2024-2025学年江西省宜春市丰城市第九中学八年级下学期期末考试数学检测试卷[（A卷）]

这是一份2024-2025学年江西省宜春市丰城市第九中学八年级下学期期末考试数学检测试卷[（A卷）]，共48页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分，每小题只有一个正确选 项．）
1．如图，图中的几何体是圆柱沿竖直方向切掉一半后得到的，则该几何体的左视图是( )
A ． B ． C ． D ．
2 ．已知点P1 (x1, y1 ) ，P2 (x2, y2 ) 都在反比例函数 的图象上，若x1 < 0 < x2 ，则( )
A ．y1 < y2 < 0 B ．y1 < 0 < y2 C ．y1 > y2 > 0 D ．y1 > 0 > y2
3 ．已知反比例函数 ，下列结论中，不．正．确．的是( )
A ．图象必经过点(2,1)
B ．图象在第一、三象限内
C ．在图象的每个象限内，y 随x 的增大而增大
D ．若x > 1 ，则 0＜y < 2
4．如图，已知上1 = 上2 ，点D 在BC 上，添加下列条件后，仍无法判定△ABC 与△ADE 相似 的是( )
A ．上B = 上E B ．上2 = 上EDC
C ． D ．DE∥AB
5 ．在Rt△ABC 中，上ACB = 90° , 设 Ð A ， ÐB ， Ð C 所对的边分别为a ，b ，c ，则( )
A ．a = b . sinA B ．b = c . csB C ．a = b . tanA D ．a = b . tanB
6．现有甲、乙两款电压不同的蓄电池， 蓄电池的电压都为定值，使用蓄电池时，电流I1，I2 （单位：A ）与电阻R （单位： Ω )是反比例函数关系，它们的图象如图所示．若平行于
纵轴的直线l 交I1 的图象于点Q，交I2 的图象于点P ，过点P，Q 分别作纵轴的垂线，垂足为 N，M ，则矩形MNPQ 的面积表示的实际意义是( )
A ．经过用电器的电流的差值
B ．两款蓄电池的电压的差值
C ．当经过用电器的电流相同时的电阻的差值
D ．当用电器的电阻相同时的电流的差值
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）
7 ．已知点(1, -2) 在反比例函数 的图象上，则k = ．
8 ．若角a、 β 是直角三角形的两个锐角，则 的值为 ．
9 ．如图， △A1B1C1 与 △ABC 是位似图形，且OC1 : C1C = 2 :1 ，则△A1B1C1 与 △ABC 的面积比 为 ．
10 ．在两条直角边长分别是20 和15 的直角三角形的内部作矩形ABCD ，如果 AB、AD 分别 在两条直角边上（如图所示）， AD : AB = 1: 2 ，那么矩形 ABCD 的面积是 ．
11．如图，在 △ABC 中，BD 是 △ABC 的中线，BC = 2BD ，AC = 6 ， 那么AB 的长为 ．
12 ．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 为矩形，OA = 8，OC = 6 ，连接AC ，D 为 AC 的中点，点 P 在坐标轴上，若以 P，A，D 为顶点的三角形与△ABC 相似，则点 P 的坐 标为 ．
三、（本大题共 5 小题，每小题 6 分共 30 分）
13 ．计算：tan30°cs30°+sin260°- sin245°tan45°
14 ．如图，在 △ABC 中， AB = AC ，D 是 AC 的中点， E 在 AB 上，且 连接BD 、 DE ，求证： △AED ∽△ADB ．
15 ．如图，在顶角上A = 30° 的等腰三角形ABC 中，AB = AC ，若过点 C 作CD 丄 AB 于点 D，则 上BCD = 15° . 根据图形计算tan15° 的值．
16 ．用洗衣粉洗衣物时，漂洗的次数与衣物中洗衣粉的残留量近似的满足反比例函数关
系．小红、小敏用同一种洗衣粉各自洗一件同样的衣服，漂洗时，小红每次用一盆水（约 10L），小敏每次用半盆水（约 5L），如果她们都用了 5g 洗衣粉，第一次漂洗后，小红的衣 服中残留的洗衣粉还有 1.5g，小敏的衣服中残留的洗衣粉还有 2g．
(1)分别求出小红、小敏衣服中洗衣粉的残留量y 与漂洗次数 x 的函数表达式；
(2)当洗衣粉的残留量降至 0.5g 时，便视为衣服漂洗干净，从节约用水的角度来看，你认为 谁的漂洗方法值得提倡，为什么？
17 ．周末小明同学与父亲爬山，在停车场附近看到了一棵银杏树AB ，AB 垂直于地面，满 树金灿灿的叶子非常好看，小明同学想测量这棵树的高度，他发现阳光下树的影子恰好落在 地面和一斜坡上（如图所示），此时测得地面上的影长BC 为 8 米，坡面上的影长CD 为 4 米， 斜坡与水平地面所成的锐角为30° , 同一时刻，一根长为 1 米垂直于地面放置的标杆在地面
上的影长为 2 米．（参考数据 ≈ 1.732 ）
(1)求点 D 到水平地面的距离；
(2)求树的高度（结果精确到 0.1 米）．
四、（本大题共 3 小题，每小题 8 分，共 24 分）
18 ．如图，在 △ABC 中，D 为BC 上一点，E 为AD 上一点，如果上DAC = 上B，CD = CE ．
(1)求证： △ACE∽△BAD ．
(2)若CE = 3，BD = 4，AE = 2 ，求 ED 的长．
19 ．2025 年春晚名为《秧 BOT》的舞蹈， 机器人们以精准的动作和热情的表演让观众体验 到了传统文化与现代科技完美的跨界融合．机器人为了完美的转动手绢，表演时需要和舞者 保持一定的间距．图2 是其侧面示意图，胳膊与机器人身体的夹角上NAB = 45° ,胳膊
AB = 40cm ，OB = 30cm ，旋转的手绢近似圆形，半径OC = 25cm ，OC 与手臂OB 保持垂 直．肘关节B 与手绢旋转点O 之间的水平宽度为12cm （即 BD 的长度）．
(1)求上ABO 的度数；
(2)机器人跳舞时规定手绢端点C 与舞者安全距离范围为30 ~ 40cm ．在图 2 中，机器人与舞 者之间距离为100cm ．问此时手绢端点C 与舞者距离是否在规定范围内？并说明理由．（结 果保留小数点后一位，参考数据：sin66.4° ≈ 0.92, cs66.4° ≈ 0.40, sin23.6° ≈ 0.40, ≈ 1.414 ）
20 ．如图，点 A 反比例函数 的图象上，点 C 在 x 轴上， AB ^ x 轴，垂足为 B，
, 上ACB = 45° , AC 交反比例函数的图象于点 D．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)求点 D 的坐标．
五、解答题（本大题共有 2 小题，每小题 9 分，共 18 分）
21 ．如图-1 ，一个细水杯的主视图为矩形EFGH ，其内有液体，液面近似 ，液面的最低 点C 即为 的中点， 所在圆的圆心为O ，AB = 10 ．
(1)连接AC 、BC ，已知 上ACB = 150° ,求 的长；
(2)如图-2，已知ΘO 交EH 于点P ，连接BC 并延长交EH 于点Q ，EQ = 12 ，EP = 38 ，求AQ 的长．
22 ．如图，正方形AOCB 的边长为 4，反比例函数的图象过点E(3, 4)．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）反比例函数的图象与线段 BC 交于点 D，直线过点 D ，与线段AB 相交于 点 F，求点 F 的坐标；
（3）连OF, OE ，探究 上AOF 与上EOC 的数量关系并证明（提示：
六、（本大题 12 分）
23 ．尝试：如图① , △ABC 中，将 △ABC 绕点 A 按逆时针方向旋转一定角度得到 △AB¢C¢ , 点 B 、C 的对应点分别为B ¢ 、C¢ ,连接 BB¢ 、CC¢ ,直接写出图中的一对相似三角形 ；
拓展：如图②, 在 △ABC 中，上C = 90° , AC = BC ，将△ABC 绕点 A 按逆时针方向旋转一 定角度得到 △AB¢C¢ , 点 B、C 的对应点分别为B ¢ 、C¢ , 连接BB¢ 、CC¢ , 若BB¢ = 8 ，求CC¢ 的长；
应用：如图③,在 Rt△ABC 中，上ACB = 90° , AB = 2 ，上ABC = 30° ,将△ABC 绕点 A 按 逆时针方向旋转一周，在旋转过程中，当点 B 的对应点B¢ 恰好落在Rt△ABC 的边所在的直 线上时，直接写出此时点 C 的运动路径长．
1 ．C
【分析】此题主要考查了简单几何体的三视图， 左视图是从左边看所得到的视图，根据左视 图所看的位置找出答案即可．关键是掌握三视图所看的位置．
【详解】
解：该几何体的左视图是．
故选：C．
2 ．D
【分析】本题考查比较反比例函数的函数值大小， 根据反比例函数的图象和性质，进行判断 即可．
解 :反比例函数的图象过二，四象限，
∵点P1 (x1, y1 ) ，P2 (x2, y2 ) 都在反比例函数 的图象上，且x1 < 0 < x2 ， : y1 > 0 > y2 ；
故选 D．
3 ．C
【分析】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的图象与系数的关系是解题的关 键．根据反比例函数的性质对选项进行逐一分析即可．
【详解】解：A 、Q 2 × 1 = 2 ，
:图象必经过点(2,1) ，正确，不符合题意；
B 、Qk = 2 > 0 ，
:图象在第一、三象限内，正确，不符合题意； C 、Qk = 2 > 0 ，
:图象在第一、三象限内，在每一象限内y 随 x 的增大而减小，原说法错误，符合题意； D 、∵当x > 1 时，y = 2 ，
:0 < y < 2 ，正确，不符合题意， 故选：C．
4 ．D
【分析】本题考查了相似三角形的判定， 能熟记相似三角形的判定定理是解此题的关键．根 据上1 = 上2 求出上BAC = 上DAE ，再根据相似三角形的判定定理逐个判断即可．
【详解】解：A ．Q 上1= 上2 ， : ∠1+∠DAC = ∠2 +∠DAC ， 即上BAC = 上DAE ，
又上B = 上E ，符合相似三角形的判定定理，能推出△ABC - △ADE ，故本选项不符合题意；
B ．Q 上2 = 上EDC ，
:上E = 上C ，
又上BAC = 上DAE ，符合相似三角形的判定定理，能推出△ABC - △ADE ，故本选项不符 合题意；
C ．上BAC = 上 符合相似三角形的判定定理，能推出△ABC - △ADE ，故 本选项不符合题意；
D ．DE∥AB ，上BAC = 上DAE ，不符合相似三角形的判定定理，不能推出
△ABC - △ADE ，故本选项符合题意； 故选：D．
5 ．C
【分析】本题考查了解直角三角形的相关计算， 解题的关键在于正确掌握正弦、余弦、正切 的定义．根据题意画出草图，结合正弦、余弦、正切的定义逐项判断，即可解题．
【详解】解：由题意，可画图如下：
A 、a = c . sinA ，选项结论错误，不符合题意；
B 、a = c . csB ，选项结论错误，不符合题意；
C 、a = b . tanA ，选项结论正确，符合题意；
D 、b = a . tanB ，选项结论错误，不符合题意； 故选：C．
6 ．B
【分析】本题考查反比例函数 k 的几何意义，设 对于Q 所在的曲线，
U1 = S四边形OMQB ；对于 P 所在的曲线，U2 = S四边形ONPB ；数形结合得到矩形MNPQ 的面积
= S四边形OMQB - S四边形ONPB = U1 -U2 ，即矩形MNPQ 的面积表示的实际意义是两款蓄电池的电压 的差值，即可得到答案．熟记反比例函数k 的几何意义，数形结合是解决问题的关键．
【详解】解：如图所示：
由题意可知，设 ，
对于Q 所在的曲线，U1 = S四边形OMQB ；对于 P 所在的曲线，U2 = S四边形ONPB ；
:矩形MNPQ 的面积= S四边形OMQB - S四边形ONPB = U1 -U2 ，
即矩形MNPQ 的面积表示的实际意义是两款蓄电池的电压的差值， 故选：B．
7 ．-2
【分析】将点(1, -2) 代入反比例函数解析式 ，然后解关于 k 的方程即可．
【详解】解：将点(1, -2) 代入反比例函数解析式 得 ， 解得，k = -2
故答案是：-2 ．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质， 反比例函数图象上的点的坐标，一定满足该函数的 解析式．
8 ．1- ## - +1
【分析】本题考查了互余两角三角函数的关系，利用一个角的正弦等于它余角的余弦是解题 关键，还要熟记特殊角三角函数值．根据一个角的正弦等于它余角的余弦，特殊角三角函数 值，可得答案．
解
故答案为：
9 ． 4 : 9
【分析】本题考查位似图形， 相似三角形的性质，根据位似比等于相似比，面积比等于相似 比的平方，进行求解即可．
【详解】解：∵OC1 : C1C = 2 :1，
: OC1 : OC = 2 : 3 ，
∵△A1B1C1 与 △ABC 是位似图形，
:△A1B1C1- △ABC ，相似比为：2 : 3 ；
:△A1B1C1 与 △ABC 的面积比为4 : 9 ；
故答案为：4 : 9 ．
10 ．72
【分析】本题考查了矩形的性质， 相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质 得到AD, AB 的值是解题的关键．
根据题意可证 △FDC∽△CBE ，得到 ，由题意设 AD = BC = x, AB = CD = 2x ，则 DF = 15 - x, BE = 20 - 2x ， 由此列式得 解得， x = 6 ，则 AD = 6, AB = 12 ， 由此即可求解．
【详解】解：如图所示，
:两条直角边长分别是20 和15 的直角三角形的内部作矩形ABCD ，
: 上DAB = 90° = 上BCD ，AD = BC, AB = CD ，CD Ⅱ AE ， : 上DCF = 上BEC ，且 上CDF = 上EBC = 90° ,
: △FDC∽△CBE ，
: AD : AB = 1: 2 ，
:设AD = BC = x, AB = CD = 2x ，则DF = 15 - x, BE = 20 - 2x ，
解得，x = 6 ，
: AD = 6, AB = 12 ，
:矩形ABCD 的面积是6× 12 = 72 ， 故答案为：72 ．
11 ．8
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质， 解直角三角形的计算，勾股定理，合理构造
辅助线得到 ，证明 △ADE∽△ACF ，是解题的关键．
如图所示，过点D 作DE 丄 AB 于点E ，过点C 作CF 丄 AB 延长线于点F ，可得
,由勾股定理解得DE = 3 （负值舍去），再证明 △ADE∽△ACF ，得到
AD DE AE 3 1
= = = = ，求出 CF = 2DE = 6 ，AF = 2AE = 12 ，则
AC CF AF 65 2
EF = AF - AE = 12 - 6 = 6 ，设 BE = x ，则 BF = EF - BE = 6 - x ，在 Rt△BDE 中，运用勾股 定理即可求解．
【详解】解：如图所示，过点 D 作DE 丄 AB 于点E ，过点C 作CF 丄 AB 延长线于点F ，
: BD 是 △ABC 的中线，AC = 6 ，
: AD = CD = 1 AC = 1 × 6 = 3 ，
2 2
在Rt△ADE 中 : AE = 2DE ，
: AD2 = AE2 + DE2 = (2DE)2 + DE2 ，即 (3 )2 = 5DE2 ，
解得，DE = 3 （负值舍去）， : AE = 6 ，
: DE 丄 AB, CF 丄 AB ， : DE Ⅱ CF ，
: △ADE∽△ACF ，
: CF = 2DE = 6 ，AF = 2AE = 12 ，则 EF = AF - AE = 12 - 6 = 6 ， 设BE = x ，则 BF = EF - BE = 6 - x ，
在Rt△BDE 中，BD2 = BE2 + DE2 = x2 + 9 ， : BC = 2BD ，
: BC2 = 4BD2 = 4 (x2 + 9) ，
在Rt△BCF 中，BC2 = BF2 + CF2 = (6 - x )2 + 62 ， : 4 (x2 + 9) = (6 - x)2 + 62 ，
整理得，x2 + 4x -12 = 0 ，
解得，x1 = 2 ，x2 = -6 （不符合题意，舍去）， : BE = 2 ，
: AB = AE + BE = 6 + 2 = 8 ， 故答案为：8 ．
12 ．(4, 0) 或(çè , 0÷或(çè 0, -
【分析】本题考查了相似三角形的性质，分情况讨论，即点 P 在x 轴上和在y 轴上的情况， 利用相似三角形的性质分别求解即可，熟练利用分类讨论的思想是解题的关键．
【详解】解：Q 四边形OABC 为矩形，
:上B = 90°, AB = CO = 6, BC = OA = 8 ，
: AC = = 10 ，
如图，当点 P 在x 轴上，且上DPA = 90° 时，
此时 △DPA∽△ABC ,
AP AD
: = ，
BC AC
QD 为AC 的中点，
AP AD 1
: = = ， BC AC 2
: AP = 4, OP = AO - AP = 4 , :P(4, 0)；
如图，当点 P 在x 轴上，且上PDA = 90° 时，
此时 △DPA∽△BAC ,
AP AD
: = ，
AC BC
QD 为AC 的中点，
: AD = 5 ，
AP AD 5
: = = ， AC BC 8
如图，当点 P 在y 轴上，且上PDA = 90° 时，
Q 上DCP = 上BAC ，
: △ABC∽△CDP ， QCD = AD ，
:PD 是AC 的垂直平分线， :上DCP = 上DAP ，
: △ABC∽△ADP ,
当点 P 在y 轴上，且上DAP = 90° 时，不成立， 综上，点P 的坐标为 或 或 故答案为 或 或
13 ．
【分析】根据特殊三角函数值即可求解.
【点睛】本题考查了特殊的三角函数值,属于简单题,熟记特殊三角函数值是解题关键.
14 ．详见解析
【分析】本题主要考查相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
根据题意得到 上A = 上A ，结合相似三角形的判定方法即可求证．
【详解】证明：QD 是AC 的中点，
AD 1
: = ， AC 2
又Q AB = AC ， = ，
Q 上A = 上A ，
:△AED∽△ADB ．
15 ．2 -
【分析】根据题意，求得上ACD = 60° , 进而求得上B = 上ACB 根据等角对等边求得AC = AB ， 设CD = 1，进而求得 BD ，根据正切的定义即可求得tan 上BCD ，即 tan15° 的值．
【详解】Q CD 丄 AB ，上A = 30° ,
:上ACD = 90° - 30° = 60° , 在Rt△ACD 中，设CD = 1，
: AC = 2 ，
: AD = 、/3 ，
Q 上BCD = 15° ,
:上ACB = 上ACD + 上BCD = 60° + 15° = 75° ,
:上B = 180° - 上A - 上ACB = 180° - 30° - 75° = 75° ,
:上B = 上ACB = 75° ,
: AC = AB ，
:BD = AB - AD = AC - AD = 2 - ，
在Rt△BCD 中
:tan15° = 2 - ．
【点睛】本题考查了解直角三角形，掌握特殊角的锐角三角形函数值是解题的关键．
16 ．(1)小红衣服中洗衣粉残留量y 与漂洗次数x 的函数表达式为 小敏衣服中洗衣粉 残留量y 与漂洗次数x 的函数表达式为
(2)把y = 0.5 分别代入这两个函数表达式，可得小红共用30L 水，小敏共用20L 水，小敏的 方法更值得提倡．
【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，读懂题意并且正确列出函数关系式是解题的关 键．
（1）设小红、小敏衣服中洗衣粉的残留量与漂洗次数的函数关系式分别为： 后根据题意代入求出k1 和k2 即可；
（2）由题意可知当 y = 0.5 时，求出此时小红和小敏所用的水量，进而进行比较即可．
【详解】（1）解：设小红、小敏衣服中洗衣粉的残留量与漂洗次数的函数关系式分别为：
将 和 分别代入两个关系式得：
解得：k1 = 1.5, k2 = 2 ，
:小红衣服中洗衣粉残留量y 与漂洗次数x 的函数表达式为 ，
小敏衣服中洗衣粉残留量y 与漂洗次数x 的函数表达式为 ；
（2）把 y = 0.5 分别代入两个函数得： 解得：x1 = 3, x2 = 4 ，
10 × 3 = 30 （L）， 5 × 4 = 20 （L）．
答：小红共用 30L 水，小敏共用20L 水，所以小敏的方法更值得提倡．
17 ．(1)2 米
(2)树高 7.7 米
【分析】此题考查了平行投影， 平行四边形的性质和判定，含30° 角直角三角形的性质，解 题的关键是掌握以上知识点．
（1）过 D 作DH丄 BC 于 H，根据含30° 角直角三角形的性质求解即可；
（2）过 H 作HE Ⅱ AD 交 AB 于 E，证明出四边形 AEHD 为平行四边形，得到AE = DH = 2
米，然后勾股定理求出CH ，然后根据 求出BE = 4 + ，进而求解即可．
【详解】（1）解：过 D 作DH丄 BC 于 H，
在Rt△CDH 中，上CHD = 90° , 上DCH = 30°
（2）解：过 H 作HE Ⅱ AD 交 AB 于 E，
: AE 丄 BC ，DH 丄 BC ， : AEⅡDH
:四边形AEHD 为平行四边形 : AE = DH = 2 米
在Rt△CDH 中，上CHD = 90° ,
: CH = = = 2 （米）
:BH = BC + CH = 8 + 2 （米）
解得BE = 4 +
: AB = AE + BE = 2 + 4 + = 6 + ≈ 7.7 （米）．
答：树高 7.7 米．
18 ．(1)见解析 (2)4
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解答本 题的关键．
（1）根据CD = CE ，可得上CDE = 上CED ，即有上ADB = 上AEC ，结合上DAC = 上B ，可得
△ACE ∽△BAD ；
（2）根据△ACE ∽△BAD ，可得 即 问题随之得解．
【详解】（1）∵ CD = CE ， : 上CDE = 上CED ，
∵ 上ADB = 180° - 上CDE ，上AEC = 180° - 上CED ，
: 上ADB = 上AEC ， ∵ 上DAC = 上B ，
:△ACE ∽△BAD ；
（2）∵在（1）中已证明△ACE ∽△BAD ，
∵ CE = 3 ，BD = 4 ，AE = 2 ，
: ED = AD - AE = 6 - 2 = 4 ．
19 ．(1) 68.6 度
(2)此时手绢端点C 与舞者距离在规定范围内，见解析
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
（1）由题意得 上ABN = 45° ,再根据锐角三角函数求出 上OBD 即可求解；
（2 ）过点C 作CE 丄 OD 于E ，解 Rt△OEC 和Rt△OEC 求出CE、BN 的长，进而求出手绢 端点C 与舞者距离即可判断求解．
【详解】（1）解：∵ 上ANB = 90° , 上NAB = 45° , : 上ABN = 45° ,
在Rt△BDO 中，cs 上OBD = : 上OBD ≈ 66.4° ,
: 上ABO = 180° - 45° - 66.4° = 68.6° ;
（2）解：在规定范围内，理由如下：
过点C 作CE 丄 OD 于E ，则 上OEC = 90° ,
∵ OC ^ OB ，
: 上BOC = 90° ,
∵ 上OBD = 66.4° ,
: 上BOD = 90° - 上OBD = 90° - 66.4° = 23.6° : 上COE = 90° - 上BOD = 90° - 23.6° = 66.4° ,
:在Rt△OEC 中，CE = OC·sin 上COE ≈ 25 × 0.92 = 23cm ， ∵在Rt△OEC 中，上NAB = 45° , AB = 40cm ，
: BN = AB·sin 上 ，
:此时手绢端点C 与舞者距离为100 - (28.28 +12 + 23) ≈ 36.7cm ， ∵机器人跳舞时规定手绢端点C 与舞者安全距离范围为30 ~ 40cm ， :此时手绢端点C 与舞者距离在规定范围内．
20 ．
(2) (4, 2)
【分析】题目主要考查一次函数与反比例函数的综合问题，包括确定反比例函数及一次函数 解析式，勾股定理解三角形，函数交点问题等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
（1）根据题意得出 AB = BC ，设 AB = BC = x ，根据勾股定理得出 AB = BC = 4 ，确定 A (2, 4) ，代入即可确定反比例函数解析式；
（2）利用待定系数法确定一次函数解析式，然后联立两个函数求交点即可． 【详解】（1）解：∵ AB ^ x 轴，上ACB = 45° ,
: 上ACB = 上BAC = 45° , : AB = BC ，
设AB = BC = x ，
2
解:2：= x(4=)，，
: AB = BC = 4 ， : OC = 6 ，
: OB = 2 ， : A (2, 4) ，
代入y = (x > 0) 得：k = 8 ，
: y = )；
（2）设直线 AC 的解析式为y = kx + b ，将点 A(2, 4)、C (6, 0)代入得：
í ,
ì2k + b = 4
l6k + b = 0
解得：
:直线AC 的解析式为y = -x + 6 ， 联立两个函数 ， 解得： 或
:点 D 的坐标为(4, 2) ．
21 ．(1) π (2)2
【分析】（1）连接OA,OB, OC ，由题意知上ABC = 上CAB ，上AOC = 上BOC ，AC = BC ，进
而得 Ð ABC = Ð CAB = 15° , 上AOC = 上BOC = 30° ,证明 △OAB 是等边三角形，得 OA = OB = AB = 10 ，再根据弧长公式计算即可得 的长；
（2）由上PAB = 90° 得BP 是ΘO 的直径，连接OC 交AB 于M 点，由垂径定理得AM = MB = 5 ， 证明OC 是△BPQ 的中位线，得OC = PQ = 13 ，由勾股定理得 OM = = 12 ， CM = OC - OM = 1，再由中位线的性质得 AQ = 2CM ，即可得出答案．
【详解】（1）解：连接OA,OB, OC ，
QC 是 的中点，
: AC = CB ，
:上ABC = 上CAB ，上AOC = 上BOC ，AC = BC ，
Q 上ACB = 150° ,
: Ð ABC = Ð CAB = 15° , :上AOC = 上BOC = 30° , :上AOB = 60° ,
QOA = OB ，
: △OAB 是等边三角形， : OA = OB = AB = 10 ，
（2）解：Q 上PAB = 90° , :BP 是ΘO 的直径，
连接OC 交AB 于 M 点，
: OC 丄 AB ，
: AM = MB = 5 ，
Q Ð PAB = Ð OMB = 90° , \ OC Ⅱ EH ，
: C 为BQ 的中点，
:OC 是△BPQ 的中位线， QEQ = 12 ，EP = 38 ，
: CM = OC - OM = 1 ，
Q CM 是 △ABQ 的中位线， : AQ = 2CM = 2 ．
【点睛】本题考查了圆周角定理，弧长公式，垂径定理，中位线的性质，勾股定理等知识， 掌握圆的相关知识是解题关键．
上上EOC ，证明见解析
【分析】（1）设反比例函数的解析式为 ，把点 E（3 ，4）代入即可求出 k 的值，进而 得出结论；
（2）由正方形 AOCB 的边长为 4，故可知点 D 的横坐标为 4，点 F 的纵坐标为 4．由于点 D 在反比例函数的图象上，所以点 D 的纵坐标为 3，即 D（4 ，3），由点 D 在直线 上可得出 b 的值，进而得出该直线的解析式，再把y=4 代入直线的解析式即可求出点 F 的 坐标；
（3）在 CD 上取 CG=AF=2，连接 OG，连接 EG 并延长交 x 轴于点 H，由全等三角形的判 定定理可知△OAF≥△OCG ，△EGB≥△HGC（ASA），故可得出 EG=HG，BE=CH=1，故可得 出 H 点的坐标，在 Rt △AOF 中，AO=4，AE=3，根据勾股定理得 OE=5，可知 OH=OE，即 OG 是等腰三角形底边 EF 上的中线．所以 OG 是等腰三角形顶角的平分线，由此即可得出 结论．
【详解】（1）设反比例函数的解析式 y = ， ∵反比例函数的图象过点 E（3 ，4），
: 4 = ，即 k=12．
:反比例函数的解析式为
（2）∵正方形AOCB 的边长为 4，
:点D 的横坐标为 4，点 F 的纵坐标为 4．
∵点D 在反比例函数的图象上，
:点D 的纵坐标为 3，即 D(4,3)， ∵点D 在直线上，
解得b = 5 ，
:直线DF 的解析式为 将y = 4 代入
得 解得x = 2 ， :点F 的坐标为(2, 4)；
（3）上上EOC ．
证明如下：如图，在CD 上截取CG = AF = 2 ，连接OG ，连接 EG 并延长交x 轴于点H ．
∵ AO = CO = 4, 上OAF = 上OCG = 90°, AF = CG = 2 ， :△OAF≥△OCG（SAS）．
: 上AOF = 上COG ．
∵上EGB = 上HGC, 上B = 上GCH = 90°, BG = CG = 2 ， :△EGB≥△HGC（ASA）．
: EG = HG ．
设直线EG 的解析式为y = mx + n (m ≠ 0)， ∵ E (3, 4) , G (4, 2) ，
解得 :直线EG 的解析式为y = -2x +10 ．
令y = -2x +10 = 0 ，得 x = 5 ．
: H (5, 0) , OH = 5 ．
在Rt△AOE 中，AO = 4, AE = 3 ，根据勾股定理 AE2 + AO2 = OE2 得OE = 5 ． : OH = OE ，
: OG 是等腰△OEH 底边EF 上的中线， : OG 是等腰△OEH 顶角的平分线，
: 上EOG = 上GOH ．
: 上EOG = 上GOC = 上AOF ，
即上上EOC ．
【点睛】本题考查的是反比例函数综合题， 涉及到正方形的性质、用待定系数法求一次函数 及反比例函数的解析式、等腰三角形三线合一的性质等相关知识．解答关键是应用数形结合 思想解答问题.
23．尝试：△ABB ' ~ △ACC ' ；拓展：CC ' = 4 ；应用：点C 的运动路径长为或 或 或 π 或2π .
【分析】尝试：根据△AB ¢C ¢ 是由△ABC 旋转得到的，可得到∠BAC=∠B¢AC ¢ , AB = AB ¢ ,
AC = AC ¢ , 即可推出 则△ABB¢∽△ACC¢ ;
拓展：由AC=BC，∠ACB=90°, 可得 ，同（1）可证△ABB¢∽△ACC¢ , 得到 ， 由此求解即可；
应用：分点B' 在AC 延长线上时，点B' 在CA 的延长线上时，当点B' 落在边BC 所在直线上 时，当点B' 落在边AB 所在直线上时，当点B' 与点B 重合时，点C 旋转一周时，五种情况 讨论求解即可得到答案．
【详解】解：尝试： △ABB¢∽△ACC¢ ,理由如下：
:△AB ¢C ¢ 是由△ABC 旋转得到的，
:∠BAC=∠B¢AC ¢ , AB = AB ¢ , AC = AC ¢ ,
AB AC
:∠BAC +∠CAB¢=∠B¢AC¢ + ∠CAB¢ ,即∠BAB¢=∠CAC¢ , = = 1，
:△ABB¢∽△ACC¢ ;
故答案为： △ABB¢∽△ACC¢ ;
拓展：:AC=BC，∠ACB=90° ,
: AB = = = AC ， 同（1）原理可证△ABB¢∽△ACC¢ ,
应用：:在Rt△ABC 中，AB = 2 ，上ABC = 30° , 上BAC = 60° ,
当点B' 落在AC 所在直线上时，有两种情况：①若点B' 在AC 延长线上时，如图①所示： 由旋转的旋转可得：上CAC ' = 上BAC = 60° ,
:点 C 运动的路径即为¢ ,
: ¢ = 60π × 1 = π ;
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②若点B' 在CA 的延长线上时，如图②所示，此时点B ，C ' ，B ' 三点共线， :点 C 运动的路径即为¢ ,
由旋转的性质可得上B¢AC ' = 上BAC = 60° ,
: 上CAC ' = 180° -∠B¢AC ¢ = 120° :旋转角= 360° -∠CAC¢ = 240° ,
当点B' 落在边BC 所在直线上时，如图③所示， :点 C 运动的路径即为¢ ,
由旋转的性质可得上B¢AC ' = 上BAC = 60° , : 上CAB ' = 180° -∠B¢AC ¢ -∠BAC = 60° ,
: 上CAC¢ = 上CAB¢ + 上B¢AC¢=120° :弧
当点B' 落在边AB 所在直线上时，如图④所示，此时点C ，A ，C ' 三点共线，旋转角为 180° ,
当点B' 与点B 重合时，点C 旋转一周， :弧CC ' = 2π ×AC = 2π .
:当点B 的对应点B' 恰好落在Rt△ABC 的边所在直线上时，点C 的运动路径长为或 或
或 π 或2π .
【点睛】本题主要考查了旋转的性质， 求弧长，相似三角形的性质与判定，勾股定理，解题 的关键在于能够熟练掌握相似三角形的性质与判定条件，以及弧长公式．