2024-2025学年河南省天一大联考高一（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年河南省天一大联考高一（下）期末数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.若向量a=(x,3)，b=(9, 3)，且a//b，则x=( )
A. − 33B. 33C. −9 3D. 9 3
2.已知集合A={−3,0,3}，B={x|x2=2x}，则A∪B=( )
A. {0}B. {−3,0,2,3}C. {−3,2,3}D. {−3,−2,0,3}
3.已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=−x2+3，则lg3[f(0)+f(−3)]=( )
A. 1+lg32B. 2+lg32C. 1D. 2
4.某校学生会随机抽查了本校100名学生的身高(单位：cm)，将得到的数据按[150,160)，[160,170)，[170,180)，[180,190]分为4组，画出如图所示的频率分布直方图，则估计这100名学生中身高低于170cm的人数为( )
A. 56B. 52C. 48D. 44
5.从1∼5这5个整数中随机选择两个不重复的数字，则这两个数字之积大于8的概率为( )
A. 710B. 310C. 12D. 25
6.小华为测量A，B(视为质点)两地之间的距离，选取C，D(与A，B在同一水平面上)两点进行测量，已知D在C的正东方向上，CD=2AD=40米，A在C的北偏东60°方向上，B在D的南偏西30°方向上，BD=30米，则A，B两地之间的距离是( )
A. 40米B. 10 13米C. 10 19米D. 60米
7.已知半径为2的球O与某圆锥的底面和侧面均相切，且该圆锥的轴截面为等边三角形，则该圆锥的表面积为( )
A. 24πB. 36πC. 18πD. 30π
8.若实数a，b，c满足a−2=(12)b+1=lg2c+1，则a，b，c的大小关系不可能是( )
A. b>a>cB. a>b>cC. c>b>aD. c>a>b
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若复数z1=i(5−3i),z2=−4−4ii，则( )
A. |z1|>|z2|
B. z1的实部与虚部之和等于z2的实部与虚部之和
C. z1的共轭复数为3−5i
D. z2在复平面内对应的点位于第四象限
10.连续抛掷一枚硬币两次，事件A表示“第一次硬币正面朝上”，事件B表示“第二次硬币反面朝上”，事件C表示“两次硬币都正面朝上”，事件D表示“两次硬币朝上的情况不同”，则( )
A. A与C相互独立B. A与D相互独立C. B与C相互独立D. B与D相互独立
11.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，M，N分别为线段AB，AD1的中点，P为正方形BB1C1C内(包含边界)的动点，则下列说法正确的是( )
A. 三棱锥A−A1D1P的体积为定值
B. 不存在点P，使得平面B1MN//平面CDP
C. 存在唯一的点P，使得D1P//平面B1MN
D. 直线PM与平面ABCD所成角的正弦值最大为2 55
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.不等式12x−1>0的解集为______，12x−1≥1的解集为______．
13.在正四棱台ABCD−A1B1C1D1中，AB=2A1B1=4，E，F分别是棱BC，CC1的中点，若正四棱台ABCD−A1B1C1D1的侧面积为12 3，则异面直线AD1与EF所成角的余弦值是______．
14.赵爽弦图是中国古代数学的图腾，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.如图，某人仿照赵爽弦图，用六个全等的直角三角形和一个小的正六边形拼成一个大正六边形，其中G，H，J，K，L，M分别是AM，BG，CH，DJ，EK，FL的中点，O是正六边形ABCDEF的中心.若AK=mAO+nAB，则m+n=______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
玉菇甜瓜产于河南、山东等地，富含维生素和膳食纤维，汁水饱满，果肉细腻，清甜爽润.甲分别随机抽测了A产地和B产地各6个玉菇甜瓜的重量(单位：g)，将得到的数据按从小到大的顺序分别记录如下：
第一组数据(A产地)：m 1194 1200 1201 1202 1210
第二组数据(B产地)：1192 1194 1199 n 1203 1209
已知第一组数据的极差和第二组数据的极差相等，第一组数据的第60百分位数和第二组数据的中位数相等．
(1)求m，n；
(2)请你估计哪个产地的玉菇甜瓜重量更稳定，并说明理由．
16.(本小题15分)
已知函数f(x)=cs(ωx+φ)(ω>0,0c，故A正确；
当x1ℎ(x)，即a>b>c，故B正确；
当x2g(x)，即a>c>b；
当x>x3时，ℎ(x)>f(x)>g(x)，即c>a>b，故D正确．
故选：C．
根据题意分别写出a，b，c的表达式，画出图象比较即可．
本题考查了函数与方程思想、转化思想、数形结合思想及分类讨论思想，属于中档题．
9.【答案】AC
【解析】解：由题意得z1=5i−3i2=3+5i，z2=−i(−4−4i)−i2=−4+4i，则|z1|= 32+52= 34>|z2|= (−4)2+42= 32，故A正确．
z1的实部与虚部之和为3+5=8，z2的实部与虚部之和为−4+4=0，故B错误．
z1的共轭复数为3−5i，故C正确．
z2在复平面内对应的点(−4,4)位于第二象限，故D错误．
故选：AC．
先对两个复数进行化简，再利用公式计算其模长，最后根据共轭复数的定义和复数对应点在复平面的位置即可得到答案．
本题主要考查复数的四则运算，复数模公式，复数的几何意义，属于基础题．
10.【答案】BD
【解析】解：根据题意可知，P(A)=12，P(B)=12，P(C)=12×12=14，P(C)=1×12=12，
对A：P(AC)=12×12=14，P(A)⋅P(C)=12×14=18，P(AC)≠P(A)⋅P(C)，
故A与C不相互独立，故A错误；
对B：P(AD)=12×12=14，P(A)⋅P(D)=12×12=14，有P(AD)=P(A)⋅P(D)，
故A与D相互独立，故B正确；
对C：P(BC)=0，故B与C不相互独立，故C错误；
对D：P(BD)=12×12=14，P(B)⋅P(D)=12×12=14，有P(BD)=P(B)⋅P(D)，
故B与D相互独立，故D正确．
故选：BD．
借助相互独立事件的定义逐项验证即可得．
本题考查了相互独立事件的定义，属于基础题．
11.【答案】ABD
【解析】解：对于A选项，如图：
VA−A1D1P=VP−A1D1A，
因为点P到平面A1D1A的距离为定值，S△A1D1A为定值，
所以棱锥A−A1D1P的体积为定值，故选项A正确；
对于B选项，连接B1C，则DN/​/B1C，且DN=12B1C，延长B1N，CD相交于Y，
因为CD，B1N是相交关系，
所以不存在点P，使得平面B1MN//平面CDP，故选项B正确；
对于C选项，延长A1B1至点E，使得B1E=12A1B1，连接BD1，D1E，记D1E∩B1C1=F，
连接BF.因为M，N分别为线段AB，AD1的中点，所以MN//D1B，
因为MN⊄平面BD1E，D1B⊂平面BD1E，
所以MN/​/平面BD1E，
因为B1E=12A1B1=12AB=BM，且B1E//BM，
所以四边形B1EBM为平行四边形，故B 1M//BE，
因为B1M⊄平面BD1E，BE⊂平面BD1E，
所以B1M/​/平面BD1E，
因为MN∩B1M=M，MN，B1M⊂平面B1MN，
所以平面BD1E//平面B1MN，
当点P在线段BF上时，D1P⊂平面BD1E，
则D1P//平面B1MN，
使得D1P//平面B1MN的点P有无数个，故选项C错误；
对于D选项，作PH⊥BC，垂足为H，连接MH，
则∠PMH为直线PM与平面ABCD所成的角．
因为PH⊥BC，平面BCC1B1⊥平面ABCD，且平面BCC1B1∩平面ABCD=BC，
所以PH⊥平面ABCD，所以PH⊥MH，则tan∠PMH=PHMH，
设AB=a，
显然当点P在棱B1C1上时，(PH)max=a，
当点H与点B重合时，(MH)min=12a，
即当P与B1重合时，此时点H与点B重合，(tan∠PMH)max=2，
则(sin∠PMH)max=2 55，故选项D正确．
故选：ABD．
A选项，点P到平面AA1D1的距离为定值，因为△AA1D1的面积为定值，所以三棱锥P−AA1D1的体积为定值；
B选项，作出辅助线，得到CD，B1N是相交关系，所以不存在点P，使得两平面平行；
C选项，作出辅助线，证明面面平行，得到当点P在线段BF上时，D1P//平面B1MN，使得D1P//平面B1MN的点P有无数个；
D选项，作出辅助线，∠PMH为直线PM与平面ABCD所成的角，结合图形得到∠PMH的正切的最大值，进而得到正弦值的最大值．
本题考查立体几何综合问题，属于难题．
12.【答案】(12,+∞) (12,1]
【解析】解：由12x−1>0，得2x−1>0，得x>12．
所以不等式12x−1>0的解集为(12,+∞)，
由12x−1≥1，得2−2x2x−1≥0，得2x−22x−1≤0，
则(2x−2)(2x−1)≤0,2x−1≠0,解得12