2024-2025学年云南省玉溪三中实验班高一（下）期末数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年云南省玉溪三中实验班高一（下）期末数学试卷（含答案），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.若复数3+ai1+i(a∈R,i为虚数单位)是纯虚数，则实数a的值为( )
A. −3B. −32C. 32D. 3
2.已知平面向量a,b满足|a|=|b|=2.若(a+ 2b)⋅a=0，则向量a,b的夹角为( )
A. 30°B. 45°C. 135°D. 150°
3.已知函数f(x)为定义在R上的奇函数，函数F(x)=f(x−1)+1，则F(12000)+F(22000)+F(32000)+⋯+F(39992000)=( )
A. 2000B. 1999C. 4000D. 3999
4.已知圆锥的底面半径为1，体积为π，则它的侧面积为( )
A. 2πB. 3πC. 10πD. 4π
5.某机构统计了一地区部分观众每周观看某一电视节目的时长(单位：分钟)情况，并根据样本数据绘制得到如图所示的频率分布直方图(分为[0,40)，[40,80)，[80,120)，[120,160)，[160,200)，[200,240)，[240,280]共七组)，则估计这些观众观看时长的35%分位数为( )
A. 136B. 135C. 116D. 125
6.如图，海中有一座小岛P，一艘游轮自东向西航行，在点A处测得该岛在其南偏西75°方向，游轮航行16海里后到达点B处，测得该岛在其南偏西45°方向.若这艘游轮不改变航向继续前进，则游轮到该岛的最短距离为( )
A. (8 3−8)海里B. (4 3−4)海里
C. (8 3+8)海里D. (4 3+4)海里
7.如图，正六棱柱ABCDEF−A1B1C1D1E1F1的底面边长为5，点M，N分别为线段E1E，E1D1的中点，若异面直线MN与B1C所成角的余弦值是14，则此正六棱柱的体积为( )
A. 375 32
B. 375 32或75 52
C. 75 52
D. 375 32或75 152
8.如图，扇形的半径为1，圆心角∠BAC=150°，点P在弧BC上运动，AP=λAB+μAC，则 3λ−μ的最小值是( )
A. 0B. 3C. 2D. −1
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设z1，z2是复数，则下列说法正确的是( )
A. 若z1⋅z2=0，则z1=0或z2=0B. 若z13∈R，则z1∈R
C. 若|z1|=|z2|，则z1⋅z1−=z2⋅z2−D. |z1−z2|= (z1+z2)2−4z1z2
10.以下选项正确的是( )
A. i=1n(xi−x−)=0
B. 事件A与事件B互为对立事件，则事件A与事件B一定互斥
C. 事件A与事件B相互独立，则事件A与事件B一定互斥
D. “掷2次硬币出现1个正面”的概率与“掷4次硬币出现2个正面”的概率不相等
11.如图，PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，点C是圆周上异于A，B的任一点，则下列结论中正确的是( )
A. PB⊥AC
B. PC⊥BC
C. 平面ABC⊥平面PAC
D. 平面PBC⊥平面PAC
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量a=(1,2)，b=(csθ,sinθ)，且a//b，则cs2θ=______．
13.从存放号码分别为1，2，3，⋯，10的卡片的盒子里，有放回地取100次，每次取一张卡片，并记下号码，统计结果如下：
取到号码为奇数的频率为______．
14.等腰梯形ABCD中，A=π6，|AB|=4，|CD|=1，底边AB的中点为O，动点P，Q分别在腰BC，AD(包含端点)上，且=2π3.若(OC+OD)//(λOP+μOQ)，其中λ，μ∈R，则4λ+5μ2λ+3μ的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
如图，四边形ABCD中，已知AB=6，BC=2，BC⋅BA=−6．
(1)若AC中点为M，求BM的长；
(2)若∠BCD=120°，设∠BDC=θ，
①用θ表示BD，并写出θ的取值范围；②若∠ADB=60°，求θ的值．
16.(本小题15分)
如图，四棱锥P−ABCD中，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，BC//AD，CD⊥AD，PC=AD=2DC=2CB=2，E为PD的中点．
(1)证明：CE//平面PAB；
(2)求直线CE与平面PAB间的距离．
17.(本小题15分)
我国是世界上严重缺水的国家，城市缺水问题较为突出.某市政府为了鼓励居民节约用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个合理的居民用水量标准x(单位：t)，月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费.为了了解全市居民用水量分布情况，通过抽样，获得了100位居民某年的月均用水量(单位：t)，将数据按照[0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．
(1)求频率分布直方图中a的值；
(2)若该市政府希望使90%的居民每月的用水量不超过标准xt，估计x的值，并说明理由．
(3)在100位居民中，第2组有n位居民，若这n位居民月均用水量的平均数为0.75t，方差为s2，若其中一位居民的用水量为0.75t，请判断其它(n−1)位居民月均用水量的方差s12与s2的大小关系，并说明理由.(参考公式：s2=1ni=1n(xi−x−)2)
18.(本小题17分)
如图，斜三棱柱ABC−A1B1C1中，AB⊥BC，四边形ABB1A1是菱形，D为AB的中点，A1D⊥平面ABC，BB1=2BC=2．
(1)求证：四边形CBB1C1为矩形；
(2)在A1C1上是否存在点Q，使得B1Q⊥平面A1DC，若存在，求出A1QQC1的值，若不存在，请说明理由；
(3)若E，F分别为AA1，AC的中点，求此斜三棱柱被平面B1EF所截的截面面积．
19.(本小题17分)
如图，AB是圆O的直径，AD垂直于圆O所在的平面，AB=2 3，AD=2，点C是圆O上不同于A，B的任意一点，E为BD的中点．
(1)证明：BC⊥平面ACD；
(2)若直线BD与平面ACD所成的角为30°，求二面角O−CE−B的余弦值；
(3)若点P为圆O(含圆周)内任意一点，它到点A的距离与到直线BD的距离相等，求三棱锥P−ABD体积的取值范围．
参考答案
1.A
2.C
3.D
4.C
5.B
6.A
7.D
8.D
9.AC
10.ABD
11.BCD
12.−35

14.[127,2111]
15.(1)∵AB=6，BC=2，BA⋅BC=−6，
由余弦定理得AC2=AB2+BC2−2⋅AB⋅BC⋅cs∠ABC=AB2+BC2−2⋅AB⋅BC=62+22+2×6=52，
∴AC= 52=2 13，
∴BM2=2(AB2+BC2)−AC24=2(36+4)−524=80−524=7，则BM= 7；
(2)①BDsin120∘=BCsinθ⇒BD=2⋅sin120°sinθ= 3sinθ，0°