四川省南充市2024-2025学年高一下学期期末学业质量监测数学试题含答案解析

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2025高一下·南充期末）设i为虚数单位，复数z=i2−i，则z在复平面内对应的点在第（ ）象限.
A．一B．二C．三D．四
2．（2025高一下·南充期末）已知平面向量a=−2,1，b=2,x+2，若a//b，则x=（ ）
A．−3B．−2C．2D．3
3．（2025高一下·南充期末）已知α∈π2,π，csπ2−α=35，则csπ−α=（ ）
A．−45B．−35C．35D．45
4．（2025高一下·南充期末）设α，β为不同的平面，m，n为不同的直线，则下列说法中正确的是（ ）
A．若m//α，n⊂α，则m//n
B．若m//n，n⊂α，则m//α
C．若m//α，n⊥α，则m⊥n
D．若α⊥β，α∩β=n，m⊥n，则m⊥β
5．（2025高一下·南充期末）如图，已知圆锥SO的轴截面SAB是边长为4的正三角形，则该圆锥的侧面积为（ ）
A．16πB．8πC．43πD．4π
6．（2025高一下·南充期末）已知△ABC中，AB=2,2，AC=4,−22，则△ABC的面积为（ ）
A．4B．42C．82D．12
7．（2025高一下·南充期末）如图，在△ABC中，C=π4，AD⊥BC于D，AD=2，BC=6，则AB在AC上的投影向量为（ ）
A．−12ACB．−15ACC．15ACD．12AC
8．（2025高一下·南充期末）如图，正方体ABCD−A1B1C1D1中，P为BC的中点，点Q为四边形CC1D1D及其内部的动点，PQ//平面BB1D1D.则PQ与平面ABCD所成角正切值的范围（ ）
A．0,33B．0,22C．0,63D．0,2
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．（2025高一下·南充期末）在△ABC中，下列说法正确的是（ ）
A．tanA+B=tanC
B．sinA+B2=csC2
C．若csAB
D．存在△ABC，使得sinA+sinB0，则下列说法正确的是（ ）
A．ω=2时，点58π,0是函数fx图象的一个对称中心
B．ω=2时，函数y=fx−1在−π,π2上有4个零点
C．将fx图象向左平移π4个单位长度后，得到的函数图象关于y轴对称，则ω最小值为3
D．当x∈0,1时，fx恰有4个最大值，则实数ω的取值范围为27π4,35π4
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．（2025高一下·南充期末）cs52.5∘cs7.5∘−sin52.5∘sin7.5∘的值为 .
13．（2025高一下·南充期末）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，若a=8，csA=17，B=π3，则b= .
14．（2025高一下·南充期末）在三角恒等变化中，积化和差实际上就是把sinα+β与sinα−β，csα+β与csα−β相加或相减而变形得到的；和差化积实际上就是一种角的变化，如：sinα+sinβ=sinα+β2+α−β2+sinα+β2−α−β2=2sinα+β2csα−β2.
如果角θ与γ满足csθ−csγ=−16，sinθ−sinγ=13，则csθ+γ= .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（2025高一下·南充期末）已知函数fx=sin2x+π6+sin2x−π6+cs2x.
（1）求函数fx的值域；
（2）求使fx≤0成立的x的取值集合.
16．（2025高一下·南充期末）在三棱锥A−BCD中，平面ABD⊥平面BCD，BC=CD，M为BD的中点.
（1）求证：CM⊥AD；
（2）若N为BC的中点，过MN的平面α交平面ACD于PQ，求证：PQ//平面BCD.
17．（2025高一下·南充期末）如图，Rt△ABC中，∠C=90∘，AC=6，BC=9，BM=13BA，N为AC的中点，设CA=a，CB=b与CM相交于点P.
（1）用a，b表示BN、CM；
（2）若CP=λCM，求λ的值；
（3）求cs∠MPN.
18．（2025高一下·南充期末）已知a、b、c分别为△ABC三个内角A、B、C的对边，且2asinC+π3=3b.
（1）求A的值；
（2）若a=27，b>c，△ABC的面积为63，求sinA+B的值；
（3）若b=6，c=8，H为△ABC垂心，O为△ABC的外心，求AO⋅AH的值.
19．（2025高一下·南充期末）如图1，在直角梯形ABCD中，AB//DC，AB⊥BC，BC=DC=4，AB=8，E为AB的中点.将△ADE沿DE翻折，使点A到点P的位置，且PE⊥BE，得到如图2所示的四棱锥P−BCDE，若M为BC的中点，N是棱PB上动点.
（1）当N为PB的中点时.
①求证：平面EMN⊥平面PBC；
②求直线PB与平面EMN所成角的正弦值.
（2）若BN=λBP,λ∈14,12，求二面角N−EM−B的正弦值的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】虚数单位i及其性质；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：由z=2i−i2=1+2i，对应点坐标为(1,2)，即在第一象限.
故答案为：A.
【分析】先通过复数乘法法则将复数z化简为标准形式a + bi(a，b为实数 ），然后根据实部a和虚部b的正负确定其对应点(a，b)所在的象限.
2．【答案】A
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解：由题设2−2=x+21，可得x=−3.
故答案为：A.
【分析】利用“若两个平面向量m=(x1,y1)，n=(x2,y2)平行，则x1y2−x2y1=0”这一性质，列出关于x的方程，进而求解x的值.
3．【答案】D
【知识点】同角三角函数间的基本关系；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】解：由csπ2−α=sinα=35，α∈π2,π，则csα=−45，
所以csπ−α=−csα=45.
故答案为：D.
【分析】本题考查三角函数诱导公式及同角三角函数平方关系的应用.解题思路是先利用诱导公式将cs⁡(π2−α)转化为sin⁡α，再根据α的范围，用同角三角函数平方关系求出cs⁡α，最后再次利用诱导公式求出cs⁡(π−α).
4．【答案】C
【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系；直线与平面平行的性质；直线与平面垂直的判定
【解析】【解答】解：A、m//α，n⊂α，则m,n平行或异面，A错误.
B、m//n，n⊂α，则m//α或m⊂α，B错误.
C、m//α，则存在直线l⊂平面α，使l//m，又n⊥α，得n⊥l，故m⊥n，C正确.
D、α⊥β，α∩β=n，m⊥n，则m可以在β内，可以与β平行，也可以与β相交但不垂直，不一定有m⊥β，D错误.
故答案为：C.
【分析】本题聚焦空间中线面、面面的位置关系，需依据线面平行、垂直，面面垂直的判定与性质，逐一剖析选项，判断线线、线面位置关系是否成立，解题关键在于熟练运用空间几何的基本定理，准确把握线面、面面位置关系的多种可能性.
5．【答案】B
【知识点】圆柱/圆锥/圆台的表面积及应用
【解析】【解答】解：由题设，圆锥底面半径为2，则底面周长为4π，
所以圆锥的侧面积为12×4×4π=8π.
故选：B.
【分析】本题考查圆锥侧面积的计算，关键在于先根据轴截面的性质确定圆锥的底面半径和母线长，再利用圆锥侧面积公式（S=12lC，其中l是母线长，C是底面周长 ）求解，解题思路是：先由轴截面为正三角形得出底面半径和母线长，再计算底面周长，最后代入侧面积公式计算.
6．【答案】B
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】解：因为AB=2,2，AC=4,−22，则csA=AB⋅ACAB⋅AC=8−46×26=13，
故sinA=1−cs2A=1−132=223，
因此S△ABC=12AB⋅ACsinA=12×6×26×223=42.
故答案为：B.
【分析】 本题考查利用平面向量求三角形面积，核心思路是先通过向量数量积公式求出夹角A的余弦值，再用同角三角函数关系得正弦值，最后代入三角形面积公式（S=12AB⃗⋅AC⃗sinA）计算.
7．【答案】A
【知识点】平面向量的数量积运算；余弦定理；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：由题设，AD=CD=2，则AC=22，BD=4，
故AB=AD2+BD2=25，
所以cs∠CAB=AC2+AB2−BC22AC⋅AB=8+20−362×22×25=−1010，
所以AB在AC上的投影向量为AB⃗⋅AC⃗|AC⃗|⋅AC⃗|AC⃗|=25×22×(−1010)8⋅AC⃗=−12AC⃗.
故答案为：A.
【分析】本题考查向量投影向量的计算，核心思路是：先通过几何条件求出相关线段长度（AC、AB ），再用余弦定理求cs⁡∠CAB，最后依据投影向量公式（投影向量=AB⋅AC|AC|2⋅AC ）计算，需依次完成线段长度推导、角度余弦值求解及投影向量运算.
8．【答案】D
【知识点】直线与平面平行的性质；直线与平面所成的角
【解析】【解答】解：
取线段CD,C1D1,B1C1的中点分别为E,F,G，连接EF,EP,FG,GP，
由中位线可得EF//PG，所以四点E,F,G,P四点共面，
又因为BB1//PG，BB1⊂平面BB1D1D，PG⊄平面BB1D1D，
所以PG//平面BB1D1D，
又因为D1B1//FG，D1B1⊂平面BB1D1D，FG⊄平面BB1D1D，
所以FG//平面BB1D1D，
又因为FG∩PG=G,FG,PG⊂平面EFGP，
所以平面EFGP//平面BB1D1D，
因为点Q为四边形CC1D1D及其内部的动点，所以当Q∈EF，即PQ⊂平面EFGP，
所以此时有PQ//平面BB1D1D，
由正方体的性质可知QE⊥平面ABCD，所以PQ与平面ABCD所成角就是∠QPE，
又因为tan∠QPE=QEPE，设正方体的边长为2，则tan∠QPE=QE2，
此时QE∈0,2，所以tan∠QPE=QE2∈0,2，
故答案为：D.
【分析】先通过构造辅助平面，确定满足PQ∥平面BB1D1D的点Q的轨迹；再利用线面角的定义（线面角为直线与平面中投影线的夹角 ），结合正方体边长，分析线面角正切值的范围.需依次完成辅助平面构造、轨迹确定、线面角转化及正切值范围推导.
9．【答案】B,C
【知识点】三角函数诱导公式二~六；正弦定理的应用；利用三角函数的单调性比较大小
【解析】【解答】A、由tanA+B=tan(π−C)=−tanC，A错误.
B、由sinA+B2=sinπ−C2=csC2，B正确.
C、由y=csx在(0,π)上单调递减，且csAB，C正确.
D、由正弦边角关系，若sinA+sinB0，
所以tanA=3，因此，A=π3.
（2）解：因为S△ABC=12bcsinA=34bc=63，可得bc=24，
因为a=27，由余弦定理可得a2=b2+c2−2bccsA=b2+c2−bc=28，
故b2+c2=28+bc=52，所以bc=24b2+c2=52b>c，解得b=6c=4，
由正弦定理可得asinA=csinC，故sinC=csinAa=4×3227=217，
因此，sinA+B=sinC=217.
（3）解：由平面向量数量积的定义可得AB⋅AC=AB⋅ACcs∠BAC=8×6×12=24，
设AH=xAB+yAC，则BH=AH−AB=x−1AB+yAC，
因为BH⊥AC，则BH⋅AC=x−1AB⋅AC+yAC2=24x−1+36y=0，
即2x+3y=2①，
CH=AH−AC=xAB+y−1AC，
因为CH⊥AB，则CH⋅AB=xAB2+y−1AC⋅AB=64x+24y−1=0，
即8x+3y=3②，
联立①②得x=16，y=59，故AH⃗=16AB⃗+59AC⃗，
取线段AB的中点E，连接OE，则OE⊥AB，如下图所示：
AO⋅AB=AE+EO⋅AB=AE⋅AB+EO⋅AB=12AB2=32，
同理可得AO⋅AC=12AC2=12×62=18，
因此AO⃗⋅AH⃗=AO⃗⋅16AB⃗+59AC⃗=16AO⃗⋅AB⃗+59AO⃗⋅AC⃗=163+59×18=463.
【知识点】平面向量的数量积运算；两角和与差的正弦公式；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）：利用正弦定理化边为角，结合两角和正弦公式化简，求tanA 得角A.
（2）：通过面积公式求bc，余弦定理联立方程得b,c，再用正弦定理结合A+B=π−C 求sinC.
（3）：设垂心AH 为AB、AC 的线性组合，利用垂心垂直性质列方程解系数，结合外心向量投影性质（中点投影 ）计算数量积.
（1）因为2asinC+π3=3b，由正弦定理可得2sinAsinC+π3=3sinB=3sinA+C，
即2sinA12sinC+32csC=3sinAcsC+csAsinC，
即sinAsinC+3sinAcsC=3sinAcsC+3csAsinC，
即sinAsinC=3csAsinC，
因为A、C∈0,π，故sinC>0，可得sinA=3csA>0，
所以tanA=3，因此，A=π3.
（2）因为S△ABC=12bcsinA=34bc=63，可得bc=24，
因为a=27，由余弦定理可得a2=b2+c2−2bccsA=b2+c2−bc=28，
故b2+c2=28+bc=52，所以bc=24b2+c2=52b>c，解得b=6c=4，
由正弦定理可得asinA=csinC，故sinC=csinAa=4×3227=217，
因此，sinA+B=sinC=217.
（3）由平面向量数量积的定义可得AB⋅AC=AB⋅ACcs∠BAC=8×6×12=24，
设AH=xAB+yAC，则BH=AH−AB=x−1AB+yAC，
因为BH⊥AC，则BH⋅AC=x−1AB⋅AC+yAC2=24x−1+36y=0，
即2x+3y=2①，
CH=AH−AC=xAB+y−1AC，
因为CH⊥AB，则CH⋅AB=xAB2+y−1AC⋅AB=64x+24y−1=0，
即8x+3y=3②，
联立①②得x=16，y=59，故AH⃗=16AB⃗+59AC⃗，
取线段AB的中点E，连接OE，则OE⊥AB，如下图所示：
AO⋅AB=AE+EO⋅AB=AE⋅AB+EO⋅AB=12AB2=32，
同理可得AO⋅AC=12AC2=12×62=18，
因此AO⃗⋅AH⃗=AO⃗⋅16AB⃗+59AC⃗=16AO⃗⋅AB⃗+59AO⃗⋅AC⃗=163+59×18=463.
19．【答案】（1）①证明见解析；②33；①证明：由题可设，易知BCDE是边长为4的正方形，且PE⊥DE，PE⊥BE，
由DE∩BE=E都在平面BCDE内，则PE⊥平面BCDE，BC⊂平面BCDE，
所以PE⊥BC，又BE⊥BC，PE∩BE=E都在平面PBE内，则BC⊥平面PBE，
由EN⊂平面PBE，则BC⊥EN，又PE=BE，N为PB的中点，则EN⊥PB，
由BC∩PB=B都在平面PBC内，则EN⊥平面PBC，EN⊂平面EMN，
所以平面EMN⊥平面PBC.
②解：由EN⊥平面PBC，MN⊂平面PBC，则EN⊥MN，且EN=22
同理可得BC⊥PB，则MN=23，故S△EMN=12×23×22=26，
由VB−EMN=VN−BEM=12VP−BEM=12×13×4×12×4×2=83，
若B到平面EMN的距离为d，则13d×26=83，可得d=46，而BN=22，
所以直线PB与平面EMN所成角的正弦值dBN=33.
（2）法一：解：由BN=λBP,λ∈14,12，且PB=42，则BN=42λ，
所以MN=BN2+BM2=32λ2+4，EN=BN2+BE2−2BN⋅BEcs45°=32λ2+16−32λ，EM=25，
所以cs∠EMN=MN2+EM2−EN22MN⋅EM=32λ2+4+20−32λ2−16+32λ2×28λ2+1×25=1+4λ5⋅1+8λ2，
故sin∠EMN=26λ2−2λ+15⋅1+8λ2，故N到EM的距离h=MNsin∠EMN=46λ2−2λ+15，
又N到平面BME的距离m=4λ，则二面角N−EM−B的正弦值mh=5λ6λ2−2λ+1=51λ2−2λ+6=5(1λ−1)2+5，
又1λ∈2,4，则mh∈[7014,306]；
法二：解：由题设，构建如下图示空间直角坐标系E−xyz，则M(4,2,0),N(4(1−λ),0,4λ)，
所以EM=(4,2,0),EN=(4(1−λ),0,4λ)，若m=(x,y,z)是平面EMN的一个法向量，
所以m⋅EM=4x+2y=0m⋅EN=4(1−λ)x+4λz=0，令x=λ，则m=(λ,−2λ,λ−1)，
而平面BEM的一个法向量为n=(0,0,1)，则|csm,n|=|m⋅nmn|=1−λ5λ2+(λ−1)2=15(11λ−1)2+1，
而λ∈14,12，则1λ−1∈1,3，故(11λ−1)2∈19,1，
所以csm,n∈[314,16]，故二面角N−EM−B的正弦值范围[7014,306].
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】① 面面垂直证明：利用“线面垂直→面面垂直”，通过翻折后PE⊥ 平面BCDE，结合BC⊥ 平面PBE 推导EM⊥ 平面PBC，进而得面面垂直.
② 线面角计算：建立空间直角坐标系，求平面法向量与直线方向向量，用向量夹角公式计算线面角（线面角正弦值 = 方向向量与法向量夹角余弦值的绝对值 ）.
（1）①由题设，易知BCDE是边长为4的正方形，且PE⊥DE，PE⊥BE，
由DE∩BE=E都在平面BCDE内，则PE⊥平面BCDE，BC⊂平面BCDE，
所以PE⊥BC，又BE⊥BC，PE∩BE=E都在平面PBE内，则BC⊥平面PBE，
由EN⊂平面PBE，则BC⊥EN，又PE=BE，N为PB的中点，则EN⊥PB，
由BC∩PB=B都在平面PBC内，则EN⊥平面PBC，EN⊂平面EMN，
所以平面EMN⊥平面PBC；
②由EN⊥平面PBC，MN⊂平面PBC，则EN⊥MN，且EN=22
同理可得BC⊥PB，则MN=23，故S△EMN=12×23×22=26，
由VB−EMN=VN−BEM=12VP−BEM=12×13×4×12×4×2=83，
若B到平面EMN的距离为d，则13d×26=83，可得d=46，而BN=22，
所以直线PB与平面EMN所成角的正弦值dBN=33；
（2）法一：由BN=λBP,λ∈14,12，且PB=42，则BN=42λ，
所以MN=BN2+BM2=32λ2+4，EN=BN2+BE2−2BN⋅BEcs45°=32λ2+16−32λ，EM=25，
所以cs∠EMN=MN2+EM2−EN22MN⋅EM=32λ2+4+20−32λ2−16+32λ2×28λ2+1×25=1+4λ5⋅1+8λ2，
故sin∠EMN=26λ2−2λ+15⋅1+8λ2，故N到EM的距离h=MNsin∠EMN=46λ2−2λ+15，
又N到平面BME的距离m=4λ，则二面角N−EM−B的正弦值mh=5λ6λ2−2λ+1=51λ2−2λ+6=5(1λ−1)2+5，
又1λ∈2,4，则mh∈[7014,306]；
法二：由题设，构建如下图示空间直角坐标系E−xyz，则M(4,2,0),N(4(1−λ),0,4λ)，
所以EM=(4,2,0),EN=(4(1−λ),0,4λ)，若m=(x,y,z)是平面EMN的一个法向量，
所以m⋅EM=4x+2y=0m⋅EN=4(1−λ)x+4λz=0，令x=λ，则m=(λ,−2λ,λ−1)，
而平面BEM的一个法向量为n=(0,0,1)，则|csm,n|=|m⋅nmn|=1−λ5λ2+(λ−1)2=15(11λ−1)2+1，
而λ∈14,12，则1λ−1∈1,3，故(11λ−1)2∈19,1，
所以csm,n∈[314,16]，故二面角N−EM−B的正弦值范围[7014,306].