初中数学•中考压轴题复习资料 专题5《等分图形面积》 练习

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如图，，点在上，点B，C在上，则．
图形等分面积的常见类型有：
（1）已知：△ABC．
作法：作中线AD．
结论：直线AD平分△ABC的面积．
（2）已知：平行四边形ABCD．
作法：过对角线交点O作直线．
结论：过点O的直线平分平行四边形ABCD的面积．
（3）已知：梯形ABCD，AD∥BC．
作法：过中位线EF中点O（或上、下底边中点连线HG的中点O）作直线，且与上、下底均相交．
结论：过点O且与上、下底均相交的直线平分梯形ABCD的面积．
（4）已知：△ABC，P为AC边上的定点．
作法：作△ABC的中线AD，连结PD，过点A作AE∥PD，交BC于点E．
结论：直线PE平分△ABC面积．
（5）已知：四边形ABCD．
作法：连结AC，过点D作DE∥AC，交BC的延长线于点E，连结AE，作△ABE的中线AF．
结论：直线AF平分平行四边形ABCD的面积．
（6）已知：四边形ABCD，点P为AD上的定点．
作法：连结PB，PC．作AE∥PB，DF∥PC，分别交直线BC于点E，F，连结PE，PF，作△PEF的中线PG．
结论：直线PG平分四边形ABCD的面积．
（7）已知：五边形ABCDE．
作法：连结AC，AD，作BF∥AC，EG∥AD，分别交直线CD于点F，G，连结AF，AG，作△AFG的中线AH．
结论：直线AH平分五边形ABCDE的面积．
进阶训练
1．如图，已知五边形ABOCD各定点坐标为A（3，4），B（0，2），O（0，0），C（4，0），D（4，2），请你构造一条经过顶点A的直线，将五边形ABOCD平分为面积相等的两部分，并求出该直线的表达式．
答：如图：
直线的表达式为．
【提示】 连结AO，作BM∥AO交x轴于点M，连结AC，作DN∥AC交x轴于点N，取MN中点F，则直线AF将五边形ABOCD分为面积相等的两部分．作AH⊥x轴于点H，则△BMO∽△AOH，可得点M的坐标．同理可得点N的坐标．从而求得点F的坐标．确定直线AF的表达式．
2．过四边形ABCD的一个顶点画一条直线，把四边形ABCD的面积分成1：2的两部分．
答：如图：
【提示】 连结AC，过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E，取BE的一个三等分点F或G，则直线AF或AG即为所求．
3．设w是一个平面图形，如果用直尺和圆规经过有限步作图（简称尺规作图），画出一个正方形与w的面积相等（简称等积），那么这样的等积转化称为w的“化方”．
（1）阅读填空
如图1，已知矩形ABCD，延长AD到点E，使DE＝DC，以AE为直径作半圆，延长CD交半圆于点H，以DH为边作正方形DFGH，则正方形DFGH与矩形ABCD等积．
理由：连结AH，EH．
因为AE为直径，所以∠AHE＝90°，
所以∠HAE＋∠HEA＝90°．
因为DH⊥AE，所以∠ADH＝∠EDH＝90°．
所以∠AHD＝∠HED，所以△ADH∽ ．
所以，即
因为DE＝DC，
所以＝ ，即正方形DFGH与矩形ABCD等积
（2）操作实践
平行四边形的“化方”思路是：先把平行四边形转化为等积的矩形，再把矩形转化为等积的正方形．
如图2，请作出与平行四边形ABCD等积的正方形（不要求写出具体作法，保留作图痕迹）．
（3）解决问题
三角形的“化方”思路是：先把三角形转化为等积的 （填写图形名称），再转化为等积的正方形．
如图3，△ABC的顶点再正方形网格的格点上，请作出与△ABC等积的正方形（不要求写具体作法，保留作图痕迹，不通过计算△ABC面积作图）．
3．（1）△HDE；AD·DC；
（2）作图如下：
（3）矩形；作图如下：
（4）作图如下：
【提示】（2）作法：①分别过点A，D作直线BC的垂线，垂足分别为；
②延长AD至点E，使得；
③以AE为直径作半圆；
④延长交半圆于点H；
⑤以DH为边向右作正方形DFGH．
则正方形DFGH与平行四边形ABCD等积．
（3）作法：
①作△ABC的中位线MN；
②分别过点B，C作MN的垂线，垂足分别为E，D；
③延长BC至点F，使得CF＝CD；
④以BF为直径作半圆；
⑤延长DC交半圆于点G；
⑥以CG为边向右作正方形CGHI．
则正方形CGHI与△ABC等积．
（4）作法：
①连结BD，过点A作AE∥BD交CD的延长线于点E；
②作△EBC的中位线MN；
③分别过点B，C作MN的垂线，垂足分别为F，G；
④延长BC至点H使得CH＝CG；
⑤以BH为直径作半圆；
⑥延长GC交半圆于点I；
⑦以CI为边向右作正方形CIJK．
则正方形CIJK与四边形ABCD等积．
（4）拓展探究
n边形（n＞3）的“化方”思路之一是：把村边形转化，为等积的”1边形．…一直至转化为等积的三角形，从而实现化方．
如图4，四边形ABCD的顶点在正方形网格的格点上，请作出与四边形 ABCD等积的正方形（不要求写具体作法，保留作图痕迹，不通过计算四边形ABCD面积作圈）
A
B
C
A
B
C
D