初中数学15.1.2 线段的垂直平分线教学ppt课件

这是一份初中数学15.1.2 线段的垂直平分线教学ppt课件，共25页。PPT课件主要包含了猜想APBP，你能证明以上猜想吗，判定定理，线段的垂直平分线，互逆命题，互逆定理等内容，欢迎下载使用。
如图所示，某快递公司为方便居民收取快递，准备在幸福大道上修建一个快递收发点，请问快递收发点应建在什么地方，才能使A,B到它的距离相等?
如图, 直线l垂直平分线段AB，P1, P2, P3, ……是l上的点，请你猜想点P1，P2, P3, …到点A与点B的距离之间的数量关系.
已知：如图，直线 l⊥AB，垂足为 C，AC = CB，点 P 在 l 上．求证：PA = PB．
证明：∵ l⊥AB，∴∠PCA =∠PCB．又 AC = CB，PC = PC，∴ △PCA≌△PCB (SAS)．∴ PA = PB．
　解：∵　AD⊥BC，BD =DC， ∴　AD 是BC 的垂直平分线， ∴　AB =AC． ∵　点C 在AE 的垂直平分线上， ∴　AC =CE．
如图，AD⊥BC，BD =DC，点C 在AE 的垂直平分线上，AB，AC，CE 的长度有什么关系？AB+BD与DE 有什么关系？
　∴　AB =AC =CE． ∵　AB =CE，BD =DC， ∴　AB +BD =CD +CE． 即　AB +BD =DE ．
如图，在△ABC 中，BC =8，AB 的垂直平分线交BC于D，AC 的垂直平分线交BC 于E，求△ADE 的周长．
解：∵ DM为线段AB的垂直平分线，∴DA =DB．同理可得EA=EC∴△ADE的周长=AD+DE+AE =BD+DE+EC =BC =8.
如图，在四边形 ADBC 中，AB 与 CD 互相垂直平分，垂足为点 O. OE，OF 分别是点 O 到∠CAD 两边的垂线段， 试说明它们的大小有什么关系．
解： ∵ AB、CD 互相垂直平分， ∴ OC＝OD，OA＝OB，且 AB⊥CD， ∴ABCD为菱形，∴ AC＝AD， 在△AOC 和△AOD 中， ∵ AC＝AD，AO＝AO，OC＝OD， ∴△AOC≌△AOD (SSS). ∴∠CAO＝∠DAO. 又∵ OE⊥AC，OF⊥AD，∴ OE＝OF.
如果 PA = PB，那么点 P 是否在线段 AB 的垂直平分线上呢？
已知：如图，PA = PB．求证：点 P 在线段 AB 的垂直平分线上．
证明：过点 P 作 AB 的垂线 PC，垂足为点 C．则∠PCA =∠PCB = 90°．在 Rt△PCA 和 Rt△PCB 中， PA = PB，PC = PC，∴ Rt△PCA≌Rt△PCB（HL）．∴ AC = BC．又 PC⊥AB，∴ 点 P 在线段 AB 的垂直平分线上．
与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
应用格式：∵ PA = PB，∴ 点 P 在 AB 的垂直平分线上．
判断一个点是否在线段的垂直平分线上.
△ABC 中，AB =AC,D 在AB边上，M 在线段AD上，且MB =MC,求证：DB =DC．
证明：∵ AB = AC，MB = MC，∴ 直线 AM 是线段 BC 的垂直平分线，∵D在直线AM 上，∴ DB=DC.
如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E.求证：直线AD是CE的垂直平分线．
证明：∵AD平分∠BAC，∠ACB＝90°，DE⊥AB， ∴CD＝DE, ∴点D在CE的垂直平分线上； 在Rt△ADC和Rt△ADE中， AD＝AD， CD＝ ED， ∴Rt△ADC≌Rt△ADE（HL），∴AC＝AE， ∴点A也在CE的垂直平分线上， ∴直线AD是CE的垂直平分线．
如图所示，在△ABC 中，AD 平分∠BAC，DE⊥AB 于点 E，DF⊥AC 于点 F，试说明 AD 与 EF 的关系.
解：∵ AD 平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠EAD＝∠FAD，∠AED＝∠AFD＝90°.又∵ AD＝AD，∴△ADE≌△ADF. ∴ AE＝AF，DE＝DF.∴ A、D 均在线段 EF 的垂直平分线上， 即直线 AD 垂直平分线段 EF.
从上面两个结论可以看出，线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.所以线段的垂直平分线可以看成与这条线段两个端点距离相等的所有点的集合.
分析上面关于线段的垂直平分线的两个命题，它们的题设和结论有什么关系?你还学习过其他具有类似关系的命题吗?
如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫作互逆定理，其中一个定理叫作另一个定理的逆定理. 在几何中，有许多互逆的定理. 例如，上面关于垂直平分线的两个互逆命题是互逆定理，“两直线平行，内错角相等”和“内错角相等，两直线平行”也是互逆定理. 你还能举出类似的例子吗？
命题：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角的平分线互相垂直．(1)请写出该命题的逆命题；(2)判断（1）中的命题是否是真命题？如果是真命题，请画图，写出已知、求证，并证明：如果是假命题，请举反例画图说明．
（1）解：逆命题：如果两条直线被第三条直线所截形成的同旁内角的平分线互相垂直，那么这两条直线互相平行．（2）解：已知：如图，直线
(2)判断（1）中的命题是否是真命题？如果是真命题，请画图，写出已知、求证，并证明：如果是假命题，请举反例画图说明．
线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等
见垂直平分线，得线段相等
到线段的两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上
判断一个点是否在线段的垂直平分线上
1.如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA＝5，则线段PB的长度为(　　) A．6 B．5 C．4 D．3
2.如图所示，直线 CD 是线段 AB 的垂直平分线，点 P 为直线 CD 上的一点，且 PA = 5，则线段 PB 的长为 ( ) A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
3.如图所示,AC=AD,BC=BD,则有(　　) A.AB垂直平分CD B.CD垂直平分AB C.AB与CD互相垂直平分 D.CD平分∠ACB
4.如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°. AB的垂直平分线DE交AB于点D,交BC于点E, 则下列结论不正确的是(　　)A.AE=BE B.AC=BEC.CE=DE D.∠CAE=∠B
8. 如图所示，在△ABC 中，BC = 8 cm，边 AB 的垂直平分线交 AB 于点 D，交边 AC 于点 E，△BCE 的周长等于 18 cm，则 AC 的长是 .
7.如图，在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝90°，线段AC的垂直平分线MN与AB交于点D，与AC交于点E，则∠BCD的度数是_______．
9.如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，E 为 CD 的中点，连接 AE、BE，BE⊥AE，延长 AE 交 BC 的延长线于点 F. 求证：(1) FC＝AD；(2) AB＝BC＋AD.
证明：(1) ∵ AD∥BC，∴∠ADC＝∠FCE.∵ E 是 CD 的中点，∴ DE＝CE.又∵∠AED＝∠CEF，∴△ADE≌△FCE，∴ FC＝AD.(2) ∵△ADE≌△FCE，∴ AE＝FE.又∵ BE⊥AE，∴ BE 是线段 AF 的垂直平分线. ∴ AB＝BF＝BC＋CF.∵ AD＝CF，∴ AB＝BC＋AD.