安徽省亳州市2024_2025学年高二数学上学期第二次月考试题含解析

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2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，把答案填涂到答题卡上对应题目的标号下.如需改动，用橡皮擦干净后，再填写其他答案标号.写在本试卷上无效.
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
第Ⅰ卷
一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．）
1. 直线的倾斜角和斜率分别是（ ）
A. ，B. 、C. ，不存在D. 不存在，不存在
【答案】B
【解析】
【分析】根据直线方程可得出该直线的倾斜角和斜率.
【详解】由题意可知，直线的倾斜角为，斜率分别为.
故选B.
【点睛】本题考查利用直线的方程得出直线的倾斜角和斜率，属于基础题.
2. 用数字 组成三位数，各数位上的数字允许重复，则满足条件的三位数的个数为（ ）
A. 12B. 24C. 48D. 64
【答案】C
【解析】
【分析】先排百位，再排十位、个位，有分步乘法计数原理可得答案.
【详解】百位数字除有3个数字可选，十位数字有4个数字可选，
个位数字有4个数字可选，
所以满足条件的三位数的个数有个.
故选：C.
3. 已知直线，若，则实数 （ ）
A. 1B. 3C. 1或3D. 0
【答案】A
【解析】
【分析】根据直线平行公式求出参数m的值，验证是否重合.
【详解】因为，所以，
解得：或，
当时，，，两直线平行，满足题意，
当时，，，两直线重合，舍，
所以.
故选：A.
4. 若，，且与的夹角为钝角，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】令与共线，求出的值，依题意且与不反向共线，根据数量积的坐标表示得到不等式组求解即可.
【详解】因为，，
令与共线，则，即，即，解得，
此时，，即，与反向，
又与的夹角为钝角，
所以且与不反向共线，
即且，
解得且，
故选：C
5. 已知直线与两坐标轴分别交于两点，如果△的面积为，那么满足要求的直线的条数是（ ）.
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】
按照、分类，求出截距后列方程即可得解.
【详解】当时，直线，不合题意；
当时，
若，则，若，则，
所以，
所以或，
解得或或；
所以满足要求的直线的条数是3.
故选：C.
6. 数学竞赛中，某校有共6位同学获奖，在竞赛结束后站成一排合影留念时，假设两人必须相邻且站在正中间，两人不能相邻，则不同的站法共有（ ）
A. 48种B. 40种C. 32种D. 24种
【答案】C
【解析】
【分析】根据分步乘法计数原理，捆绑法，插空法求解即可.
【详解】第1步：先将相邻的进行“捆绑”排列，
首先排，由题意可将两人看作一个整体，先站到正中间，共有种站法；
第2步：将不能相邻的插入合适的位置进行排列，
其次再排，因为两人不能相邻，所以只能排到的两侧，
若在左侧，则有种站法，此时只能在右侧，有种站法，
共种站法，同理在的右侧，在左侧，有种站法，
故共有8种站法；
第3步：将剩下的进行排列并计算所求，
剩下的有种站法，所以不同的站法共有种．
故选：C.
7. 已知双曲线的左、右焦点分别为，过点与双曲线的一条渐近线平行的直线与另一条渐近线交于点，若点在焦点为的抛物线上，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据抛物线的焦点可得，再联立直线与渐近线的方程可得，再代入抛物线方程化简，结合离心率的公式求解即可
【详解】由题意得，由则，故，代入直线方程可得.
又抛物线，所以，故，由解得，所以
故选：C.
8. 设直线，一束光线从原点出发沿射线向直线射出，经反射后与轴交于点，再次经轴反射后与轴交于点.若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出入射点的坐标关于的表达式，根据三点共线解出点的坐标关于的表达式，同理求出点的坐标关于的表达式，求出即可.
【详解】如图，设点关于直线的对称点为，
则得，即，
由题意知与直线不平行，故，
由，得，即为入射点，
故直线的斜率为，
直线的直线方程为：，
令得，故，
令得，故由对称性可得，解得或，
若，则第二次反射后光线不会与轴相交，故不符合条件.
故，
故选：B.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. （多选题）下列说法中，正确的有（ ）
A. 已知直线：，始终过定点
B. 直线在轴上的截距是
C. 直线的倾斜角为30°
D. 过点并且倾斜角为90°的直线方程
【答案】ABD
【解析】
【分析】代入验证可判定A;根据纵截距的定义可判定B；根据直线的斜率与倾斜角的关系可以判定C；根据倾斜角为90°的直线斜率不存在，方程为的形式，进而可以判定D.
【详解】∵,可知A正确；
由直线的斜截式方程可知，B正确；
由方程可得直线的斜率为，可知倾斜角为60°，故C错误；
根据倾斜角为90°的直线斜率不存在，方程为的形式，再根据经过点(5,4),∴直线的方程为，故D正确.
故选：ABD.
10. 如图，在棱长为1的正方体中，点O为线段的中点，且点P满足，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，，则
B. 若，则平面
C. 若，，则平面
D. 若，时，直线与平面所成的角为，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】以D为原点，建立如图所示空间直角坐标系，得到，由，得到P点与C点重合，结合体积公式，可得判定A错误；求得平面的法向量，根据，可判定B正确；由，求得，可判定C正确；利用向量的夹角公式，求得，结合函数的单调性，可判定D正确.
【详解】连接，，，，，以D原点，建立如图所示空间直角坐标系，
如图所示，可得，，，，，
则，即，
对于A中，若，则，则P点与C点重合，
可得，所以A错误；
对于B中，若，则，，，，
设平面的法向量为，则，
取，可得，所以，
由于，可得，
因为平面，所以平面，所以B正确；
对于C中，若，则，，
由于，所以平面，所以C正确；
对于D中，若时，可得，所以，
则，
设，，则，，，
则，
由于函数（）在上单调递减，在上单调递增，
且，，，
所以，所以，，，，，
所以，所以，所以D正确.
故选：BCD.
11. 已知为双曲线的右焦点，经过点的直线交的两条渐近线于两点，为坐标原.若，则以下说法正确的是（ ）
A. 是的角平分线B.
C. 两条渐近线夹角的余弦值为D. 双曲线的离心率为
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据双曲线渐近线的性质、角平分线定理、余弦定理、二倍角公式以及离心率等知识对选项进行分析，由此确定正确选项.
【详解】根据双曲线渐近线的对称性可知A选项正确.
B选项中，因为在中，OF为的平分线，
所以，所以，所以B选项正确.
C中，设，则，
由余弦定理得，
所以C选项错误.
D中，因为，
所以，即，所以，
所以D选项正确.
故选：ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知三角形的三个顶点，，，则的高CD所在的直线方程是______.
【答案】
【解析】
【分析】先求，从而得到边上的高所在的直线的斜率，根据点斜式可写出直线方程.
【详解】因为，，故，
故边上的高CD所在的直线的斜率为，所以该直线的方程为，即
故答案为：.
13. 某校学生会打算将甲､乙､丙､丁､戊这5名同学安排到4个不同的社团负责组织活动，每个社团至少安排一名同学，则不同的安排方法种数是___________.
【答案】240
【解析】
【分析】根据组合求得5人分为4组的方法数，再根据排列求得4个不同的小组安排到4个不同的社团的方法数，可得答案.
【详解】先将甲､乙､丙､丁､戊这5名同学分为4组，共有种，
再安排到4个不同的社团负责组织活动，共有种不同的安排方法.
故答案为：240.
14. 已知点是抛物线上的一点，点是的焦点，动点，在上，且，则的最小值为______.
【答案】11
【解析】
【分析】由题意作图，根据已知点求得抛物线方程，设出直线方程，联立方程，写出韦达定理，利用斜率表示所求代数式，可得答案.
【详解】
因为点是抛物线上的一点，所以，解得，所以.
显然直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为，
由，得，所以，解得，
所以，同理可得，
所以，
所以的最小值是11，此时，解得.
故答案为：.
四、解答题：本题共5题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知坐标平面内两点.
（1）当直线的倾斜角为锐角和钝角时，分别求出的取值范围；
（2）若直线的方向向量为，求的值.
【答案】（1）答案见解析．
（2）
【解析】
【分析】（1）由斜率为正或为负求解；
（2）由坐标得方向向量，然后利用向量共线得结论．
【小问1详解】
直线的倾斜角为锐角时，，解得，
直线的倾斜角为钝角时，，解得或，
所以直线的倾斜角为锐角时，，为钝角时，或；
【小问2详解】
由已知，又直线的方向向量为，
所以，解得．
16. 计算下列各式．
（1）；
（2）；
（3）解方程：.
【答案】（1）480 （2）16
（3）或
【解析】
【分析】（1）利用排列数公式求解；
（2）利用排列数公式求解；
（3）利用组合数公式求解.
【小问1详解】
；
【小问2详解】
；
【小问3详解】
因为，由可得或，
解得或.
17. 已知圆：.若直线：与圆相交于A，B两点，且.
（1）求圆的方程；
（2）请从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为点的坐标，求过点与圆相切的直线的方程.
①；②.
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分
【答案】（1）
（2）①或；②
【解析】
【分析】（1）根据圆的几何性质，通过点到直线距离公式得出圆心到直线的距离，再根据弦长与勾股定理即可计算出圆的半径，继而得到圆的方程.
（2）①根据切线切点到圆心距离等于圆的半径，用点斜式表示出直线的方程，利用点到直线的距离公式即可求出斜率得出直线方程；②根据切线与过切点的半径与其垂直，即可得出该斜率继而得出直线方程.
【小问1详解】
如图所示，过圆心O做垂直于AB的垂线交AB于C点，
根据点点到直线距离公式：，，
根据勾股定理：，
得圆的方程：
【小问2详解】
选①：
由（1）可知点在圆外，若切线斜率不存在， ，由图可知为过点P与圆相切的直线的方程；
若斜率存在，根据点斜式设直线的方程为，整理为一般式，
因为直线与圆相切，则，解得，
直线的方程为：，
综上所述过点与圆相切直线的方程为或.
选②：由（1）可知点在圆上，的直线方程为，
则过点与圆相切的直线与垂直，斜率为
根据点斜式设直线的方程为，整理为一般式.
18. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，是的中点．
（1）求证：平面．
（2）求平面与平面夹角的余弦值．
（3）在棱上是否存在一点，使直线平面？若存在，求出线段的长；若不存在，说明理由．
【答案】（1）证明见解析；
（2）；
（3）存在，.
【解析】
【分析】（1）在平面中，构造与平行的直线，即可由线线平行推出线面平行；
（2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得平面与平面的法向量，利用向量的数量积求平面的夹角即可；
（3）设，用参数表示，根据与平面的法向量平行，即可求得，进而求得的长度.
【小问1详解】
证明：连接，交于点，连接．
因为是的中点，是的中点，
所以，又平面平面，
所以平面．
【小问2详解】
如图，以的方向分别为，，轴的正方向建立空间直角坐标系，
即，则．
设平面的法向量为，则
令，得，所以可取．
易知平面的一个法向量为．
设平面和平面的夹角为，
则，
所以平面和平面夹角的余弦值为．
【小问3详解】
由（2）知，
则，
．
由（2）知平面的一个法向量可为，
根据题意可得：，即，解得，
又当时，，，则BF的长为．
综上所述，棱上存在一点，使直线平面，且BF的长为.
19. 已知椭圆分别为椭圆的左、右顶点，分别为左、右焦点，直线交椭圆于两点(不过点).
（1）若为椭圆上（除外）任意一点，求直线和的斜率之积.
（2）若，求直线的方程；
（3）若直线与直线的斜率分别是、，且，求证：直线过定点，并求出此定点.
【答案】（1）
（2）
（3）证明见解析，恒过定点
【解析】
【分析】（1）设点，直接计算，结合点在椭圆上化简即得；
（2）设，由向量线性运算的坐标表示得出，再利用在椭圆上，可求出（或）的坐标，然后可得直线方程；
（3）设，易知直线的斜率不为，设其方程为（），直线方程椭圆方程整理后应用韦达定理得，把它代入可求得的确定值，从而得定点坐标．
【小问1详解】
在椭圆中，左、右顶点分别为，
设点，则 .
【小问2详解】
设，由已知可得，，
由得，化简得，
代入可得，
联立解得，
由得直线过点，，
所以，所求直线方程为.
小问3详解】
设，易知直线的斜率不为，设其方程为（），
联立，可得，
由，得.
由韦达定理，得.，.
可化，
整理即得，
，由，
进一步得，化简可得，解得，
直线的方程为，恒过定点.
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的直线过定点问题，一般可设直线与圆锥曲线的交点为，设出直线方程为或，直线方程代入圆锥曲线方程后化简整理后应用韦达定理得（或），代入题中关于交点的其他条件化简可得出（或）的关系，从而得出定点坐标．