山东名校考试联盟2024-2025学年高二上学期期中检测数学试卷（解析版）

这是一份山东名校考试联盟2024-2025学年高二上学期期中检测数学试卷（解析版），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第I部分（选择题共58分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若直线l的方程为，则直线l的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意，在直线l：中，
斜率为，
对应直线的倾斜角为.
故选：B.
2. 给出下列关于空间向量的命题，其中正确的结论是（ ）
A. 若与所在的直线是异面直线，则与一定不共面
B. 非零向量，，满足与，与，与都是共面向量，则，，必共面
C. 两个非零向量，与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则
D. 与是平面上互不平行的向量，点，点，则与、一定不共面
【答案】C
【解析】对于A，任何两个向量，都是共面向量，所以A不正确；
对于B，可能是空间三个不共面的向量，如是空间直角坐标系中轴、轴、轴方向上的单位向量，满足题目条件，但是三向量不共面，所以B不正确；
对于C，三个不共面向量可以成为空间的一个基底，两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则与共线，所以C正确；
对于D，若与是平面上互不平行的向量，即与可以作为平面上的一组基底，点，点，
但是直线可以平行平面，此时与、共面，所以D不正确.
故选：C.
3. 圆：与圆：的位置关系是（ ）
A. 内切B. 外切C. 相交D. 外离
【答案】A
【解析】圆的圆心，半径为6，圆的圆心，半径为1，
所以，所以，两圆位置关系为内切，
故选：A.
4. 已知圆O：上有A，B两点，若满足，则（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】D
【解析】设、，线段的中点坐标为，
则，且∴，
即.
∵，两点在圆上，∴，，
又∵，∴.∴.
故选：D.
由题意可知，，
，则.
故选：D.
5. 在空间直角坐标系中，已知，，，，，若线段与平面交于点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】，，设平面法向量为，
由，可知，且，
令，则，
所以，为平面的一个法向量，
因为在线段上，
设，
所以，
由可得：
所以，，即，所以，
故选：B.
6. 已知直线：，其中m，n都是正实数，，下列结论正确的是（ ）
A. 当时，直线的一个方向向量为（1，0）
B. 当变化时，所对应的直线均过同一个定点
C. 当时，坐标原点（0，0）到直线的距离的最小值为
D. 所有直线组成的平面区域可覆盖整个直角坐标平面
【答案】C
【解析】对于A，当时，直线的方程为，即，平行于轴，直线的方向向量与平行，故A不正确；
对于B，当时，得，即；当时，得，
即，联立方程得，
则两直线交于点，当时，得，显然点不在直线上，此时三条直线交于一点不成立，故当变化时，所对应的直线均过同一个定点不成立，故B不正确；
对于C，当时，坐标原点到直线的距离，
而，则，故，即最小值为，故C正确；
对于D，由于点不满足方程，所以所有直线组成的平面区域不可能覆盖整个平面，故D不正确；
故选：C.
7. 直角坐标系中直线上的横坐标分别为，的两点、，沿轴将坐标平面折成大小为的二面角，若折叠后、两点间的距离是，则的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】直线上的横坐标分别为，的两点、的坐标分别为，，
如图为折叠后的图形，作轴于点，作轴于点，
则、的夹角为，又，，，
，，，
则
，解得，而，则.
故选：A.
8. 在平面直角坐标系中，第一象限内的动点，若点P在直线上，则的最小值为（ ）
A. B.
C. 1D.
【答案】B
【解析】如图，过点作点关于线段的对称点，则.

设，则有，解得，所以.
设第一象限内的点，则，所以，
而，，所以点到轴的距离为，
所以可视为线段上的点到轴的距离和到的距离之和.
过作轴，显然有，
当且仅当三点共线时，和有最小值.
过点作轴，则即为最小值，与线段的交点，
即为最小值时的位置.因为，所以的最小值为.
故选：B.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知是空间的一个基底，则下列向量共面的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】对于A，因为，所以共面，故A正确；
对于B，因为，所以共面，故B正确；
对于C，假设存在，，使得，
则，显然无解，所以不共面，故C错误；
对于D，因为，所以共面，故D正确.
故选：ABD.
10. 下列命题中正确的是（ ）
A. 过点，且在轴上的截距是在轴上截距的倍的直线方程为
B. 若，在直线的两侧，则的取值范围为
C. 若三条直线，，不能围成三角形，则实数的取值集合为
D. 过定点的直线截圆：所得的弦长为，则直线方程为和
【答案】BD
【解析】对于A，当直线过原点时，方程为时，也成立，所以A不正确.
对于B，显然直线经过定点，
故，
因为，，在直线的两侧，
则该直线与线段相交，且不过、两点，
由可知斜率为：，
所以或，即或，故B正确.
对于C，当直线与直线平行时，；
当直线与直线平行时，；
当三条直线交于同一点时，.
所以，若三条直线，，不能构成三角形，
则实数的取值集合为，故C不正确.
对于D，圆：，当直线斜率不存在时，直线方程为，
此时圆被直线截得的弦长为，符合题意.
当直线斜率存在时，设直线方程为，即
此时圆心到直线的距离，
所以，，此时直线的方程为，故D正确.
故选：BD.
11. 如图，内接于圆O，为圆O的直径，，，平面，E为的中点，若三棱锥的体积为2，则下列结论正确的有（ ）
A. 异面直线与所成角的余弦值为
B. 直线与平面所成的角的余弦值为
C. 点A到平面的距离为
D. 平面与平面所成的角的大小为
【答案】AC
【解析】∵为圆O的直径，且，，
∴为直角三角形，，
设，
由E为的中点可得，
解得，
以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间坐标系如下图所示：
，，，，，
则，，，，
对于A，易知，
所以异面直线与所成角的余弦值为，选项A正确；
对于B，设平面的法向量为，，即，
取，，
设与平面所成的角为，则，
选项B不正确；
对于C，点A到平面的距离为，选项C正确.
对于D，设平面的法向量为，，
则，即，取，
，，
所以平面与平面的夹角大小为90°，选项D不正确.
故选：AC.
第Ⅱ部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 如图，在长方体中，以点D为原点，，，所在的直线分别x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，若向量的坐标为，则向量的坐标为________.
【答案】
【解析】可设，，，依题意可得，，
则，所以，，，
则点，所以.
13. 嫁接是一种营养生殖方式，是植物的人工繁殖方法之一，即把一株植物的枝或芽接在另一株植物的茎或根上，使接在一起的两个部分长成一个完整的植株.已知某段圆柱形的树枝通过利用刀具进行斜辟，形成两个椭圆形截面，如图所示，其中，分别为两个微面椭圆的长轴，且A，C，B，D都位于圆柱的同一个轴微面上，是圆柱微面圆的一条直径，设上、下两个截面椭圆的离心率分别为，，若，，则的值是________.
【答案】
【解析】由题意可知，，
不妨设，则，，，如下图所示：
所以上、下截面椭圆的离心率分别为，，
所以.
14. 以坐标原点为圆心的圆与轴的负半轴交于点，直线与圆相交于、两点（其中点在轴的右侧），以为直径的圆与相交于、两点，若直线与的斜率互为倒数，且，则圆的方程为________.
【答案】.
【解析】如图所示，以为直径的圆与相交于、两点，显然，
直线：过圆心，所以，，而，
所以，，所以，直线与直线的倾斜角互补，即，
又因为与为圆的半径，所以△为正三角形，所以，
在△中，由正弦定理可得：，
故圆的半径为，即圆的方程为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知圆C过点，，圆心C在直线上.
（1）求圆C的标准方程.
（2）若M为y轴上的一个动点，过M作圆C的两条切线、，切点为A、B，求证：直线过定点.
解：（1）由，可得，的中点，，
所以，线段的中垂线斜率为1，所以线段的中垂线方程为：，
联立可得，圆心C点坐标为，圆C的半径，
所以圆C的标准方程为：.
（2）依题意，设点，因为、与圆C相切，连结、，可知，，

所以，，
所以，以M为圆心，以、为半径的圆的方程为：，
联立，两式作差并化简得直线的方程为：，
当时，，所以，直线过定点（3,0）.
另解1：依题意，设点，因为、与圆C相切，连结、，
可知，，，则点A，B在以为直径的圆上，
由点，可知为直径的圆的方程为，
联立，可得直线的方程为：，
当时，，所以，直线过定点（3，0）.
另解2：依题意，设点，，，
因为与圆C相切，则，
而，所以，即
整理得，
而，则，
因为与圆C相切，则，
而，所以，即
整理得，
而，则，
所以点A，B都在直线上，即直线的方程为：，
当时，，所以，直线过定点（3,0）.
16. 如图，N是三棱柱的棱的中点，
（1）若，求的值；
（2）若，，平面，点M在棱上，使，求的值.
解：（1） ，
而，则，，，
所以
（2）假设存在点，使，设，
.
由题意可知设，
又，，
则，，
因为，所以，
即，
∴
.
∴，即，解得，
即时，则.
17. 如图，在底面为正方形的多面体中，四边形为矩形，是线段的中点，且，，.
（1）求证：平面平面；
（2）若二面角的大小为，求的值；
（3）当取何值时，与平面所成的角最大?
（1）证明：如图，设，则是线段的中点，连接，
由得，
又矩形中，是线段的中点，则，，
所以为平行四边形，则，
因为四边形为矩形，则，故，
又，、平面，所以平面，
又平面，所以平面平面.
（2）解：因为平面，，则平面，且，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
因为，，是线段的中点，
则，，，，，，
从而，，，，
设平面的法向量为，则，
令，则，，
从而平面的一个法向量为，
易知平面的一个法向量为，
设二面角的平面角为，
则，
整理得，而，所以.
（3）解：由（2）可知，平面的一个法向量为，
设与平面所成的角为，
，
因为，当且仅当，即时等号成立，
则，
所以当时，与平面所成的角最大，最大为.
18. 已知长度为3的线段的两个端点M和N分别在x轴和y轴上滑动，点T满足.记点T的轨迹为曲线C.
（1）求曲线C的方程；
（2）直线与曲线C相交于A、B两点，点，若点恰好是的垂心，求直线的方程.
解：（1）设点，，，
由得，
解得，，即，，
由可得，
整理得，即曲线的方程为；
（2）因为为的垂心，故有，，

又，所以，
故设直线的方程为，
代入，可得：，
整理得，
由得，
设，则，，
由，得，，，
即，
所以，
所以，
化简得，
解得（舍去）或（满足），
故直线的方程为.
19. “曼哈顿几何”也叫“出租车几何”，是在19世纪由赫尔曼·闵可夫斯基提出来的.如图是抽象的城市路网，其中线段是欧式空间中定义的两点最短距离，但在城市路网中，我们只能走有路的地方，不能“穿墙”而过，所以在“曼哈顿几何”中，这两点最短距离用表示，称“曼哈顿距离”，也叫“折线距离”，即，因此“曼哈顿两点间距离公式”：若，，则.
（1）①点，，求的值；
②写出到定点的“曼哈顿距离”为2的点的轨迹方程，
（2）已知点，直线：，求点到直线的“曼哈顿距离”最小值；
（3）我们把到两定点，的“曼哈顿距离”之和为常数的点的轨迹叫“曼哈顿椭圆”.
（i）求“曼哈顿椭圆”的方程；
（ii）根据“曼哈顿椭圆”的方程，研究“曼哈顿椭圆”性质中的范围、对称性，并说明理由.
解：（1）①根据“曼哈顿距离”的定义得；
②到定点“曼哈顿距离”为2的点的轨迹方程为.
（2）设直线上任意一点坐标为，
则，
当时，，此时；
当时，，此时；
当时，，此时，
综上所述，的最小值为2.
（3）（ⅰ）设“曼哈顿椭圆”上任意一点为，则，
即，
即，
所以“曼哈顿椭圆”的方程为；
（ⅱ）由方程，得，
因为，
所以，即，
所以或或，
解得，
由方程，得，
即，
所以，所以，
所以“曼哈顿椭圆”的范围为，，
将点代入得，，
即，方程不变，
所以“曼哈顿椭圆”关于轴对称，
将点代入得，，
即，方程不变，
所以“曼哈顿椭圆”关于轴对称，
将点代入得，，
即，方程不变，
所以“曼哈顿椭圆”关于原点对称，
所以“曼哈顿椭圆”关于轴，轴，原点对称.