陕西省2024_2025学年高二下册期末考试数学检测试卷

这是一份陕西省2024_2025学年高二下册期末考试数学检测试卷，共13页。试卷主要包含了本试卷主要考试内容等内容，欢迎下载使用。
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
4．本试卷主要考试内容：高考全部内容．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 设复数，则（ ）
A. B. C. D.
3. 现有8道四选一的单选题，甲对其中6道题有思路，2道题完全没有思路．有思路的题做对的概率为，没有思路的题只能任意猜一个答案，猜对答案的概率为．甲从这8道题中随机选择1道题，则甲做对这道题的概率为（ ）
A. B. C. D.
4. 等差数列的前n项和为，若，则（ ）
A. 356B. 166C. 246D. 156
5. 已知向量与的夹角为，，，则在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
6. 定义一种运算则函数的最大值为（ ）
A. 1B. 2C. 0D.
7. 已知椭圆的左､右焦点分别是是坐标原点，是上第一象限的点.若的角平分线上一点满足，且，则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
8. 在体积为的正四棱锥中，为底面内的任意两点，则直线与直线所成角的余弦值的最大值为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知函数的部分图象如图所示，且的面积为，则（ ）

A. B. 函数为奇函数
C. 在上单调递增D. 直线为图象一条对称轴
10. 为了解某新品种玉米亩产量（单位：千克）情况，从种植区抽取样本，得到该新品种玉米的亩产量的样本均值，已知该新品种玉米的亩产量服从正态分布，则下列说法正确的是（ ）
（若随机变量服从正态分布，则
A. 的值越大，亩产量不低于510千克的样本越多B. 的值越大，亩产量不低于510千克的样本越少
C 若，则D. 若，则
11. 若是上的连续函数，且，则.从几何上看，若定义在上的函数连续且恒有，则定积分表示由直线和曲线所围成的图形的面积.已知花瓣曲线，则下列说法正确的是（ ）
A. 曲线上恰好存在8个点到原点的距离为
B. 圆与曲线共有8个公共点
C
D. 曲线围成的封闭区域的面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知，则______．
13. 衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率．曲线在点处的曲率为_________．
14. 来自国外的博主A，B，C三人决定来中国旅游，计划打卡北京故宫、西安兵马俑等5个著名景点.他们约定每人至少选择1个景点打卡，每个景点都有且仅有一人打卡，其中A在北京故宫、西安兵马俑中至少选择1个，则不同的打卡方案种数为__________.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 2025年4月13日，2025十堰马拉松在十堰市奥体中心鸣枪起跑．马拉松比赛是一项高负荷、高强度、长距离的竞技运动，对参赛运动员身体状况有较高的要求，参赛运动员应身体健康，有长期参加跑步锻炼或训练的基础．为了解市民对马拉松的喜爱程度，从成年男性和女性中各随机抽取100人，调查是否喜爱马拉松，得到了如下列联表：
单位：人
（1）完成列联表，并依据小概率值的独立性检验，是否可以推断喜爱马拉松与性别有关？
（2）依据统计表，用分层抽样的方法从“喜爱马拉松”的人中抽取5人，再从这5人中随机抽取3人，记其中女性人数为，求的分布列及期望．
附：．
16. 已知，，平面内一动点满足，设动点的轨迹为．
（1）求的方程；
（2）若斜率为的直线与交于，两点，且，求直线的方程．
17. 如图，在四棱锥中，侧棱长均为，四边形是矩形，.
（1）证明：平面平面.
（2）求二面角的正弦值.
18. 已知函数.
（1）若，求曲线在点处的切线方程.
（2）证明：在上单调递增.
（3）若，证明：.
19. 已知双曲线左顶点为，右焦点为，，是上的两点，线段的中点为．当时，．
（1）求的标准方程；
（2）若，求直线的斜截式方程；
（3）若，，三点不共线，且，证明：直线过定点．
参考答案
1-8.
【答案】A
【答案】D
【答案】B
【答案】B
【答案】B
【答案】A
【答案】B
【答案】A
9.【答案】ABD
10.【答案】ACD
11.【答案】BCD
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】88
15.【小问1】
由题意数据完善列联表：
零假设为：喜爱马拉松与性别无关.
经计算得，
依据小概率值的独立性检验，推断成立，即可以推断喜爱马拉松与性别无关.
【小问2】
由题意及分层抽样性质知5人中，有3个男运动员，2个女运动员，故，
；；.
所以的分布列为
期望.
16.【答案】（1）
（2）或
17【小问1】
证明：连接交于点，记的中点分别为，连接.
在中，是的中点，所以.
因为平面，所以平面.
因为平面，所以.
在矩形中，.因为平面，所以平面.
因为平面，所以.
，同理得，所以，即.
因为平面，所以平面.
因为平面，所以平面平面.
【小问2】
作，垂足为.以为坐标原点，分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
因为，，
所以，.
所以.
设是平面的法向量，
则即可取.
设是平面的法向量，
则即可取.
，
.
故二面角的正弦值为.
18.【小问1】
当时，，，
则，，
故曲线在点处的切线方程为，
即；
【小问2】
的定义域为，则，
令函数，则，
所以在上单调递增，即在上单调递增；
【小问3】
（证法一）由（2）得，在上单调递增，
因为，由，，
可知存在唯一实数，使得，
即，可得，
当时，，则在上单调递减；
当时，，则上单调递增；
所以的极小值为
，
当且仅当时，等号成立，
因为，所以，
所以.
（证法二）当时，等价于，
即，
令，则有，
先证当时，，
令函数，则，
当时，，则在上单调递增，
所以当时，，即当时，得证；
再证，
令函数，则，
当时，，时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
则，即得证；
综上，，即当时，得证.
19.
【小问1】
设双曲线的半焦距为，则，由题意，
当时，过点且垂直于轴的直线为，
将代入双曲线方程，得，解得；又，则，
又，所以，结合，得，
解得或，
所以，所以双曲线的标准方程为；
【小问2】
易知直线的斜率存在，设，
则，作差可得，
所以，
因为线段AB的中点坐标为，所以，
所以，所以直线的斜率为，
所以直线的斜截式方程为，即.
小问3】
由，，三点不共线，故设直线，
联立，得，
则，，，
因为，则，所以，则，
因，，
所以，
即，
即，
即，
得，解得或，
若，则直线，过点，不符合题意；
若，则直线，满足，则过定点，
则直线过定点.
性别
马拉松
合计
喜爱
不喜爱
男
60
100
女
60
合计
200
0.100
0.050
0.025
0.010
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
性别
马拉松
合计
喜爱
不喜爱
男
60
40
100
女
40
60
100
合计
100
100
200
0
1
2