福建省南平市2024-2025学年高一下学期期末考试数学试题（Word版附答案）

这是一份福建省南平市2024-2025学年高一下学期期末考试数学试题（Word版附答案），共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
考试时间：120分钟 满分：150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若复数，其共轭复数为，是虚数单位，则下列说法正确的是
A．的虚部为B．在复平面内对应的点在第二象限
C．D．
2．已知向量，则
A．B．C．D．
3．设，是空间中两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是
A．若，，则B．若，，则
C．若，，则D．若，，则
4．如图，下列频率分布直方图显示了三种不同的分布形态．图（1）形成对称形态，图（2）形成“右拖尾”
形态，图（3）形成“左拖尾”形态．根据所给图示作出判断，则下列结论正确的是
A．图（1）中平均数中位数众数B．图（2）中平均数众数中位数
C．图（2）中众数平均数中位数D．图（3）中平均数中位数众数
5．已知三棱锥，，点，分别是棱，的中点，且，则异面直线
与所成的角是
A．B．C．D．
6．已知的三个内角，，的对边分别为，，．若，，且的面积为，
则
A．B．C．D．
7．已知的外接圆的圆心为，且，，则向量在向量上的投影
向量为
A．B．C．D．
8．已知圆锥的母线长为，过圆锥的顶点作圆锥的截面，若截面面积的最大值为，则该圆锥底面半径的取
值范围是
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符
合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．某影院连续天的观影人数（单位：百人）依次为，，，，，，，，，
，则下列关于这天观影人数的结论正确的是
A．众数为B．平均数为C．中位数为D．第百分位数为
10．若平面向量满足，则
A．B．与的夹角为
C．D．
11．如图，正方体的棱长为，是四边形内（包括边界）的一个动点，则下列
结论正确的是
A．当在线段上时，三棱锥的体积是定值
B．当是线段的中点时，的周长是
C．当是线段的中点时，三棱锥的外接球的体积是
D．当是棱的中点时，的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知向量与共线，则实数__________．
13．如图，在边长为的正方形中，点，分别是，的中点．将，，
分别沿，，折起，使，，三点重合于点．若三棱锥的顶点均在球的球面
上，则球的表面积为__________．
14．研究人员从某公司员工的体检数据中，采用比例分配的分层随机抽样的方法抽取10名女工员、20名男
员工的体重数据，计算得到10名女员工的平均体重为52（单位：kg），方差为6；20名男员工的平均体重
为64（单位：kg），方差为3．则这30名员工体重的平均数是__________，方差是__________．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）
已知复数，,是虚数单位．
（1）若复数是纯虚数，求的值；
（2）当时，复数是关于的方程的一个根，求实数，的值．
16．（15分）
从某次测试中随机抽取份测试卷进行成绩调查，发现抽取的测试卷的成绩分数都在之间，将抽取的测试卷按成绩分成六组：，，，，，，画出如图所示的频率分布直方图．
（1）求的值和抽取测试卷的成绩的第百分位数；
（2）对成绩在和的抽取测试卷，采用比例分配的分层随机抽样方法抽取份，再从这份测试卷中随机抽取份了解答题情况，写出这份测试卷所有可能结果构成的样本空间，并求这份测试卷成绩都在的概率．
17．（15分）
某高校“强基计划”自主招生的面试中有三道不同的题目，每位面试者依次作答．若答对两道题目，则面试通过，结束面试；若答错两道题目，则面试不通过，结束面试．已知李明答对第一道题目的概率为，答对第二道题目的概率为，答对第三道题目的概率为，假设每道题目是否答对是独立的．
（1）求李明第二次答题后结束面试的概率；
（2）求李明最终通过面试的概率．
18．（17分）
如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，是的中点，过点作交于点．
（1）若是的中点，过点作一个截面，使得该截面与平面平行，请画出截面，并写出作图过程（无需证明）；
（2）证明：平面；
（3）求二面角的余弦值．
19．（17分）
已知的三个内角，，的对边分别为，，，点是的外心．
（1）当时，求；
（2）对于任意的，，，，用向量方法证明不等式（当且仅当时，等号成立）；
（3）若，求 的最大值．
数学参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．C 2．C 3．A 4．D 5． A 6．B 7．B 8．C
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．BC 10． ACD 11． ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12． 13． 14．60；36（第一空2分，第二空3分）
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．【解】（1）由题可得，，且，解得或．
又，故．
（2）当时，，
代入关于的方程，得，
整理得，，
因为为实数，所以，
解得，故实数的值分别为4，13
16．（15分）
【解】（1）由频率分布直方图可得，，解得，．
又由频率分布直方图可得，[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的频率依次为：，
所以前4组的频率为，
前5组的频率为，
故第80百分位数在区间上，因此第80百分位数为．
（2）采用比例分配的分层抽样从[40，50）和[50，60）抽取5份测试卷，由于，
故成绩在[40，50）的测试卷中抽取数为，记作；
成绩在[50，60）的测试卷中抽取份数为，记作，
则从抽取的5份测试卷中随机抽取2份测试卷的所有可能构成的样本空间为：
，共有10个样本点，
设事件“这2份测试卷成绩都在[50，60）”，则，所以，从而．
因此，这2份测试卷成绩都在[50，60）的概率是．
17．（15分）
【解】设，表示“李明答对第道题目”，．
（1）设表示“李明第二次答题后结束面试”，
则，且，互斥．
因为每道题目是否答对是独立的，所以与．相互独立，与相互独立，
于是
．
（2）设表示“李明最终通过面试”，则且互斥，
所以
．
因此，李明最终通过面试的概率是．
18．（17分）（评分说明：若本题第（2）、（3）小问利用空间坐标法求解，不给分．）
【解】（1）如图，取的中点的中点，连接，
则截面与平面平行．
（评分说明：画出正确的截面图得2分，作图过程说明得2分，共4分．注意虚实线是否作图正确，若有错误，扣1分．）
（2）因为平面，平面，所以．
在矩形中，平面，平面，故平面．
又平面，故．
在中，，是的中点，所以，又，平面，
平面，故平面，
而平面，于是．
因为平面，平面，所以平面．
（3）由（2）知平面，于是，所以即为二面角的平面角．
在中，，故，从而．
在中，，故，从而．
又在中，，故由余弦定理得，
，
所以二面角的余弦值为．
19．（17分）
【解】（1）因为点是的外心，所以点在边的中垂线上．如图设点为线段的中点，
则为向量在向量上的投影向量，
设与的夹角为，所以．
（2）构造向量因为（其中为向量的夹角），
所以，
于是，
即
当且仅当，即或时，等号成立，此时与共线，有，
即，不等式得证．
（3）如图，令，由，
得，化简得．
由点是的外心可知，是三边中垂线的交点，故有，代入上式得，所以．
又是的外接圆的半径，故，于是有
，
由（2）结论可知，，故，
从而，于是，当且仅当时，等号成立，
因此的最大值为．