福建省福州第一中学2025届九年级下学期期中考数学试卷(含解析)

这是一份福建省福州第一中学2025届九年级下学期期中考数学试卷(含解析)，共20页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列实数中，（ ）是无理数
A．B．C．D．0
2．杨絮纤维的直径约为米，数据用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
3．如图是由一个圆柱体和一个长方体组成的几何体，则它的俯视图是（ ）
A．B．
C．D．
4．如图，直线，相交于点，，若，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
5．下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
6．为丰富初中生假期生活，学校组织学生参加“社会实践、环境调查、职业体验”三种活动，小丽和小莹从中随机选择一个活动参加，两人恰好选择同一活动的概率是（ ）
A．B．C．D．
7．如图，都是的半径，交于点D．若，，则半径的长为（ ）
A．4B．6C．8D．10
8．某校为响应阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆128人次，进馆人次逐月增加，三个月累计进馆608人次，若进馆人次的月平均增长率相同．若设进馆人次的月平均增长率为，则根据题意，可列方程是（ ）
A．B．
C．D．
9．已知二次函数（为常数，且），当时，函数的最小值为，则的值为（ ）
A．4B．3C．2D．1
10．如图，在正方形中，点为上一点，将正方形沿所在直线折叠后，点的对应点恰好落在边的垂直平分线上．则下列选项中与最接近的是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
11．因式分解： ．
12．不等式的解是 ．
13．若数据1，1，3，，2的平均数是2，则中位数是 ．
14．如图，已知，矩形中，，，则矩形的面积为 ．
15．已知点均在反比例函数（k为常数，且）的图象上，则的值为 ．
16．如图，抛物线与x轴的另一个交点为A，现将抛物线向右平移个单位长度，所得抛物线与x轴交于C，D，与原抛物线交于点P，设的面积为S，则S可用含m的式子表示为
三、解答题
17．计算：．
18．如图，、是平行四边形的对角线上的点，．求证．
19．解方程：．
20．某学校制作了甲、乙、丙三个简易机器人，为了从中推选一个参加市级比赛，教师评委从“运动、感知、协同”三种能力的表现进行打分，得到如下统计表（单位：分），200名学生评委进行投票推荐，每人选择其中一个，得到扇形统计图．
教师评委量化统计表
(1)求学生评委投给甲和乙两个机器人的票数分别是多少？
(2)丙成绩明显最低，现要从甲、乙两个机器人中选择参加比赛，你认为推选哪个？为什么？
21．某种玻璃原材料需在0℃环境保存，取出后匀速加热至600℃高温，之后停止加热，玻璃制品温度会逐渐降低至室温30℃，加热和降温过程中可以对玻璃进行加工，且玻璃加工的温度要求不低于480℃玻璃温度（C）与时间（min）的函数图象如下，降温阶段与成反比例函数关系，根据图象信息，
回答下列问题：
(1)玻璃加热速度为 ℃/min；
(2)求能够对玻璃进行加工的时长；
22．如图，与的边相切于点C，与边分别交于点D、E，，是的直径．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求的长．
23．已知函数图象上有一点，
(1)若该函数图象与轴有唯一交点，且，求证：；
(2)若点也在该函数图象上（与点不重合），利用轴对称的定义证明：函数与函数的图象关于轴对称．
24．几名同学在玩一个藏宝图寻宝游戏，藏宝图中的正方形代表一个边长为的藏宝区域（包括边界），寻宝的密码由一组数字组成，．这三个数字分别代表着正方形边上的点、、．数字的大小为从点出发，按照的路径走到其所代表的点的路程．而寻找的宝藏所在的位置即为到，，三点距离相等的点．若该点不存在或在藏宝区域之外，则该密码无效，否则该密码有效．例如，某次游戏中密码为，则点即为到，，三点距离相等的点，即正方形的中心，
(1)若为线段中点，、分别与点、重合，请直接写出对应的密码，并使用无刻度的直尺和圆规在图1中找出点的位置；
(2)求证：当密码有效时，；
(3)某局游戏寻宝密码为，求密码有效时的最小值．
25．如图1在中，，，、边上的高、交于点．
(1)求的值；
(2)点是三角形外接圆的圆心，判断到的距离与的关系，并证明；
(3)如图2，是线段上的动点，连接，，若上的点满足，求的最小值．
《福建省福州第一中学2024-2025学年下学期九年级期中考数学试卷》参考答案
1．B
解：A．是有限小数，属于有理数，故不符合题意；
B．是无理数，故符合题意
C．是分数，属于有理数，故不符合题意；
D．0是整数，属于有理数，故不符合题意．
故选：B．
2．A
解：；
故选：A
3．C
解：根据主视图可以发现，俯视图的形状应该是一个长方形中含有一个圆形，即：

故选：C．
4．A
解：，，
，
直线，相交于点，
和互补，
．
故选：．
5．C
解：A、，原运算错误，不符合题意；
B、，原运算错误，不符合题意；
C、，正确，符合题意；
D、，原运算错误，不符合题意；
故选：C．
6．B
解：画树状图为：（用A、B、C分别表示“社会实践、环境调查、职业体验” 三种活动）
共有9种等可能的结果数，其中两人恰好选择同一活动的结果数为3，
所以两人恰好选择同一活动的概率=．
故选B．
7．D
解：∵，
∴点为的中点，
∵，
∴，
由勾股定理得，，
故选：D．
8．D
解：设进馆人次的月平均增长率为，
则根据题意，可列方程是，
故选：D．
9．D
解：将二次函数解析式化为顶点式，即（为常数，且），
则该二次函数图像的对称轴为，且开口向上，
∵当时，函数的最小值为，
，
解得，
故选：D．
10．B
解：设正方形的边长为，
四边形为正方形，
,，
垂直平分线线段，
，，
四边形是矩形，
，
由折叠性质得，，
在中，，
，
，
，，，，
在、、、中，与最接近的是，
故选：B．
11．
解：；
故答案为：
12．/
解：
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：，
故答案为：．
13．2
解：根据题意，得，
解得，
将这组数据从小到大排列：1，1，2，3，3，
则中位数为2．
故答案为：2．
14．
解：∵四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴矩形的面积，
故答案为：．
15．
∵点均在反比例函数（k为常数，且）的图象上，
∴，
∴，，
∴．
故答案为：．
16．
解：如图，作轴于H，
设，
令，则，解得：，，
∴，
∵，且，
∴，
∴，
∴，
把代入，得，
∵，
∴．
故答案为：．
17．．
解：
．
18．见解析
证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
19．X=2
方程两边同时乘以得，
，
解得：．
检验：当时，，
故是原分式方程的解．
20．(1)甲票，乙票
(2)乙，见解析
（1）解：学生评委投给甲的票数：（票），
学生评委投给乙的票数：（票）；
（2）甲总成绩：（分），
乙总成绩：（分），
，
推选乙参加比赛．
21．(1)150
(2)
（1）解：
故答案为：150
（2）解：由题可得，在反比例函数图象上，
设该反比例函数的表达式为，
将点代入，得，
玻璃温度下降时，与的函数表达式是．
由题图可设玻璃温度上升时的函数表达式为，
点在该正比例函数图象上，代入点可得，，
玻璃温度上升时，与的函数表达式是．
将代入，得，
将代入，得，
，
能够对玻璃进行加工的时长为．
22．(1)见解析
(2)
（1）证明：连接，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴垂直平分CD，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵是切线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵是半径，
∴是的切线；
（2）解：∵是切线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
∴，
设，
∵，
∴，
解得或（舍去），
∴，
∴，
∵是的切线，
∴，
设，
在中，，
∴，
解得，
∴，
故的长为6．
23．(1)见解析
(2)见解析
（1）∵函数图象上有一点，，
∴
∵该函数图象与轴有唯一交点
∴
∴
∴将代入得，
整理得，
∴
∴；
（2）∵函数与函数的二次项系数都为1
∴都开口向上，形状相同
∵点也在函数图象上（与点不重合），
∴点和点关于对称轴对称
∴
∴
∵函数的图象的对称轴为直线
∴函数与函数的图象的对称轴关于y轴对称
∴函数与函数的图象关于轴对称．
24．(1)见解析
(2)见解析
(3)
（1）解：如图所示，点P即为所求；
（2）证明：∵点P到R、S、T三点的距离相等，
∴点P是线段的垂直平分线和线段的垂直平分线的交点，
∴与不能平行或者在同一直线上，
∴T、S、R不能处在正方形的同一条边上，
∵，
∴要保证T、S、R不能处在正方形的同一条边上，
∴；
（3）解：∵要使最小，
∴在满足密码有效的情况下，的值都应该尽量最小，
∴当S在上，T在上时此时存在最小值，
如图3-1和图3-2所示，当S固定时，若t的值增大，那么线段的垂直平分线和线段的垂直平分线的交点会逐渐下移，
∴当线段的垂直平分线和线段的垂直平分线的交点恰好在上时，此时才会有最小值（S固定）；
如图3-3所示，设线段的垂直平分线交线段的垂直平分线于H，且点H在上，连接，则，
∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴；
∵某局游戏寻宝密码为，
∴，
∴，
∴，；
在中，由勾股定理得，
在中，由勾股定理得，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴当时，有最小值，最小值为．
25．(1)
(2)，证明见解析
(3)
（1）解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴在中，．
（2）解：，证明如下：
如图，过点作于点，
∵，，
∴垂直平分，
又∵点是三角形外接圆的圆心，
∴点在上，垂直平分，
∴点到的距离，，
由（1）得：，，，
∴，
∴，
∵在中，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
（3）解：如图，作于点，
由（2）得，，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，
∴当取得最小值时，取得最小值；
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
设，则，，
∴，，
∴，
令，则，且，
∴
，
当，即时，有最小值，最小值为，
∴的最小值为，
∴的最小值为．
组别
运动
感知
协同
甲
85
88
90
乙
88
83
82
丙
83
80
80