交，A错误；
对于B，若m//α，n⊂α，m,n可能异面，B错误；
对于C，若m//α，m//β，α,β可能相交，C错误；
对于D，若α//β，m⊂α，两个平面平行，一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面，D正确．
故选：D．
2.【答案】C
【解析】【分析】由题意，先求出等轴双曲线的方程，得到焦点坐标和渐近线方程，再利用点到直线的距离公式进行求解即可．
【详解】设等轴双曲线方程为x2−y2=λ(λ≠0)，代入点P(3,1)，可得λ=8，所以双曲线方程为x28−y28=1，
所以双曲线的右焦点为F2(4,0)，渐近线方程为x±y=0，
所以右焦点F2(4,0)到渐近线x−y=0的距离为d=4 2=2 2．
故选：C．
3.【答案】B
【解析】【分析】令t=x+1得x=t−1，则(2−x)2025=(3−t)2025=a0+a1t+a2t2+⋯+a2025t2025，利用二项式定理即可求解．
【详解】令t=x+1得x=t−1，则(2−x)2025=(3−t)2025=a0+a1t+a2t2+⋯+a2025t2025，
则有Tk+1=C2025k×32025−k×(−t)k=C2025k×(−1)k×32025−ktk，
所以ai>0,i=0,2,4,⋯,2024，ai0)，令f′(x)=0，得csx=−1x，
所以函数f(x)的极值点为函数y=csx(x>0)与函数y=−1x(x>0)的图象的交点的横坐标，
在同一平面直角坐标系中，分别画出函数y=csx(x>0)与函数y=−1x(x>0)的图象，
如图所示：

由图象可知，在区间(n−1)π,nπn∈N∗内，函数y=csx(x>0)与函数y=−1x(x>0)的图象有且仅有1个交点，
则(n−1)π1，得x+1>10，解得x>9，
所以不等式lg(x+1)>1的解集为(9,+∞)．
故答案为：(9,+∞)
8.【答案】2π3
【解析】【分析】根据数量积的运算和向量模的公式求解即可．
【详解】解：因为a→,b→为单位向量，a→−b→= 3，
所以a→−b→2=a→2−2a→⋅b→+b→2=a→2−2a→⋅b→csa→,b→+b→2=2−2csa→,b→=3，
所以csa→,b→=−12，
因为a→,b→∈[0,π]，
所以a→,b→=2π3
故答案为：2π3
9.【答案】124
【解析】【分析】根据百分位数定义可求．
【详解】解：因为10×70％=7，
所以这10名同学数学成绩的第70百分位数是122+1262=124，
故答案为：124．
10.【答案】2
【解析】【分析】根据题意，由2πrl=122πrl+2πr2求解．
【详解】设圆柱的母线为l，底面半径为r=2，高为ℎ，
因为底面半径为2的圆柱的侧面积是圆柱表面积的12，
所以2πrl=122πrl+2πr2，解得l=2，即ℎ=2，
故答案为：2
11.【答案】18/0.125
【解析】【分析】根据抛物线定义把抛物线上的点A(m,1)到焦点的距离转化为点A(m,1)到准线距离，列出关于a的方程，解方程即可解a．
【详解】将抛物线方程转化为标准形式C:x2=1ay，
由A(m,1)在抛物线C上且点A与焦点的距离为3，得14a+1=3
解得a=18．
故答案为：18．
12.【答案】0
【解析】【分析】由数列an的前n项和具有周期性，且周期为4．
【详解】由已知an+1an=i，得an+1=ani，所以
a2=a1i，
a3=a2i=a1i2=−a1，
a4=a3i=−a1i，
a5=a4i=−a1i2=a1，
a6=a5i=a1i，
⋮
所以a1=a5=a9=⋯，a2=a6=a10=⋯，a3=a7=a11=⋯，a4=a8=a12=⋯
依次类推，所以数列具有周期性，且周期为4，且a1+a2+a3+a4=0．
a1+a2+a3+a4=a5+a6+a7+a8=⋯=a2021+a2022+a2023+a2024=0．
得a1+a2+⋯+a2024=0．
故答案为：0．
13.【答案】12
【解析】【分析】利用捆绑法结合倍缩法可得出不同的下锅顺序种数．
【详解】根据题意，将香菌、新笋、豆腐干三种原料进行捆绑，且这三种原料无顺序，
茄子净肉在鸡脯肉后下锅，鸡汤最后下锅，
所以，不同的下锅顺序种数为A44A22=12种.
故答案为：12．
14.【答案】4
【解析】【分析】根据已知条件，将所求的式子化为a+b2+8a+b，利用基本不等式即可求解．
【详解】∵a>0,b>0,∴a+b>0，ab=1，∴12a+12b+8a+b=ab2a+ab2b+8a+b
=a+b2+8a+b≥2 a+b2×8a+b=4，当且仅当a+b=4时取等号，
结合ab=1，解得a=2− 3,b=2+ 3，或a=2+ 3,b=2− 3时，等号成立．
故答案为：4
本题考查应用基本不等式求最值，“1”的合理变换是解题的关键，属于基础题．
15.【答案】0,e2
【解析】【分析】根据题意可构造函数g(x)=f(x)−ex+2，利用导数得出函数g(x)在R上单调性，解不等式可得结论．
【详解】设g(x)=f(x)−ex+2，则g′(x)=f′(x)−ex，
因为f′(x)4，即g(lnx)>4，
因为f(2)=e2+2，所以g(2)=f(2)−e2+2=4，
所以g(lnx)>g(2)，即lnx0)存在“特征点”，则f(x)存在两条互相垂直的切线，
设为x=x1和x=x2处的切线，
因为f′(x)=1x，所以f′x1f′x2=1x1x2>0，
所以f(x)不存在“特征点”，所以M=⌀．
(2)设“特征点”Px0,y0是f(x)在x=x1和x=x2处的切线的交点，
因为f(x)=x2，所以f′(x)=2x，
所以f(x)在x=x1和x=x2处的切线方程为y=2x1x−x12，y=2x2x−x22，
联立y=2x1x−x12y=2x2x−x22解得x=12x1+x2y=x1x2，即P12x1+x2,x1x2，
因为两条切线相互垂直，所以f′x1f′x2=4x1x2=−1，
所以x1x2=−14，所以f(x)的所有“特征点”在一条定直线y=−14上.
(3)因为Mf∩N=⌀，所以由题意可知不存在f(x)图象上的点，使得该点是“特征点”，
先证明：对任意的实数a，若f(x)图象上的点是“特征点”，则该点本身一定是切点，
反证法：假设该点Qx1,y1不是切点，则存在切线y=f′x2x−x2+fx2，
它与函数图象交于点Q，所以y1=3x22−2ax2x1−x2+x23−ax22=x13−ax12，
化简得x1−x22x1−a+2x2=0，因为x1≠x2，所以x1=a−2x2，
同理可得x1=a−2x3，所以x1=x2，两条切线重合，矛盾，所以该点本身一定是切点；
假设Ax2,y2，Bx3,y3处切线互相垂直，不妨令B是两条切线的交点，
则由前文可知x3=a−2x2，所以f′x2=3x22−2ax2，f′x3=3x33−2ax3=3a−2x22−2aa−2x2=12x22−8ax2+a2，
因为f′x2f′x3=−1，
所以3x22−2ax212x22−8ax2+a2=−1，即3x22−2ax212x22−8ax2+a2+1=0，
设t=3x22−2ax2=3x2−a32−a23≥−a23，
则有t4t+a2+1=4t2+a2t+1=0，
由题意可知f(x)图象上的点都不是“特征点”，即不存在这样的点B，
所以方程4t2+a2t+1=0对t≥−a23无解，
设g(t)=4t2+a2t+1，其对称轴为t=−a28≥−a23，
所以当t=−a28时g(t)取最小值1−a416，
要使得g(t)=0无解，只需1−a416>0，解得a∈(−2,2)．

【解析】【分析】(1)假设存在，求出导函数，利用导数的几何意义推出矛盾即可判断；
(2)设“特征点”Px0,y0是f(x)在x=x1和x=x2处的切线的交点，求出切线方程，即可求出交点坐标，由切线互相垂直求出y0，即可得解；
(3)依题意不存在f(x)图象上的点，使得该点是“特征点”，先利用反证法证明：对任意的实数a，若f(x)图象上的点是“特征点”，则该点本身一定是切点，假设Ax2,y2，Bx3,y3，处切线互相垂直，不妨令B是两条切线的交点，即可得方程4t2+a2t+1=0对t≥−a23无解，结合二次函数的性质计算可得．
本题解答的关键是理解定义，利用导数、反证法相关知识进行解答，以达到转化的目的．
类别科室
志愿者
医生
护士
A科室
2
3
B科室
3
3
X
0
1
2
3
4
P
122
1033
511
211
166