2024-2025学年安徽省宣城市高二（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年安徽省宣城市高二（下）期末数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A={0,1,2,3,4}，B={x|x≥1+ 3}，则A∩B=( )
A. {x|−1≤x≤3}B. {0,1,2,3}C. {1,2,3}D. {3,4}
2.复数z=21+i的共轭复数是( )
A. −1+iB. 1+iC. 1−iD. −1−i
3.已知向量a=(−1, 3),|b|=2 3,a⋅(a−2b)=16，则向量a与b的夹角为( )
A. π3B. π6C. 5π6D. 2π3
4.已知 3sinα+csα=2，则tanα=( )
A. 33B. 3C. − 33D. − 3
5.若正四棱台的侧棱长为 11，上，下底面边长分别为2和4，则该四棱台的体积是( )
A. 12B. 28C. 32D. 48
6.等差数列{an}前n项的和为Sn，已知am−1+am+1−3am2=0，S2m−1=383，则m=( )
A. 7B. 8C. 9D. 10
7.(x2+2x+y)5的展开式中，x5y2的系数为( )
A. 30B. 40C. 60D. 120
8.已知f(x)是定义在R上的偶函数，且对∀x∈R，都有f(1+x)=−f(1−x)，当x∈[0,1]时，f(x)=x2+x−2，则下列结论正确的是( )
A. f(x)是以2为周期的函数
B. f(2021)+f(2022)=−2
C. 函数y=f(x)−lg2(x+1)有4个零点
D. 当x∈[3,4]时，f(x)=x2−9x+18
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某中学高三年级学生参加体育测试，其中物理类班级女生的成绩X与历史类班级女生的成绩Y均服从正态分布，且X～N(75,81)，Y～N(75,64)，则( )
A. E(X)=75B. D(Y)=8
C. P(XP(Y≤91)
10.已知点F是抛物线y2=8x的焦点，AC，BD是过点F的弦且AC⊥BD，直线AC的斜率为k，k>0，且A，B两点在第一象限，则( )
A. OB⋅OD=−12
B. 四边形ABCD面积的最小值为64
C. 1|AC|+1|BD|=18
D. 若|AF|⋅|CF|=64，则直线BD的斜率为− 3
11.已知函数f(x)=x3−ax2+a−1，则( )
A. 当a=−3时，f(x)的对称中心为(−1,2)
B. 若函数f(x)在x∈R上递增，则a=0
C. 函数f(x)的图像过定点
D. 若f(x)的极大值与极小值互为相反数，且a∈N，则a=3
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.曲线f(x)=lnx+2x−1在点P(1,1)处的切线方程为______．
13.已知{an}是各项均为正数的等比数列，a1+a2+a3+a4+a5+a6=18，a1a2a3a4a5a6=8，则1a1+1a2+1a3+1a4+1a5+1a6= ______．
14.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与双曲线C的右支相交于点P，分别过点O，F2作直线PF1的垂线，垂足分别为N，M，且M为线段PN的中点，|ON|=a，则此双曲线的离心率为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
为考察某种药物预防疾病的效果，进行动物试验，得到如下列联表：
单位：只
(1)依据α=0.05的独立性检验，能否认为药物有效？
(2)为进一步研究该药物对预防此疾病的效果，现从服用该药物的10只动物(其中未患病3只，患病7只)中随机抽取2只，用随机变量X表示未患病的动物只数，求随机变量X的分布列与数学期望．
参考公式：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d．
16.(本小题15分)
已知△ABC的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2a+acsB− 3bsinA=0．
(1)求B；
(2)△ABC的边AC上的高为2 3，5sinA=3sinC，求△ABC的周长．
17.(本小题15分)
在四棱锥P−ABCD中，PD⊥平面ABCD，AD=1，PD=AB=2，DC=CB= 3，∠BAD=∠BCD=θ.(00)的离心率为 32，A，B分别为椭圆的左，右顶点，C为椭圆的上顶点，且CA⋅CB=−3．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点E(1,0)作斜率不为0的直线交椭圆于M，N两点，直线MA与NB相交于点P．
(i)证明：点P在定直线上；
(ii)求∠APB的最大值．
19.(本小题17分)
已知a>0且a≠1，函数f(x)=ax+ln(1+x)−1．
(1)设an=f(n)−ln(n+1)+n，n∈N∗，Sn为数列{an}的前n项和，当a=2时，求S100；
(2)当a=1e时，证明：xf(x)≥0；
(3)当a>1e且a≠1时，讨论函数f(x)的零点个数．
答案解析
1.【答案】D
【解析】解：集合A={0,1,2,3,4}，B={x|x≥1+ 3}，则A∩B={3,4}．
故选：D．
结合交集的定义，即可求解．
本题主要考查交集的运算，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：z=21+i=2(1−i)(1+i)(1−i)=2(1−i)2=1−i，
则共轭复数z−=1+i，
故选：B．
根据复数运算法则进行化简，结合复数共轭复数的定义进行求解即可．
本题主要考查复数共轭复数的求解，结合复数的运算法则进行化简是解决本题的关键．比较基础．
3.【答案】C
【解析】解：由已知条件得：|a|= 1+3=2，
由|b|=2 3，且a⋅(a−2b)=16，
所以a2−2a⋅b=16，所以a⋅b=−6，
设向量a与b的夹角为θ，θ∈[0,π]，csθ=−62×2 3=− 32，
所以θ=5π6．
故选：C．
根据数量积运算律计算得出a⋅b，再应用夹角余弦公式计算求解．
本题考查的知识点：向量的坐标运算，向量的数量积，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
4.【答案】B
【解析】解：由 3sinα+csα=2，可得 3sinα=2−csα，
两边平方得3sin2α=4−4csα+cs2α，即3(1−cs2α)=4−4csα+cs2α，
整理得4cs2α−4csα+1=0，即(2csα−1)2=0，解得csα=12，
所以 3sinα=2−csα=32，解得sinα= 32，tanα=sinαcsα= 3．
故选：B．
将已知等式移项、平方，结合同角三角函数的平方关系化简得(2csα−1)2=0，解得csα=12，进而求出sinα= 32，再根据同角三角函数的商数关系求出答案．
本题主要考查同角三角函数的基本关系，考查了计算能力，属于基础题．
5.【答案】B
【解析】解：因为四棱台的上，下底面边长分别为2和4，
所以上下底面正方形的外接圆的半径分别为 2，2 2，又正四棱台的侧棱长为 11，
所以正四棱台的高为 ( 11)2−(2 2− 2)2=3，
所以该四棱台的体积是13×(4+16+8)×3=28．
故选：B．
根据正四棱台的体积公式，即可求解．
本题考查正四棱台的体积的求解，属基础题．
6.【答案】D
【解析】解：由等差数列的性质，知am−1+am+1−3am2=2am−3am2=0，
所以am=0或am=23，
因为S2m−1=(2m−1)am=383，所以am=23，且m=10．
故选：D．
根据等差数列的性质进行化简求值．
本题主要考查等差数列的性质，属于中档题．
7.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了二项式定理的灵活运用，将三项分解成二项，利用通项公式依次分解，即可求解其系数，属于中档题．
将三项分解成二项，(x2+2x+y)5=[(x2+2x)+y]5利用通项公式求解展开式中x5y2的项，即可求解其系数．
【解答】
解：由(x2+2x+y)5=[(x2+2x)+y]5，
通项公式可得：Tr+1=C5r⋅(x2+2x)5−r⋅yr；
∵要求x5y2的系数，
故r=2，此时(x2+2x)3=x3⋅(x+2)3,
其对应x5的系数为：C32⋅21=6．
∴x5y2的系数为：C52×6=60．
故答案选：C．
8.【答案】D
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，因为f(1+x)=−f(1−x)，且f(x)为偶函数，
所以f(x+1)=−f(x−1)，所以f(x+2)=−f(x)，
所以f(x+4)=−f(x+2)=f(x)，所以f(x)的周期为4，故A错误；
对于B，由于f(x)周期为4，则f(2021)=…=f(1)=0，f(2022)=…=f(2)=−f(0)=2，
所以f(2025)+f(2026)=2，故B错误；
对于C，令y=f(x)−lg2(x+1)=0，可得f(x)=lg2(x+1)，
作函数y=lg2(x+1)和y=f(x)的部分图象如下图所示：
由 lg232a3或x