高考数学精品讲义练习【一轮复习】微专题三　利用导数研究函数的零点

这是一份高考数学精品讲义练习【一轮复习】微专题三　利用导数研究函数的零点，共9页。
能利用导数判断函数零点的个数或范围，能根据函数的零点求参数的取值范围，理解零点的几何意义，体会函数图象在解决此类问题中的作用．
考点1 数形结合法研究函数的零点
【例1】 （2024·广东汕头三模节选）已知函数f(x)＝x(ex－ax2).若f(x)在(0，＋∞)上只有一个零点，求a的值．
【解】 函数f(x)＝x(ex－ax2)在(0，＋∞)上只有一个零点，等价于y＝ex－ax2在(0，＋∞)上只有一个零点．
设g(x)＝ex－ax2，则函数g(x)在(0，＋∞)上只有一个零点，当且仅当g(x)＝0在(0，＋∞)上只有一解，即a＝ eq \f(ex,x2)在(0，＋∞)上只有一解，于是曲线y＝ eq \f(ex,x2)(x>0)与直线y＝a只有一个公共点．
令φ(x)＝ eq \f(ex,x2)(x>0)，求导得φ′(x)＝ eq \f(ex(x－2),x3)，当00，
∴当x∈(0，1)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增，
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)0，得1≤x< eq \r(e)，
由g′(x) eq \f(1,e)时，f(x)的最小值大于0，此时f(x)没有零点；
当00，
x→＋∞时，f(x)→＋∞，此时f(x)有两个零点．
综上，当a≤0或a＝ eq \f(1,e)时，f(x)有一个零点；
当0 eq \f(1,e)时，f(x)没有零点．
利用函数性质研究函数的零点，主要是根据函数的单调性、奇偶性、最值或极值的符号确定函数零点的个数，此类问题在求解过程中可以通过数形结合的方法确定函数存在零点的条件．
【对点训练2】 （2024·广东梅州二模）已知函数f(x)＝ex，g(x)＝x2＋1，h(x)＝a sin x＋1(a>0).
(1)求证：当x∈(0，＋∞)时，f(x)>g(x)；
(2)讨论函数F(x)＝f(x)－h(x)在(0，π)上的零点个数．
解：(1)证明：令G(x)＝f(x)－g(x)＝ex－x2－1，则G′(x)＝ex－2x.
记p(x)＝ex－2x，则p′(x)＝ex－2，
当x∈(0，ln 2)时，p′(x)0，
所以p(x)在(0，ln 2)上单调递减，在(ln 2，＋∞)上单调递增，从而在(0，＋∞)上，G′(x)＝p(x)≥p(ln 2)＝2－2ln 2>0，
所以G(x)在(0，＋∞)上单调递增，
因此在(0，＋∞)上，G(x)>G(0)＝0，即f(x)>g(x).
(2)F(x)＝f(x)－h(x)＝ex－a sin x－1，F′(x)＝ex－a cs x.
若01－a≥0，
所以F(x)在(0，π)上单调递增，则F(x)>F(0)＝0，即函数F(x)在(0，π)上无零点；
若a>1，记q(x)＝F′(x)＝ex－a cs x，
则在(0，π)上，q′(x)＝ex＋a sin x≥0，所以q(x)在(0，π)上单调递增，
而q(0)＝1－a0，
故存在x0∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，使q(x0)＝0，
所以当0