人教版高考数学第二轮专项复习专题02 函数周期性问题-高中数学经典二级结论解读与应用训练（原卷版）

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结论二:函数周期性问题
结
论
已知定义在R上的函数f(x),若对任意x∈R,总存在非零常数T,使得f(x+T)=f(x),则称f(x)是周期函数,T为其一个周期.除周期函数的定义外,还有一些常见的与周期函数有关的结论如下:
(1)如果f(x+a)=-f(x)(a≠0),那么f(x)是周期函数,其中的一个周期T=2a.
(2)如果f(x+a)=1f(x)(a≠0),那么f(x)是周期函数,其中的一个周期T=2a.
(3)如果f(x+a)+f(x)=c(a≠0),那么f(x)是周期函数,其中的一个周期T=2a.
(4)如果f(x)=f(x+a)+f(x-a)(a≠0),那么f(x)是周期函数,其中的一个周期T=6a.
解
读
这个结论通过周期函数的定义得到，用代换等式中的构造出来的形式，然后利用周期函数的定义即可得到结论.
典
例
已知是定义在上的奇函数，，恒有，且当，时，，则=（ ）
A．1B．2C．3D．4
解
析
反
思
本题考查了的函数性质，通过函数的奇偶性和周期性求函数的值。在比较，，，的大小时，首先应该根据函数的奇偶性与周期性将，，，通过等值变形将自变量置于同一个单调区间，然后根据单调性比较大小．
针对训练*举一反三
1．已知定义在上的奇函数满足，当时，，则（ ）
A．B．C．D．
2．定义在R偶函数满足，对，，都有，则有（ ）
A．B．
C．D．
3．设是上的奇函数且满足，当时，，则（ ）
A．B．C．D．
4．已知定义在R上的函数是奇函数，且是偶函数，若当时，，则的值是（ ）
A．B．C．2D．3
5．定义在上的偶函数满足当时, ,则( )
A．B．
C．D．
6．已知是在R上的奇函数，满足，且时，函数，函数恰有3个零点，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．已知函数的定义域为，且满足下列三个条件：①任意，当时，都有；②；③是偶函数；若，则的大小关系正确的是（ ）
A．B．
C．D．