2024-2025学年甘肃省兰州五十八中高一（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年甘肃省兰州五十八中高一（下）期末数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数z=3+4i，其中i为虚数单位，则|z−|=( )
A. 25B. 3C. 5D. 5
2.如图所示，用符号语言可表达为( )
A. α∩β=m，n⊂α，m∩n=A
B. α∩β=m，n∈α，m∩n=A
C. α∩β=m，n⊂α，A⊂m，A⊂n
D. α∩β=m，n∈α，A∈m，A∈n
3.下列三角恒等变换错误的是( )
A. sin2x=2sinxcsxB. sin(x+π2)=csx
C. cs(x+π)=−csxD. tan(3π−x)=tanx
4.如图，在△OAB中，P为线段AB上的一点，且BA=4PA.若OP=xOA+yOB，则( )
A. x=34，y=14
B. x=23，y=13
C. x=13，y=23
D. x=14，y=34
5.已知向量a,b,c满足：|a|=|b|=1,|c|= 32，且a+b=2c，则a与c的夹角为( )
A. π6B. π3C. 2π3D. 5π6
6.如图，在平面四边形ACBD中，AB=2，BD= 2，∠ABD=∠ACD=π4，∠CAD=π3，则CD的长为( )
A. 1 B. 3
C. 6 D. 2 3
7.如图，为了测量某铁塔的高度，测量人员选取了与该塔底B在同一平面内的两个观测点C与D，现测得cs∠CBD= 33,CD=100 2米，在点C处测得塔顶A的仰角为30°，在点D处测得塔顶A的仰角为45°，则铁塔的高度为( )
A. 80米
B. 100米
C. 112米
D. 120米
8.已知某正三棱锥S−ABC的内切球与外接球的球心恰好重合，如果其内切球的半径为1，其外接球的体积为36π，那么这个三棱锥的表面积为( )
A. 24B. 24 3C. 48D. 48 3
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知i为虚数单位，复数z满足z(i−2)=i2022，则下列说法错误的是( )
A. 复数z的模为15B. 复数z的共轭复数为−25−15i
C. 复数z的虚部为15iD. 复数z在复平面内对应的点在第一象限
10.在△ABC中，A，B，C所对的边分别是a，b，c，B=60°，b=4，则( )
A. 若c=3 2，则角C有一个解
B. 若BC⋅BA=8，则AC边上的高为2 3
C. △ABC的周长不可能为11
D. 若△ABC为锐角三角形，则△ABC面积的最值范围为(8 33,4 3]
11.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1中E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点，则下列结论正确的是( )
A. 直线D1D与AF所成角的余弦值为13
B. 直线A1G与平面AEF平行
C. 点C与点G到平面AEF的距离相等
D. 平面AEF截正方体所得大小两部分的体积比为177
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知AB=(−1,2)，点C(2,0)，D(3,−1)，则向量AB在CD方向上的投影为______．
13.如图，AO⊥平面α，点O为垂足，BC⊂平面α，BC⊥OB，若∠ABO=π4，∠COB=π6，则cs∠BAC=______．
14.棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为棱CD的中点，过点E作平面a，使得平面a//平面AB1C，则平面a在正方体表面上截得的图形的周长为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知：f(α)=2cs2α−sin2α2(csα−sinα)．
(1)化简f(α)；
(2)若α是第二象限角，且sinα=35，求f(α+π6)．
16.(本小题15分)
如图，ABCD与ADEF均为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点．
(1)求证：BE//平面DMF；
(2)求证：平面BDE//平面MNG．
17.(本小题15分)
如图，在三棱锥S−ABC中，∠SAB=∠SAC=∠ABC=90°，SA=AB，SB=BC．
(Ⅰ)证明：平面SBC⊥平面SAB；
(Ⅱ)求二面角A−SC−B的平面角的正弦值．
18.(本小题17分)
设△ABC三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知C=π3，且2cs2A+4cs(B+C)+3=0．
(1)求角A的大小；
(2)如图，D是BC延长线上的一点，在△ABC的外角∠ACD内取一点P，使得PC=4.过点P分别作直线CA，CD的垂线PM，PN，垂足分别是M，N.设∠PCA=α，求PM+PN的最大值及此时α的取值．
19.(本小题17分)
如图1，四边形ABCD为菱形，∠ABC=60°，△PAB是边长为2的等边三角形，点M为AB的中点，将△PAB沿AB边折起，使PC=3，连接PD，如图2，

(1)证明：AB⊥PC；
(2)求异面直线BD与PC所成角的余弦值；
(3)在线段PD上是否存在点N，使得PB//平面MCN？若存在，请求出PNPD的值；若不存在，请说明理由．
答案解析
1.【答案】C
【解析】解：因为z=3+4i，所以z−=3−4i，故|z−|= 9+16=5．
故选：C．
求出z−=3−4i，进而利用模长公式求出答案．
本题考查复数的基本概念，考查复数模的求法，是基础题．
2.【答案】A
【解析】解：B中，直线n是集合，所以n⊂α，所以B不正确；
C中A点是元素，所以A∈m，A∈n，所以C不正确；
D中，错在n∈α，
故选：A．
由点是元素，直线是集合，可判断所给命题中的符号的正确用法．
本题考查点与直线，直线与平面的符号的应用，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】解：对于A，sin2x=2sinxcsx，正确；
对于B，sin(x+π2)=csx，正确；
对于C，cs(x+π)=−csx，正确；
对于D，tan(3π−x)=−tanx，错误．
故选：D．
对于A，利用二倍角的正弦公式即可判断；对于B，利用诱导公式即可判断；对于C，利用诱导公式即可判断；对于D，利用诱导公式即可判断．
本题考查了二倍角的正弦公式以及诱导公式的应用，属于基础题．
4.【答案】A
【解析】解：由BA=4PA可得BP=34BA，
所以OP=OB+BP=OB+34BA
=OB+34(OA−OB)=34OA+14OB，
∴x=34，y=14．
故选：A．
由已知，点P是线段BA的一个四等分点，得出BP与BA的关系，再由向量的线性运算即可求得x，y的值．
本题考查平面向量基本定理，属基础题．
5.【答案】A
【解析】解：根据题意，向量a,b,c满足：|a|=|b|=1,|c|= 32，且a+b=2c，
则有(a+b)2=4c2，即a2+2a⋅b+b2=4c2，则有2+2a⋅b=3，则a⋅b=12，
则a⋅c=12a⋅(a+b)=12(a2+a⋅b)=12×(1+12)=34，
故cs=a⋅c|a||c|=34 32= 32，
又由0≤≤π，则=π6．
故选：A．
根据题意，由a+b=2c可得(a+b)2=c2，变形可得a⋅b=12，结合a+b=2c和数量积的计算公式，求出cs的值，进而分析可得答案．
本题考查向量数量积的计算，涉及向量夹角的计算，属于基础题．
6.【答案】B
【解析】解：在△ABD中，AB=2，BD= 2，∠ABD=π4，
由余弦定理得：AD2=AB2+BD2−2AB⋅BDcsπ4=4+2−2×2× 2× 22=2，
所以AD= 2．
在△ACD中，由正弦定理得CDsin∠CAD=ADsin∠ACD，∠ACD=π4，∠CAD=π3，
即CD 32= 2 22，解得CD= 3．
故选：B．
在△ABD中，由余弦定理得AD的值，在△ACD中，由正弦定理得CD的大小．
本题考查正弦定理，余弦定理的应用，属于中档题．
7.【答案】B
【解析】解：根据题意，可得AB⊥BC，AB⊥BD，设AB=x，
Rt△ABC中，∠ACB=30°，可得BC=ABtan30∘= 3x，
Rt△ABD中，∠ADB=45°，可得BD=AB=x，
在△BCD中，cs∠CBD= 33，CD=100 2，
由余弦定理得CD2=BC2+BD2−2BC⋅BDcs∠CBD，
即3x2+x2−2 3x⋅x⋅ 33=(100 2)2，解得x=100，即铁塔的高度为100米．
故选：B．
设AB=x，结合题意用x表示出BC、BD，根据余弦定理建立关于x的方程，解之即可得到本题的答案．
本题主要考查余弦定理、解三角形及其应用，考查了计算能力、图形的理解能力，属于基础题．
8.【答案】B
【解析】解：由题意可知，点S在底面ABC内的射影点D为等边△ABC的中心，
取线段BC的中点E，连接AE，则AD=2DE，
易知三棱锥S−ABC的外接球球心O在线段SD上，
设正三棱锥S−ABC的外接球半径为R，则43πR3=36π，解得R=3，
设正三棱锥S−ABC的内切球的半径为r，则r=1，
故SD=R+r=3+1=4，
∵SD⊥平面ABC，AD⊂平面ABC，
∴SD⊥AD，
易知OA=R=3，则AD= OA2−OD2= R2−r2=2 2，
所以，DE=12AD= 2，
故AE=3 2，
所以，AB=AEsinπ3=2 6，
由勾股定理可得SA= SD2+AD2=2 6，
所以，正三棱锥S−ABC是边长为2 6的正四面体，
因此，正三棱锥S−ABC的表面积为4× 34×(2 6)2=24 3，
故选：B．
分析可知点S在底面ABC内的射影点D为等边△ABC的中心，取线段BC的中点E，连接AE，可知三棱锥S−ABC的外接球球心O在线段SD上，计算出SA、AC的长，可知三棱锥S−ABC是正四面体，确定该正四面体的棱长，结合三角形的面积公式可求得结果．
本题考查了几何体的内切球和外接球的问题以及锥体体积的计算，属于中档题．
9.【答案】ABC
【解析】【分析】先对已知进行化简求出z，然后结合复数的基本概念及复数的几何意义分别检验各选项即可判断．
本题主要考查了复数的四则运算及复数的概念及几何意义，属于基础题．
【解答】
解：z(i−2)=i2022=−1，
所以z=12−i=2+i5，
故|z|= 55，A错误；
z−=2−i5，B错误；
z的虚部为15，C错误；
复数z在复平面内对应的点(25,15)在第一象限，D正确．
故选：ABC．
10.【答案】BD
【解析】解：A选项，由正弦定理bsinB=csinC，即4sin60∘=3 2sinC，
则sinC=3 68> 22，又C∈(0,π)，故C有两个解，A选项错误；
B选项，由BC⋅BA=accsB=8，即ac=16，所以SΔABC=12acsinB=12bℎ，
即12×16× 32=12×4ℎ，解得ℎ=2 3，B选项正确；
由正弦定理asinA=bsinB=csinC，即a=8 33sinA′c=8 33sinC=8 33sin(A+60°)，
C选项，△ABC的周长为a+b+c=8 33sinA+4+8 33sin(A+60°)=8sin(A+30°)，
又0