浙江省湖州市2024-2025学年高二下学期6月期末考试 数学 含答案

这是一份浙江省湖州市2024-2025学年高二下学期6月期末考试 数学 含答案，共12页。试卷主要包含了、选择题，、解答题等内容，欢迎下载使用。
高 二 数 学
注意事项：
1. 本科目考试分试题卷和答题卷，考生须在答题纸上作答.
2. 本试卷分为第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页，全卷满分150 分，考试时间120分钟.
一 、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.
1.已知集合A={-2,-1,0,1},B={xlx²≤3}, 则 A∩B=
A.{-1,0,1} B.{0,1} C.{-1,1} D.{0,1,2}
2.已知i 为虚数单位，复数z 满足z(1+i)=2, 则 z||=
A B C.1 D.√2
3.已知随机变量X 服从正态分布N(2,σ²), 且P(20,tan B>0.
因此 - - - - - - - - 6分
时
等号成立当且仅当 , 即 最大，
因此A 的最大值 ------------------------------------------------8分
(2)由题意得sinC= √3sin A,----------------------------------9分
故sinC= √3sin(B+C)= √3[sin BcsC+csBsinC].-------------11分
即 .-----------------------------------------13分
解得, 又B 为三角形内角，故- - - - - - - - - - - - - 15分
18. (本题满分17分)“你好!我是DeepSeek, 很高兴见到你!我可以帮你写代码，读文件， 写作各种创意内容，请把你的任务交给我吧”, DeepSeek 从横空出世到与我们日常相伴，成 为我们解决问题的“好参谋，好助手”, AI 大模型正在改变着我们的工作和生活的方式.为了 了解不同学历人群对DeepSeek 的使用情况，随机调查了200人，得到如下数据(单位：人):
(1)依据小概率值α=0.01的独立性检验，能否认为DeepSeek 的使用情况与学历有关?
(2)某校组织“AI 模型”知识竞赛，甲、乙两名选手在决赛阶段相遇，决赛阶段共有3道题 目，甲、乙同时依次作答，3道试题作答完毕后比赛结束.规定：若对同一道题目，两人同 时答对或答错，每人得0分；若一人答对另一人答错，答对的得10分，答错的得-10分，比 赛结束累加得分为正数者获胜，两人分别独立答题互不影响，每人每次的答题结果也互不影 响，若甲，乙两名选手正确回答每道题的概率分别为
(i) 求比赛结束后甲获胜的概率；
(ii) 求比赛结束后甲获胜的条件下，乙恰好回答对1道题的概率. 附 ：r²=(a+b)(c+a)(c+0(+4,)其中n=a+b+c+d.
解：(1)零假设为H₀:DeepSeek 的使用情况与学历无关，
根据列联表中的数据，可得 .-----------3分 依据小概率值α=0.01的独立性检验，没有充分证据推断H₀ 不成立，
因此可以认为H₀ 成立，即认为DeepSeek 的使用情况与学历无关.-----------5分
学历
使用情况
合计
经常使用
不经常使用
本科及以上
65
35
100
本科以下
50
50
100
合计
115
85
200
α
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
xa
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
(2)(i) 当甲，乙同时回答第i(i=1,2,3)道题时，甲得分为X,
-------------------------8分
比赛结束甲获胜时的得分X 可能的取值为10,20,30,
则
-------------------------------1 分
所以比赛结束后甲获胜的概率
12分
(ii) 设 A=“比赛结束后甲获胜”, B=“比赛结束后乙答对一道题”,
所以比赛结束后甲获胜的条件下，乙恰好回答对1道题的概率为 · ----------17分
19. (本题满分17分)若函数f(x) 在定义域内存在两个不同的实数x₁,x₂, 满 足f(x₁)=f(x₂),
且曲线f(x) 在点(x₁,f(x)) 和点(x₂,f(x₂)) 处的切线斜率相同，则称函数f(x) 为“同切函数”.
(1)证明：函数f(x)=-x³+3x 为“同切函数”;
(2)若函数 (a∈R) 为“同切函数”(其中e为自然对数的底数), 并设满足条件的两个实数为 x,x₂ ·
(i) 求实数a 的取值范围；(ii) 求证：
解：(1)假设存在x₁,x₂ 满足题意，易知f'(x)=-3x²+3.-------------1 分
由f'(x₁)=f'(x₂) 得 - 3x²+3=-3x²+3,
解得x₁+x₂=0.--------------------------- -----------------------------2分
由f(x₁)=f(x₂) 得 -x³+3x₁=-x³+3x₂,
化简得x²+x₁x₂+x²-3=0.---------------------------------4 分
代入上式可解得，x₁=- √3, x₂= √3 或 x₁= √3,x₂=- √3,
因此f(x) 为“同切函数”-----------------------------------6分
(2)由题可知 因为g(x) 为“同切函数”,故存在不同的x₁,x₂ (不妨设00
h'(a)在
单调递增，
下面证明x-1nx-1≥0 在(0,+∞)上恒成立，
令L(x)=x-lnx-1, 则 ,所以当x ∈(0,1) 时 ，L'(x)0,
故h(a) 上单调递增，则
所以原不等式成立. -----------------------------17分