福建省福州市福九联盟2024-2025学年高二下学期期末联考数学试卷

这是一份福建省福州市福九联盟2024-2025学年高二下学期期末联考数学试卷，共9页。试卷主要包含了若3x  27  a，下列说法中正确的是等内容，欢迎下载使用。
（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件 6、有 10 件产品，其中 3 件是次品，从中不放回地随机选取 2 件，若 X 表示取得次品的件
数，则 P  X  2 （）
考试时间：7 月 9 日完卷时间：120 分钟满分：150 分
A． 7
15
B． 8
15
C． 14
15
D．1
7、若3x  27  a
 a  x 1  a
 x 12 L a
 x 17 ，则a  a
L a 
第Ⅰ卷
0127
（）
127
一、选择题：本题共 8 题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只
A．1B． 214 1
C．129D． 221 1
有一项是符合题目要求的。
1、已知集合 A  x x2  2x  0,
（）
B  x x  1，则
A ∩ B 
8、已知连续型随机变量ξ服从正态分布 N  1 , 1  ，记函数 f (x)  P(ξ x) ，则函数
3
4
 

f (x) 的图象
A . [1,2)
B.(0,1]
C. (1,2]
D. (0,2)
（）
A.关于直线 x  1 对称B.关于直线 x  1 对称
2、下列各组函数中，表示同一个函数的是
（）
2
3
 1 1 
6
 1 1 
A． y  1与 y  x0
B． y  x 与 y   x 
C. 关于点 ,  成中心对称D.关于点 ,
 成中心对称
C． y  2lg x 与 y  lg x2
D． f (x)  x2 1与 f (t)  t 2 1
 3 2 
 3 4 
22
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符
3、等差数列{an }的前n 项和为Sn ，且S3  9, S6  36 ，则S9 为
（）
A．45B．81C．90D．162
4、下列说法正确的是
（）
A．函数y  x  1 的最小值是 2
x
B．函数 f (x)  cs x  4 , x  0, π  的最小值为 4
合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。 9、下列说法中正确的是（ ）
A．若甲乙两组数据的相关系数分别为 0.75 和-0.92，则甲的数据线性相关性更强 B．随机变量的方差越小，随机变量的取值越集中
C．若随机变量 X,Y 满足 Y=2X+3，若 D(X)=3,则 D(Y)=15
cs x
2 

C．“ x  0 且 y  0 ”是“ x  y  2 ”的充分不必要条件
yx
D．命题“ x  0, x2  ax  2  0 ”的否定是“ x  0, x2  ax  2  0 ”
D．随机变量 X 服从二项分布 B 4, p ，若方差 D  X   1 ，则 P  X  1  1
4
10、已知函数 f  x 是定义在 R 上的奇函数，当 x  0 时， f (x)  ex (x  2) ，则（）
000
5、若 p : 实数 a 使得“ x  R ， x2  2x
x2  a  0 ”为真命题，则 p 是 q 的
 a  0 ”为真命题， q : 实数 a 使得“ x 1,  ，
当 x  0 时， f (x)  ex (x  2)
x  R ，都有 f (x) [e, e]
学校： 高二年班 号
姓名：准考证号：
函数 f (x) 有两个零点D．函数 f  x 在区间（-1，0）上单调递减
因发烧请假
非发烧请假
合计
流感暴发前
15
40
流感暴发后
15
合计
100
11、一口袋中有除颜色外完全相同的 4 个红球和 2 个白球，从中无放回的随机取两次，每据：次取 1 个球，记事件 A1 ：第一次取出的是红球；事件 A2 ：第一次取出的是白球；事件 B：
取出的两球同色；事件 C：取出的两球中至少有一个红球，则下列说法中正确的是
（）
A．事件 A ， A 为对立事件B． P(B)  7
1215
C．事件 B，C 为独立事件D． P(C A )  4
25
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分
12、用 0，1，2，3 这 4 个数字，可组成个没有重复数字的三位数（用数字作答）
11
x
2
4
6
8
z
1
3
4
5
13、已知某品牌的新能源汽车的使用年限 x （单位：年）与维护费用 y （单位：千元）之间可以用模型 y  c ec2 x c  0 去拟合，收集了 4 组数据，设 z  lny, x 与 z 的数据如表格所示：
完成2  2 列联表，并依据α 0.001 的独立性检验，判断能否认为流感暴发对请假的同学中发烧的人数有影响．
后经过了解，在全校因发烧请假的同学中男生占比为60% ，且10% 的因发烧请假的男生需要输液治疗， 20% 的因发烧请假的女生需要输液治疗．已知学校随机选择一名因发烧
请假在医院输液的同学进行慰问，求这名同学是女生的概率．
利用最小二乘法得到 x 与 z 的线性回归方程 zˆ  0.65x  aˆ ，则c1  c2 
附： χ2 
n(ad  bc)2
α
0.05
0.01
0.001
xa
3.841
6.635
10.828
(a  b)(c  d )(a  c)(b  d ) ．
14、已知定义域为R 的偶函数 f  x 满足 f 1 2x  f 1 2x ，且当 x 0,1 时， f  x  x ，
n1nn
若将方程 f  x  lgx n  N*  实数解的个数记为a ，则a 
四、解答题：共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15、（13 分）设函数 f  x  ex  e x
试判断函数 f (x) 的奇偶性并加以证明；
18、(17 分)已知函数 f (x)  ax  ex
求函数 f  x 的单调区间；
求函数 f  x 在[1,2]上的最大值；
(a  0)
mx
， g(x)  x 
若不等式 f (2kx2 )  f  kx  3   0 恒成立，求实数k 的取值范围.
当 a  1 时，若 g(x) 
f (x) 恒成立，求实数 m 的取值范围.
8


n
n13
16、(15 分 )已知数列a 中， a  3 ， a  15 ，且数列 an  为等差数列．

19、（17 分）现有甲乙两个盒子，甲盒中装有除颜色外其他都一样的 1 个红球和 2 个黑
球，乙盒中装有除颜色外其他都一样的 2 个红球和 1 个黑球。现从这两个盒子中各任取一
求a 的通项公式；(2)记S 为数列 1  的前 n 项和，证明： S  3 ．
nn a n4
个球，交换之后放入另一个盒子中去，称为 1 次球的交换的操作，如此重复n 次这样的操
 n 
17．（15 分）春夏之交因昼夜温差大，细菌、病毒等活跃，是流感高发季节．某校高二年级某组团统计了流感暴发前的半个月与流感暴发后的半个月的学生请假情况，得到如下数
作后乙盒子中红球的个数记为 Xn
（1）求 P( X1  1) ；
求 X 2 的概率分布列并求出 EX 2 ;
证明： EX
n1
  1 1 EX 
3n
(n  2, n  N  )
2024—2025 学年度第二学期福九联盟（高中）期末联考高中二年数学科试卷评分细则
一、单选题：每小题 5 分，共 40 分
二、多选题：每小题 6 分，共 18 分
三、填空题：每小题 5 分，共 15 分
12、 1813、0.6514、 2n
四、解答题：共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15、（1）易知函数 f (x)  ex  ex 是奇函数1 分
 f (x) 的定义域为 R2 分
又 f (x)  ex  e(x)  ex  ex  (ex  ex )   f (x)
 f (x)  ex ex 是定义在 R 在的奇函数4 分
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
D
B
C
B
C
B
C
题号
9
10
11
答案
BD
AD
ABD
（2）
f ' (x)  ex '  ex '  ex  (ex )  ex  ex
-6 分
易知x  R , ex  0,ex  0 ，则 f ' (x)  0 恒成立
所以 f (x) 在 R 为增函数7 分
（备注： f (x)  ex  (ex ) ，易知增函数+增函数是增函数，或用定义法证明单调性）
因为函数 f (x) 为R 上的奇函数，且为增函数，
f (2kx2 ) 
 3   0 
f (2kx2 )  
 3  
f  3  kx 
-8 分
8
f  kx 

f  kx  
8
8

 2kx2  3  kx
8
，即16kx2  8kx  3  0 对任意的 x  R 恒成立9 分
①当 k  0 时，则有 3  0 ，对任意的 x  R 恒成立，符合题意；10 分
 k  0

②当 k  0 时，则有  64k 2  4 16k (3)  0 ，解得 3  k  0
-12 分
综上所述，实数k 的取值范围为（ 3，0] .13 分
16、（1）数列 an  为等差数列，设该数列的公差为 d ，依题意则有 2d  a3  a1
----2 分
 n 31

已知 a1  3, a3  15 ，解得 d  1

数列 an  是以 3 为首项，公差为 1 的等差数列，
n
-4 分

an  a1  (n 1)d  3  (n 1)  n  2 ，即 a n1n
 n(n  2)
-7 分
（备注：公式正确，整理结果错误扣 1 分）
1
（2）由（1）可得1
 1  1 1
-9 分

ann(n  2)
 
2  nn  2
Sn 
1 
1 3
1
2  4
1
3 5
1
4  6
  
1
(n 1)(n 1)
1
n(n  2)
-10 分
 1 1 1   1  1  1   1  1  1     1  11   1  1 1
2
3
4
5


  
2  2
  
2  3

2  n 1
n 1

2  n
n  2 
 1 1 1  1  1  1  1  1  1    11
 1 1
-12 分
2
3
2
4
3
5
4
6

n 1

n 1n
n  2 
 1 1 1 11
2



 3 

2n 1
2n  3
n  2 
-14 分
3
42(n 1)(n  2)
 n  N 
2n  3 0 2(n 1)(n  2)
则 Sn  4
-15 分
17、（1）零假设 H0 流感暴发对请假的同学中发烧的人数无关1 分
完成列联表如下
-3 分
因发烧请假
非发烧请假
合计
流感暴发前
15
25
40
流感暴发后
45
15
60
合计
60
40
100
由列联表可得： χ2
 100 （1515  45 25）2 60  40  40  60
 225
16
 14.063  10.828  x0.001
-6 分
依据小概率值α 0.001 的独立性检验，我们推断 H0 不成立；即认为流感暴发对请假的同学中发烧的人数有影响，此推断犯错误的概率不大于 0.0017 分
（2）设事件 A 表示“请假的学生是女生”, A 表示“请假的学生是男生”；事件 B 表示“需要输液治疗”，
依题意得
P( A)  0.4 ， P( A)  0.6 ， P(B A)  0.2 ， P(B A)  0.1
-8 分
-10 分
P(B)  P( A)  P(B A)  P( A)  P(B A)  0.4  0.2  0.6  0.1  0.14
-12 分
P( A)  P(B A)
P( A B)  P( AB) 
 0.4  0.2  4
-14 分
P(B)
P(B)
4
0.147
答：这名同学是女生的概率为
7
-15 分
18、(1) 函数 f (x)  ax  ex
(a  0) ，易知函数 f (x) 的定义域为 R,
 f ' (x)  a  ex
令f ' (x)  0， 解得x  ln a
-2 分
当 x 变化时， f (x), f ' (x) 的变化情况如下表所示
故函数 f (x) 的增区间为 ，ln a ；减区间为ln a,4 分
（2）①当ln a  2 时，即 a  e2 时，函数 f (x) 在区间[1，2]上单调递增， f (x)max  f 2  2a  e2
-6 分
②当1  ln a  2 时，即e  a  e2 时，函数 f (x) 在区间[1, ln a] 上单调递增函数 f (x) 在区间[ln a,2] 上
x
 ，ln a
ln a
ln a,
f ' (x)
+
0
-
f (x)
增
极大值
减
单调递减，则 f (x)max 
f ln a  a ln a  a
-8 分
③当ln a  1 时，即0  a  e 时，函数 f (x) 在区间[1，2]上单调递减， f (x)max  f 1  a  e10 分

 2a  e2 ,a  e2
综上所述： f (x)
max
 a ln a  a,1  a  2
（本步骤没写不扣分）

 a  e, 0  a  e
mx
（3）（解法一）当 a  1 时，若 g(x)  f (x) 恒成立，即ex 在恒成立--（*）
①当 m  0 时， ex  0 ，符合题意11 分
mx
②当 m  0 时，因为有意义，则 x  0
当 x  0 时，e0  0，m  0 ，符合题意12 分
mx
mx
当 x  0 时， ex  ln ex  ln x  1 ln x  1 ln m  0
令 h(x)  x  1 ln x  1 ln m ，则 h' (x)  1 1
22
 2x 1
222x2x
则 h(x) 在区间 0, 1  上单调递减，在区间 1 ，  单调递增, h(x)1  1  1 ln 1  1 ln m
2
2
 

min
h()
22222
依题意要使（*）成立只需 h(x)min  0 ，解得0  m  2e
-15 分
mx
③当 m  0 时，因为有意义，则 x  0 ，
令 x 
1
m  1
m
1
 0 ，则em  e0  1 
m
，即与（*）式恒成立矛盾，舍去16 分
由①②③可得，满足条件的实数 m 的取值范围是[0,2e]
-17 分
3）（（解法二）当 a  1 时，若 g(x)  f (x) 恒成立，即ex mx 在恒成立--（*）
①当 m  0 时， e0  0 ，符合题意11 分
②当 m  0 时，因为 mx 有意义，则 x  0
当 x  0 时， ex  0，m (0,) ，符合题意
-12 分
（
 min
2x x
 h(x）在区间 0 1  1 ， 单调递增
 ex 
当 x (0,) 时，依题意只需证明
x

m －－－（*）
---13 分
exex x  ex 1
令 h(x) ，则 '2 x xh (x) x

ex (2x 1)
-14 分
 ， 单调递减；在区间 
2  2
由（*）可知， h(x)
min
 h() 
1
2
m,即0  m  2e
-------15 分
mx
③当 m  0 时，因为有意义，则 x  0 ，
令 x 
1
m  1
m
1
 0 ，则em  e0  1 
m
，即与（*）式恒成立矛盾，舍去16 分
由①②③可得，满足条件的实数 m 的取值范围是[0,2e]
-17 分
（3）（（解法三）
 mx  0
mx
当 a  1 时，若 g(x) 
f (x) 恒成立，即ex 在恒成立  2 x
e
 mx
-11 分
①当 m  0 时， x  R, 恒有e0  0 ，符合题意12 分
②当 m  0 时，则 x  0
当 x  0 时， ex  0，m (0,) ，符合题意
 e2x 
当 x (0,) 时，依题意只需证明


x min
 m －－－（*）13 分
e2 x
'2e2x  x  e2x
e2x (2x 1)
令 h(x) ，则 h (x) 
xx2x2
-14 分
 h(x）在区间 0 1  1 ， 单调递增
 ， 单调递减；在区间 
2 
1
 2
-------15 分
h(x)min  h( 2)  m,即0  m  2e
③当 m  0 时，则 x  0 ，
令 x 
2
1
1
 0 ，则em  e0  1  m  mm
，即与e2x  mx 恒成立矛盾，舍去
-16 分
由①②③可得，满足条件的实数 m 的取值范围是[0,2e]
-17 分
19、(1)依题意可知 X1 的所有可能取值为 1，2，31 分
事件“ X1  1 ”即经过 1 次交换后乙盒子中只有一个红球；则需从甲盒子中取出 1 个黑球放入乙盒中，且从乙盒子中取出 1 个红球放入甲盒中，则
P( X
 1)  2  2  4
-3 分

1339
P( X  2)  2  1  1  2  4P( X  3)  1  1  1

1333391339
依题意可知 X 2 的所有可能取值为 0，1，2，34 分
P( X
 0)  P( X  1)  1  1   4  1  4
-5 分
3
3
9
9

21

81
P( X
 1)  P( X
 1)  2  1  1  2   P( X
 2)  2  2   4  4  4  4  32
-6 分
3
3
21


33
1 

 
3
3
999981
P( X
 3)  P( X  2)  1  1   4  1  4
-7 分
3
3
9
9

21

81
P( X 2
 2)  1 P( X 2
 0)  P( X 2
 1)  P( X 2
 3)  41
81
或P( X  2)  P( X  1)  2  2   P( X  2)  1  2  2  1   P( X  3) 1
3
3
3
3


21 

1 33 1
-8 分
 4  4  4  4  1  41
9999981
所以 X 2 的分布列如下表：
43241412614
X 2
0
1
2
3
P
4
81
32
81
41
81
4
81
所以 E( X 2 )  0  81 1 81  2  81  3 81 

819
-10 分
依题意可知 Xn1 的所有可能取值为 0，1，2，3
P( X 0)  P( X  1)  1  1   1 P( X  1)
3
3
n1
1 1
9
P( X 1)  P( X  0) 1 P( X  1)  1  2  2  1   P( X  2)  2  2 
3
3
3
3


n1n
n 33 
n 

 P( Xn
 0)  4 P( X
9n
 1)  4 P( X
9n
 2)
-11 分
P( X 2)  P( X  1)  2  2   P( X  2)  1  2  2  1   P( X  3) 1
3
3
3
3


n1
n 

n 33n
 4 P( X
9n
 1)  4 P( X
9n
 2)  P( Xn
 3)
-12 分
P( X 3)  P( X  2)  1  1   1 P( X  2)
3
3
n1
n n
9
-13 分
P( Xn  0)  P( Xn  1)  P( Xn  2)  P( Xn  3)  1
-14 分
E( Xn1 )  0  P( Xn1  0) 1 P( Xn1  1)  2  P( Xn1  2)  3 P( Xn1  3)
代入化简可得：E( X
n1
)  P( Xn
 0)  4 P( X
3n
 1)  5 P( X
3n
 2)  2P( Xn
 3)
-15 分
E( X
n1
)  P( Xn
 0)  P( Xn
 1)  P( Xn
 2)  P( Xn
 3) 1 P( X

3n
 1)  2 P( X
3n
 2)  P( Xn
 3)


 1 1 0  P( X
3n
 0) 1 P( Xn
 1)  2  P( Xn
 2)  3 P( Xn
 3)
 1 1 E( X )
3n
-17 分