2024-2025学年上海大学附中高一（下）期中数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年上海大学附中高一（下）期中数学试卷（含答案），共6页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.有下列命题：
①|a|与|b|是否相等与a，b的方向无关；
②两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；
③两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；
④单位向量都是共线向量．
其中正确说法的个数是( )
A. 0B. 1C. 2D. 3
2.要得到函数y= 2csx的图象，只需将函数y= 2sin(2x+π4)的图象上所有的点的( )
A. 横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，再向左平行移动π8个单位长度
B. 横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，再向右平行移动π4个单位长度
C. 横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平行移动π4个单位长度
D. 横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平行移动π8个单位长度
3.已知集合A={z|(a+bi)z−+(a−bi)z+2=0,a,b∈R,z∈C}，B={z||z|=1,z∈C}，若A∩B=⌀，则a、b之间的关系是( )
A. a2+b2>1B. a2+b21D. a+b0的解集为______．
6.函数y=sinxcsx的最小正周期是______．
7.在锐角△ABC中，若 3b=2asinB，则A等于______．
8.已知复数z=(a+2i)(1−2i)(a∈R)是纯虚数，则复数z的虚部为______．
9.已知复数z=3+ai1−2i(a∈R)满足|z|= 5，则a= ______．
10.已知a=(1,2),b=(t,3)，若a与b夹角为锐角，则t的取值范围为______．
11.设e1、e2是平面上两个不共线的向量，OA=2e1+ke2,OB=e1−e2,OD=3e1+2e2；若A，B，D三点共线，则k的值为______．
12.已知△ABC中，三边分别为a，b，c，所对角为A、B、C，若(a+b+c)(a+b−c)=3ab，则∠C= ______．
13.在△ABC中，D为BC中点，|AD|=10，|BC|=2，则AB⋅AC= ______．
14.如果tanα，tanβ是方程x2−3x−3=0的两根，则sin(α+β)cs(α−β)=______．
15.“向量”一词来自力学、解析几何中的有向线段.最先使用有向线段表示向量的是英国大科学家牛顿.已知平面向量a，b为单位向量，a⋅b=13.若平面向量c满足|c|=2|a|⋅|b|，则|a⋅c|+|b⋅c|的最大值是______．
16.对任意闭区间I，用mI表示函数y=sinx在I上的最小值.若正数a满足m[a,2a]=2m[2a,3a]，则a的取值集合为______．
三、解答题：本题共5小题，共50分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
已知函数f(x)=lga(x−1)，(a>1)．
(1)无论常数a为何值，f(x)均过一定点，写出此定点坐标；
(2)关于x的不等式f(x)>1的解集为A，且A⊂(4,+∞)，求实数a的取值范围．
18.(本小题8分)
平面内给定三个向量a=(3,2),b=(−1,2),c=(4,1)．
(1)求向量a在b上的投影的坐标；
(2)若a+kc//c−b，求实数k．
19.(本小题10分)
已知关于x的方程x2−kx+2=0，(k∈R)．
(1)若上述方程有虚数根，求实数k的取值范围；
(2)若上述方程的两根为x1，x2，且|x1−x2|=2，求实数k的值．
20.(本小题12分)
已知函数f(x)=sin2x+ 3sinx⋅csx．
(1)求出函数f(x)的单调增区间；
(2)当x∈[0,π4]时，求函数f(x)的最大值；
(3)若当x∈[0,π4]时，(a+2)f(x)≥2a+3恒成立，求实数a的取值范围．
21.(本小题12分)
给定函数fn(x)=cs(nx)，(n∈Z,n≥1)．
(1)直接写出f2(π3)−f3(π6)的值；
(2)若g(x)=f1(x)+f1(x+π2)+f2(x−π4)，求g(x)的值域；
(3)设ℎn(x)=|f1(x)|+|f2(x)|2⋯+|fn(x)|n，证明：对任意t>0，都存在实数a以及无穷多对正整数对(n,Mn)，使得|ℎn(a)−Mn|1，
可得x−1>a1⇒x>a+1．
因此解集 A=(a+1,+∞)．
若A⊂(4,+∞)，则(a+1,+∞)⊂(4,+∞)．
所以a+1≥4，解得a≥3，
故a的范围为{a|a≥3}．
18.(1)由a=(3,2),b=(−1,2),c=(4,1)，
可得向量a在b上的投影的坐标为：
a⋅b|b|2b=−3+45(−1,2)=(−15,25)；
(2)由题意，a+kc=(4k+3,k+2)，c−b=(5,−1)，
若a+kc//c−b，则存在t∈R，使得a+kc=t(c−b)，
即(4k+3,k+2)=t(5,−1)，
即4k+3=5tk+2=−t，解得k=−139．
19.(1)∵方程有虚数根，
∴Δ=k2−8