2024-2025学年陕西省宝鸡市金台区七年级下学期数学期末试卷

这是一份2024-2025学年陕西省宝鸡市金台区七年级下学期数学期末试卷，共26页。
七年级数学
2025.6
时间：120 分钟 满分：120 分
一、选择题（共 8 小题，每小题 3 分，计 24 分，每小题只有一个选项是符合题 意的）
1 ．下面四个手机应用图标中是轴对称图形的是( )
A ． B．
C ． D．
2 ．下列计算正确的是( )
A ．(ab)2 ＝a2b2 B ．2(a＋1) ＝2a＋1 C ．a2 + a3 = a6 D ．a6 ÷ a2 = a3
3 ．下列成语描述的事件为随机事件的是( )
A ．守株待兔 B ．种豆得豆 C ．水中捞月 D ．水涨船高
4 ．下列能用平方差公式计算的是( )
A ．(-x + y)(x - y) B ．(-x - y)(x - y) C ．(x + 2)(2 + x) D ．(2x + 3)(3x - 2)
5．如图，点 E，点 F 在直线AC 上，AE = CF ，AD = CB ，下列条件中不能判断△ADF ≌△CBE 的是( )
A ．AD ⅡBC B ．BE Ⅱ DF C ．BE = DF D ．上A = 上C
6 ．某兴趣小组上网查询，获取声音在空气中的传播速度与空气温度关系的一些数据（如下 表）：
下列说法错误的是( )
A ．在这个变化过程中，自变量是温度，因变量是声速 B ．在一定范围内，温度越高，声速 越快
C ．当空气温度为20℃ 时，声音10s 可以传播342m D ．温度每升高10℃,声速增加 6m / s
7 ．在Rt△ABC 中，上C = 90° , ÐBAC 的角平分线AD 交BC 于点D ，BC = 9 ，BD = 6 ， 则点D 到AB 的距离是( )
A ．3 B ．4 C ．5 D ．7
8 ．等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比” ．若等腰 △ABC 的 周长为 20，其中一边长为 8，则它的“优美比”为( )
A ． B ． C ． 或 2 D ． 或
二、填空题（共 5 小题，每小题 3 分，计 15 分）
9 ．已知3x = 5 ，3y = 2 ，则 3x-y 的值是 ．
10 ．如图，图中的x 等于 ．
11 ．一辆汽车油箱中现存油 50 升，若油从油箱中匀速流出，速度为0.3 升/分钟，则油箱中 剩余油量 Q（升）与流出时间 t（分钟）的关系式是 ．
12 ．若多项式x2 - mx + 36是一个完全平方式，则m = ．
13．如图，已知上AOB = 30° , 点D 是边OA 上一点，在射线OB 上取一点 C，当 △OCD 是等腰 三角形时，上OCD 的度数为 ．
温度/℃
-20
-10
0
10
20
30
声速/（ m / s ）
318
324
330
336
342
348
三、解答题（共 12 小题，计 81 分，解答应写出过程）
14 ．计算：
(2) (3a3 )2 - a2 . a4 ；
(3)[(x + y)2 - (x - y)2 ù」÷ 2xy ；
(4)运用乘法公式简便计算：2024 × 2026 - 20252 ．
15 ．先化简，再求值：x (x + 2y ) - (x +1)2 + 2x ，其中
16 ．老师在黑板上布置了一道题：
已知y = -1 ，求代数式 的值，小白和小红展开了讨 论：
根据上述情景，你认为谁说得对？并将代数式化简求值．
17 ．如图，在 △ABC 中，作 Ð CAB 的平分线交BC 于点 D；（不写作法，只保留作图痕迹．）
18 ．如右上图，在所给网格图中每小格均为边长是 1 的正方形．△ABC 的顶点均在格点 上．请完成下列各题：（用直尺画图）
（1）画出△ABC 关于直线 DE 对称的△A1B1C1；
（2）在 DE 上画出点 P，使 PB1+PC 最小；
（3）在 DE 上画出点 Q，使 QA+QC 最小．
19 ．已知：如图，AB = CD ，DE = BF ，AE = CF ，求证：ABⅡDC ．
20 ．为了方便市民绿色出行和锻炼身体，政府倡导大家使用共享单车． 图1是一辆共享单 车放在水平地面上的实物图，图2 是其示意图，其中AB ，CD 都与地面l 平行，
Ð BCD = 55° , Ð BAC = 52° . 当ÐMAC 等于多少度时，AM 与BC 平行？
21．小红星期天从家里出发骑车去舅舅家做客，当她骑了一段路时，想起要买个礼物送给表 弟，于是又折回到刚经过的一家商店，买好礼物后又继续骑车去舅舅家，如图是她本次去舅 舅家所用的时间与小红离家的距离的关系式示意图．根据图中提供的信息回答下列问题：
(1)小红家到舅舅家的路程是 米，小红在商店停留了 分钟；
(2)在整个去舅舅家的途中哪个时间段小红骑车速度最快？最快的速度是多少米/分？
(3)本次去舅舅家的行程中，小红一共行驶了多少米？
22 ．一个不透明的箱子里装有红、黄、蓝三种颜色的小球共 24 个，它们除颜色外其他均相 同，其中红色球有 6 个、黄色球的数量是蓝色球数量的 2 倍．
(1)求摸出 1 个球是蓝色球的概率；
(2)再往箱子中放入多少个蓝色球，可以使摸出 1 个蓝色球的概率为
23 ．如图所示，在 △ABC 中，DM、EN 分别垂直平分AB 和AC ，交 BC 于 D 、E．
(1)若上DAE = 40° ,求 ÐBAC 的度数；
(2)若△ADE 的周长为 18，求 BC 的长度．
24 ．如图，在三角形ABC 中，AB = AC ，点 B 、P、Q 三点在同一条直线上，且
上ABP = 上ACQ ，上BAC = 上PAQ = 62° . 求上APQ 的度数．
25．在两个不全等的三角形中，有两组边对应相等，其中一组是公共边，另一组等边所对的 角对应相等，就称这两个三角形为“共边黄金三角形”，相等的边（非公共边）所对的相等的 角称为“黄金角”．
(1)如图1 ，BC = BD ，则△ABC 与△ABD ______“共边黄金三角形” ．（填“是”或“不是”）
(2)如图2 ， △ACB 与 △ACD 是“共边黄金三角形” ，BC = CD，上BAD = 62° ,则 △ACB 与
△ACD 的“黄金角”的度数为______．
(3)如图3 ，已知AC 平分 ÐBAD ，AB = AE ，△ACB 与 △ACD 是“共边黄金三角形”，试说明
CD = CE ．
1 ．D
【分析】本题考查了轴对称图形的概念， 轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠 后可重合．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图 形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【详解】解：A ，B ，C 选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠， 直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
D 选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相 重合，所以是轴对称图形；
故选：D．
2 ．A
【分析】根据积的乘方等于乘方的积，去括号的法则，同底数幂的乘法底数不变指数相加， 同底数幂的除法底数不变指数相减，可得答案．
【详解】解：A、积的乘方等于乘方的积，故 A 符合题意；
B、去括号都乘以括号前的倍数，故 B 不符合题意；
C、不是同底数幂的乘法指数不能相加，故 C 不符合题意；
D、同底数幂的除法底数不变指数相减，故 D 不符合题意； 故选 A．
【点睛】本题考查了同底数幂的除法，熟记法则并根据法则计算是解题关键．
3 ．A
【分析】本题考查了必然事件、不可能事件、随机事件， 必然事件指在一定条件下一定发生 的事件.不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件.不确定事件即随机事件是指在一 定条件下，可能发生也可能不发生的事件，据此即可判断求解，掌握必然事件、不可能事件 和随机事件的定义是解题的关键．
【详解】解：A 、守株待兔是随机事件，故 A 符合题意； B 、种豆得豆是必然事件，故 B 不符合题意；
C 、水中捞月是不可能事件，故 C 不符合题意；
D 、水涨船高是必然事件，故 D 不符合题意； 故选：A ．
4 ．B
【分析】根据平方差公式的特点直接可得到答案．
【详解】解：（-x+y）（x-y）=-（x-y）（x-y）=-（x-y）2 不能用平方差公式计算，故选项 A 不 符合题意；
（-x-y）（x-y）=（-y）2-x2=y2-x2，能用平方差公式计算，故选项 B 符合题意；
（x+2）（2+x）=（x+2）2 不能用平方差公式计算，故选项 C 不符合题意； （2x+3）（3x-2）没有相同项，不能用平方差公式，故选项 D 不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查平方差公式的应用，解题的关键是掌握平方差公式的特点．
5 ．B
【分析】在△ADF 与△CBE 中，AE = CF ，AD = CB ，所以结合全等三角形的判定方法分 别分析四个选项即可．
【详解】解：: AE = CF ， : AF = CE ，
A、添加 AD ⅡBC ，可得到 上A = 上C ，由全等三角形的判定定理SAS 可以判定
△ADF ≌△CBE ，故本选项不合题意．
B、添加BE Ⅱ DF ，可得到上BEC=上AFD，不能判定△ADF ≌△CBE ，故本选项符合题意．
C、添加BE = DF ，由全等三角形的判定定理SSS 可以判定△ADF ≌△CBE ，故本选项不合 题意．
D、添加 上A = 上C ，由全等三角形的判定定理SAS 可以判定△ADF ≌△CBE ，故本选项不 合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、 SAS 、ASA 、AAS 、HL ．
注意： AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与， 若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
6 ．C
【分析】根据自变量、因变量的定义， 以及声音在空气中传播的速度与空气温度关系逐一判 断即可．
【详解】解：在这个变化过程中，自变量是温度，因变量是声速，故选项 A 说法正确，不 符合题意；
根据数据表可得，在一定范围内，温度越高，声速越快，故选项 B 说法正确，不符合题意； 当空气温度为20℃ 时，声音10s 可以传播3420m ，故选项 C 说法错误，故符合题意；
根据数据表可得，温度每升高10℃,声速增加 6m / s ，故选项 D 说法正确，不符合题意； 故选：C．
【点睛】本题主要考查了自变量，因变量，掌握自变量、因变量的定义是解题的关键．
7 ．A
【分析】本题主要考查角平分线的性质．由角平分线的性质，线段的和差，等量代换，求得 点到直线的距离为 3．
【详解】解：过点 D 作DE TAB 交AB 于点E ， 如图所示：
Q 上C = 90° ,
:DC 丄 AC ，
又Q AD 是7BAC 的角平分线，DE TAB ， : CD = ED ，
又Q BC = BD + DC ，BC = 9 ，BD = 6 ，
:DC = BC - BD = 9 - 6 = 3 ，
:ED = 3 ，
即点D 到AB 的距离是 3， 故选：A．
8 ．D
【分析】本题考查等腰三角形的定义．分8 为腰长和底边长，两种情况进行讨论即可． 【详解】解：当8 为腰长时，
∵等腰△ABC 的周长为 20，
: △ABC 的底边长为：20 - 8 - 8 = 4 ，
:“优美比”为 ；
当8 为底边长时，
△ABC 的腰长为
8 4
:“优美比”为 = ；
6 3 故选：D．
9 ． 5
2
【分析】本题考查的是同底数幂的除法运算的逆运算，根据 3x-y = 3x ÷ 3y 计算即可. 【详解】解：∵ 3x = 5 ，3y = 2 ，
故答案为：
10 ．110°
【分析】本题考查的是三角形的外角的性质，根据三角形的外角的性质可得答案. 【详解】解：由题意可得：x = 50° + 60° = 110° ,
故答案为：110°
11 ．Q = 50 - 0.3t
【分析】此题考查了列函数关系式， 现存油量减去流出的油量即为油箱中剩余油量，据此列 函数关系式即可．
【详解】解：油箱中剩余油量 Q（升）与流出时间 t（分钟）的关系式是Q = 50 - 0.3t ， 故答案为：Q = 50 - 0.3t ．
12 ． ±12
【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用， 掌握完全平方公式的形式是解题的关键．根 据完全平方公式的定义，得出符合题意的形式，对应得出答案即可．
【详解】解：∵ x2 - mx + 36 是一个完全平方式，
: x2 - mx + 36 = (x ± 6)2 ，
: x2 - mx + 36 = x2 ±12x + 36 ， : m = ±12 ，
故答案为： ±12 ．
13 ．30° 或75° 或120°
【分析】本题考查了等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，进行分类讨论是解题的关键； 根据题意分三种情况讨论：①当OD = OC ，②当OD = DC ，③当OC = CD ，根据等腰三角
形的性质以及三角形内角和定理即可得到结论． 【详解】解：∵ 上AOB = 30°
:①当OD = OC 时，
则有上OCD = 上 ②当OD = DC 时，
则有上OCD = 上COD = 30° ;
③当OC = CD 时，
则有上ODC = 上COD = 30° ,
:上OCD = 180° - 上ODC - 上COD = 120° .
综上所述，上OCD 的度数为30° 或75° 或120° .
故答案为：30° 或75° 或120° .
14 ．(1) 2
(2) 8a6 (3) 2 (4) -1
【分析】本题考查的是整式的混合运算，零次幂，负整数指数幂的运算，平方差公式的应用， 完全平方公式的应用；
（1）先计算乘方，零次幂，负整数指数幂，再合并即可；
（2）先计算积的乘方，同底数幂的乘法，再合并同类项即可；
（3）先利用乘法公式计算乘法运算，再计算单项式除以单项式即可；
（4）把原式化为(2025 +1)(2025 -1) - 20252 ，再进一步的计算即可. 解
= -1+ 4 -1
= 2 ；
（2）解：(3a3 )2 - a2 . a4 = 9a6 - a6 = 8a6 ；
（3）解：[(x + y)2 - (x - y)2 ù」÷ 2xy
= (x2 + 2xy + y2 - x2 + 2xy - y2 ) ÷ 2xy
= 4xy ÷ 2xy = 2 ；
（4）解：2024 × 2026 - 20252
= (2025 +1)(2025 -1) - 20252
= 20252 -12 - 20252
= -1 ．
15 ．2xy -1 ，-3
【分析】本题考查的是整式的混合运算， 化简求值，先计算整式的乘法运算，再合并同类项
得到化简的结果，最后把 代入计算即可.
【详解】解：x (x + 2y ) - (x +1)2 + 2x
= x2 + 2xy - x2 - 2x -1+ 2x
= 2xy -1，
当 时，
原式
16 ．我认为小红说的对，6y ，-6
【分析】本题考查了整式的混合运算- 化简求值，平方差公式，完全平方公式，准确熟练地 进行计算是解题的关键．先利用平方差公式，完全平方公式计算括号里，再算括号外，然后 把y 的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．
【详解】解：我认为小红说的对，
理由：
= (4x2 +12xy + 9y2 + y2 - 4x2 -10y2 ) ÷ 2x
= 12xy ÷ 2x
= 6y ，
Q化简后的结果不含x ，
: 小红说的对，
当y = -1 时，原式= 6 × (-1) = -6 ．
17 ．作图见解析
【分析】本题考查作图-基本作图，解题的关键熟练掌握角平分线的作图方法．利用尺规作 出 Ð CAB 的平分线AD 即可．
【详解】解：如图，射线 AD 即为所求．
;
18 ．（1）图形见解析；（2）图形见解析；（3）图形见解析.
【详解】
19 ．证明见解析．
【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握其判定和性质定理是解题的关键． 【详解】证明：∵ DE = BF ，
: DE - EF = BF - EF ，即 DF = BE ，
在 △AEB 和△CFD 中，
△AEB≌△CFD (SSS)，
: 上B = 上D ， : AB Ⅱ DC ．
20 ． ÐMAC = 73°
【分析】根据平行线的判定定理与性质定理求解即可．此题考查了平行线的判定与性质，熟 记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．
【详解】解: ∵ AB∥CD ，
: Ð BAC + Ð ACD = 180° 即 Ð BAC + Ð ACB + Ð BCD = 180° ∵ Ð BCD = 55° , Ð BAC = 52°
: Ð ACB = 73°
:当 ÐMAC = Ð ACB = 73° 时， AM ∥ BC ．
21 ．(1)1500 ，4
(2)小红在 12 -14 分钟最快，450 米/分
(3)2700 米
【分析】（1）根据图象，路程的最大值即为小红家到舅舅家的路程；读图，对应题意找到其 在商店停留的时间段，进而可得其在书店停留的时间；
（2）分析图象，找函数变化最快的一段，可得小明骑车速度最快的时间段，进而可得其速 度；
（3）分开始行驶的路程，折回商店行驶的路程以及从商店到舅舅家行驶的路程三段相加即 可求得小红一共行驶路程．
【详解】（1）解：据图象舅舅家纵坐标为 1500，小红家的纵坐标为 0，
故小红家到舅舅家的路程是 1500 米；据题意，小红在商店停留的时间为从 8 分到 12 分，故 小红在商店停留了 4 分钟．
故答案为：1500 ，4；
（2）解：根据图象，12 ≤ x ≤ 14 时，直线最陡，
故小红在 12 -14 分钟最快，速度为
（3）解：本次去舅舅家的行程中，小红一共行驶了：1200 +(1200 - 600) + (1500 - 600) = 2700 （米）．
【点睛】本题考查利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义， 理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．需注意计算单位的统一
22 ．
(2)再往箱子里放入 12 个蓝色球，可以使摸出的 1 个蓝色球的概率为
【分析】本题主要考查概率的公式：如果一个事件有n 种可能，而且这些事件的可能性相同， 其中事件A 出现m 种可能，那么事件A 的概率P
（1）首先求得蓝色球的个数，然后利用概率公式求解即可；
（2）设再往箱子里放入x 个蓝色球，可以使摸出 1 个蓝色球的概率为 ，根据题意得 2(x +6) = x + 24 ，求得x 值即可．
【详解】（1）解：蓝色球有(24 - 6) ÷ 3 = 6 （个) ，
所以P （摸出一个球是蓝色球） ；
（2）解：设再往箱子里放入x 个蓝色球，可以使摸出 1 个蓝色球的概率为 ，
则 2(x + 6) = x + 24 ， 解得，x = 12 ．
答：再往箱子里放入 12 个蓝色球，可以使摸出的 1 个蓝色球的概率为 ．
23 ．(1)110°
(2)18
【分析】本题考查线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理， 熟练 掌握线段垂直平分线的性质是解答的关键．
（1）先根据线段垂直平分线得到 AD = BD ，AE = CE ，再根据等边对等角得到
∠BAD = ∠B ，上CAE = 上C ，进而利用三角形的内角和定理求得 上B + 上C = 70° 即可；
（2）根据线段垂直平分线的性质和三角形的周长求解即可．
【详解】（1）解：∵ DM、EN 分别垂直平分AB 和AC ，交 BC 于 D 、E， : AD = BD ，AE = CE ，
:∠BAD = ∠B ，上CAE = 上C ，
∵ 上DAE = 40° , 上B + 上BAD + 上DAE + 上CAE + 上C = 180° , : 2上B + 2上C + 40° = 180° ,则 上B + 上C = 70° ,
:上ABC = 180° - (上B + 上C) = 110° ;
（2）解：∵ △ADE 的周长为 18， : AD + DE + AE = 18
由（1）知， AD = BD ，AE = CE ， : BD + DE + CE = 18 ，
: BC = 18 ．
24 ．59°
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质， 等腰三角形的判定和性质，熟练掌握全等三 角形的判定和性质是解题的关键；
证明△ABP ≌△ACQ（ASA），得出 AP = AQ ，根据等腰三角形的性质即可得出答案.
【详解】解：∵ 上BAC = 上PAQ ， : 上BAP = 上CAQ ，
∵ AB = AC ，上ABP = 上ACQ ， :△ABP ≌△ACQ（ASA），
: AP = AQ ，
: 上APQ = 上AQP ， ∵上PAQ = 62° ,
25 ．(1)是
(2) 31°
(3)理由见解析
【分析】本题考查了新定义、全等三角形的判定与性质， 角平分线的定义，正确掌握相关性 质内容是解题的关键．
（1）根据共边黄金三角形的定义找到公共边 AB ，上A = 上A ，即可得出．
（2）根据共边黄金三角形的定义得出 上CAB = 上DAC ，再结合 上BAD = 62° ,则
上CAB = 上DAC = 31° ,即可作答．
（3）先由角的平分线的定义得出 上BAC = 上EAC ，然后证明 △ABC≌△AEC (SAS)，得 BC = EC ，再运用共边黄金三角形的定义，得出 BC = CD ，即可作答．
【详解】（1）解：∵ △ABC 与△ABD 具有公共边AB ，
又Q BC = BD ，且 上A = 上A ，
:△ABC 与△ABD 是共边黄金三角形， :故答案为：是．
（2）解：∵ △ACB 与 △ACD 是“共边黄金三角形” ，BC = CD ， : 上CAB = 上DAC ，
∵ 上BAD = 62° ,
则 △ACB 与 △ACD 的“黄金角”的度数为31° .
（3）解：: AC 平分 ÐBAD ，
: 上BAC = 上EAC ．
在 △ABC 和 △AEC 中上EAC ， : △ABC≌△AEC (SAS)，
: BC = EC ．
:则 △ACB 与 △ACD 是共边黄金三角形， : BC = CD ，
: CD = CE ．