山东省临沂市部分县区2024-2025学年高二上学期学科素养水平监测（期中）数学试卷（解析版）

这是一份山东省临沂市部分县区2024-2025学年高二上学期学科素养水平监测（期中）数学试卷（解析版），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 向量，，若，则（ ）
A. B. ，
C. ，D. ，
【答案】C
【解析】由可得存在实数使得，
故，因此，
解得，，，
故选：C.
2. 过，两点的直线的倾斜角为，则等于（ ）
A. B. C. ，D. 1，2
【答案】A
【解析】依题意，，所以.
故选：A.
3. 点到直线的距离最大时，其最大值以及此时的直线的方程分别为（ ）
A. ；B. ；
C. ；D. ；
【答案】B
【解析】将直线变形得，
由，解得，因此直线过定点，
当时，点到直线的距离最大，
最大值为，又直线的斜率，
所以直线的方程为，即.
故选：B.
4. 已知点，点是圆上任意一点，则面积的最小值为（ ）
A. B. 9C. 5D. 6
【答案】D
【解析】由点，得直线，
圆的圆心，半径，
点C到直线的距离，
因此点P到直线距离的最小值为，
所以面积的最小值为.
故选：D.
5. 已知是直线的方向向量，是平面的法向量，若，则的关系式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由，得，则，所以.
故选：D.
6. 如图，在正方体中，，分别为棱和的中点，则和所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】在正方体中，设正方体棱长为2，
以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，
，
所以和所成角的余弦值为.
故选：B.
7. 已知为圆上任意一点，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】圆的圆心，半径，
依题意，，
可看作圆上任意一点与定点确定直线的斜率，
当直线与圆相切时，取得最大值或最小值，如图，
当直线切圆于点时，取得最大值，切圆于点时，取得最小值，
直线，，
直线的斜率，
所以的最小值为.
故选：D.

8. 已知椭圆的一个焦点为，点，是上关于原点对称的两点，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】椭圆的长半轴长，半焦距，
由椭圆的对称性，不妨令为右焦点，是左焦点，连接，又关于原点对称，
则四边形为平行四边形或为左右顶点，则，
由，则，
故，则，
而，所以.故选：D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知直线和直线，下列说法正确的是（ ）
A. 始终过定点B. 若，则或
C. 若，则或2D. 当时，经过第三象限
【答案】ACD
【解析】直线和直线，
对于A，直线过定点，A正确；
对于B，由，得，解得，B错误；
对于C，由，，解得或，C正确；
对于D，当时，直线的横截距为，纵截距为1，直线过第一、二、三象限，D正确.
故选：ACD
10. 如图，点是棱长为1的正方体的表面上一个动点，则（ ）
A. 当在平面上运动时，四棱锥的体积不变
B. 当在线段上运动时，与所成角的取值范围是
C. 若是的中点，当在底面上运动，且满足平面时，长度的最小值是
D. 使直线与平面所成的角为的点的轨迹长度为
【答案】ABC
【解析】对于A，底面正方形的面积不变，到平面的距离为正方体棱长，故四棱锥的体积不变，故A正确；
对于B，与所成角即与所成，为等边三角形，
当在端点，时，所成角最小，为，当在中点时，所成角最大为，故B正确；
对于C，所在的平面为如图所示正六边形，该正六边形的六个顶点分别为对应边的中点，边长为，
设中点为，中点为，此时当与中点重合时，取最小值，
此时，为顶角为的等腰三角形，故，故C正确．
对于D，由于在正方体表面，的轨迹为对角线，，以及以为圆心1为半径的圆弧如图，
故的轨迹长度为，故D错误；
故选：ABC．
11. 已知分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点且，直线与椭圆的另一个交点为，且，则下列结论正确的是（ ）
A. 椭圆的长轴长是短轴长的倍B. 线段的长度为
C. 椭圆的离心率是D. 的周长为
【答案】BD
【解析】，将代入椭圆方程可得，
由，可设，，
又，故
由可得，，
解得，，即,，
将的坐标代入椭圆方程，可得，
化为，即，故A错误；
，故B正确；
椭圆的离心率，故C错误；
由可得，故，
所以的周长为，
故D正确．
故选：BD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 设空间两个单位向量，与向量的夹角都等于，则等于______（，不重合）.
【答案】0
【解析】两个单位向量，与向量的夹角都等于，则，又，，
，而，，
由，得，若，则，此时，点重合，不符合题意，因此，，，所以.
13. 由曲线围成的图形的面积为_______________．
【答案】
【解析】当时，曲线 表示的图形为以为圆心，以为半径的圆在第一象限的部分，
所以面积为，
根据对称性，可知由曲线围成的图形的面积为
14. 定义离心率的椭圆为“西瓜椭圆”. 已知椭圆是“西瓜椭圆”，则______. 若“西瓜椭圆”的左焦点为，直线与椭圆交于，两点，以线段为直径的圆过点，则____________.
【答案】 9
【解析】椭圆是"西瓜椭圆"，
离心率，解得.

设，
联立消去并整理得
，
，即，
，
，易知，
以线段为直径的圆经过点，
，，
，，又，
代入上式并化简得，解得.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知的顶点，边上的高所在直线方程为，边上的中线所在直线方程为.求
（1）顶点的坐标；
（2）直线的方程.
解：（1）由于，且的直线方程为，
所以，故，
所以所在的直线方程为，即
由于边上的中线所在的直线的方程为，；
所以，解得；故点．
（2）设点,所以的中点的坐标满足；
由于点在直线上，
所以，整理得，
同时，；
故，解得；即点；
所以，
由点斜式可得直线的方程为，即,
16. 如图，在四棱锥中，底面满足，，底面，且，.
（1）求四棱锥的体积；
（2）求平面与平面夹角的余弦值.
解：（1）根据题意可得四棱锥的体积为：
；
（2）如图，以为原点，、、所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
，
可令平面的法向量，
又，
设平面的法向量，则，
取，则，得，
设平面与平面所的夹角为，则，
平面与平面的夹角的余弦值为．
17. 已知圆经过点和，并且圆心在直线上，
（1）求圆的标准方程；
（2）直线交圆于两点，若直线的斜率之和为0. 求证：直线的斜率是定值，并求出该定值.
解：（1）线段的中点，直线的斜率，
则线段中垂线方程为，即，
依题意，圆C的圆心在直线上，由，得点，
因此圆C的半径，
所以圆C的标准方程是：.
（2）设直线方程为：，由，
消去y并整理得：，
则有点，而直线：，
同理，
于是得直线的斜率，
所以直线的斜率是定值，该定值为.
18. 定义：由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”，如果两个椭圆的“特征三角形”相似，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将三角形的相似比称为椭圆的相似比. 已知椭圆:.
（1）若椭圆:，试判断与是否相似？如果相似，求出与相似比；如果不相似，请说明理由.
（2）写出与椭圆相似，且短半轴长为，焦点在轴上的椭圆的标准方程. 若在椭圆上存在两点，关于直线对称，求实数的取值范围.
解：（1）椭圆与相似.
如图，在同一平面直角坐标系中作出椭圆，，
椭圆的“特征三角形”是腰长为4，底边长为的等腰三角形，
而椭圆的“特征三角形”是腰长为2，底边长为的等腰三角形，
因此椭圆与椭圆的“特征三角形”的三边对应成比例，即两个“特征三角形”相似，且相似比为，
所以椭圆和相似，且相似比为.
（2）椭圆的“特征三角形”是等腰三角形，其腰长为长半轴长，底边长为焦距，
由椭圆与椭圆相似及（1）得，即，而椭圆的短半轴长为，
则，解得，，
所以椭圆的标准方程为，
设直线的方程为，，线段的中点为，
由消去并整理得，
则，即，，，
由的中点在直线上，得，解得，
因此，而，解得，
所以实数的取值范围是.
19. 如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，侧面是等边三角形，.

（1）证明：平面平面；
（2）求到平面的距离；
（3）设为侧棱上一点，四边形是过，两点的截面，且平面，是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为；若存在，求的值；若不存在，说明理由.
（1）证明：因为，，
，平面，则平面，
又平面，所以平面平面；
（2）解：取的中点，连接，因为是等边三角形，所以，
又平面平面，平面平面，平面，所以平面，
平面，，，
取的中点，连接，则，由，得，
所以两两垂直，
以为原点，，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，

因为，由勾股定理得，
所以，，，，，
，，，
设平面的法向量为，
则，
令，得，，则，
到平面的距离.
（3）解：连接，因为平面，平面平面，所以，
不妨设，则，，
设，则，
即，，，故，
同理可得，
则有，，
设平面的法向量为，
则，
解得，设，则，故，
所以，
化简得，解得或，
设，则，设，
则，解得，，，
故，当，，因为，
所以，化简得，
解得，满足要求，
当，，因为，
所以，化简得，
解得，满足要求.
故存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为，此时的值为或.