2024-2025学年广东省深圳市深圳高级中学[集团]七年级下学期期末数学检测试卷

这是一份2024-2025学年广东省深圳市深圳高级中学[集团]七年级下学期期末数学检测试卷，共29页。
初一数学
命题人：强萍萍 李莹 审题人：张林
注意事项：
1、答题前，考生务必在答题卡写上姓名、班级，准考证号用 2B 铅笔涂写在答 题卡上．
2、每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需 改动用橡皮擦干净后，再涂其它答案，不能答在试题卷上．
3、考试结束，监考人员将答题卡收回．
一、选择题（每小题只有一个选项，每小题 3 分，共计 24 分）
1 ．习近平总书记在一次中国品牌论坛开幕式中为品牌强国建设指明了前进方向，下列国货 品牌标志图案中不是轴对称图形的是( )
A ． B ． C ． D．
2．在高海拔（1500～3500m 为高海拔，3500～5500m 为超高海拔，5500m 以上为极高海拔） 地区的人有缺氧的感觉，下面是有关海拔高度与空气含氧量之间的一组数据：
在海拔高度 3000m 的地方空气含氧量是（ ）g/m3．
A ．299.3 B ．209.63 C ．182.08 D ．159.71
3 ．下列运算正确的是( )
A ．2a3 + 3a2 = 5a5 B ．a2 .a4 = a8
C ．a6 ÷ a3 = a2 D ．(-a2 )3 = -a6
4 ．如图， △ABC 中，AB = AC ，D 是BC 中点，下列结论中不正确的是( )
海拔高度/m
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
空气含氧量/ （g/m3）
299.3
265.5
234.8
209.63
182.08
159.71
141.69
123.16
A ．上B = 上C B ．AD 平分 ÐBAC
C ．AD 丄 BC D ．AB = 2BD
5 ．为落实全面推进乡村振兴战略，广饶某乡镇要修建一条灌溉水渠，水渠从 A 村沿北偏东 65° 方向到 B 村，从 B 村沿北偏西25° 方向到 C 村，如图所示，水渠从 C 村沿（ ）方向修 建可以保持与AB 的方向一致．
A ．北偏东65° B ．北偏西25° C ．北偏西65° D ．北偏东25°
6 ．如图，点 E 在BC 的延长线上，下列选项中，能判断ADⅡBC 的是( )
A ．上1= 上4 B ．上2 = 上5 C ．上4 = 上B D ．上1= 上3
7 ．下列说法正确的是( )
A ．掷一枚正方体骰子，偶数朝上这一事件是必然事件
B ．“在平面上任意画一个三角形，其内角和为180° ”这一事件是必然事件
C ．在单词bk （书）中任意选邦一个字母为 的概率为
D ．天气预报说明天的降水概率是90% ，则明天一定会下雨
8 ．三所学校分别记作 A 、B 、C，体育场记作 O，它是 △ABC 的三条角平分线的交点，O， A ，B ，C 每两地之间有直线道路相连，一支长跑队伍从体育场 O 出发，跑遍各校后返回 O 点，则所跑路线距离最短的是（已知AC > BC > AB ）( )
A ．OABCO B ．OACBO C ．OBACO D ．OBCAO
二、填空题（每小题 3 分，共计 15 分）
9 ．已知m - n = 2 ，m2 - n2 = 6，则 m + n 的值为 ．
10．把两个同样大小的含30° 角的直角三角板ABC 和三角板BAD 按如图所示放置，M 是AC 与BD 的交点，通过读刻度尺的数据，得CM 的长为4.5cm ，则点 M 到AB 边的距离是
cm ．
11 ．某市出租车白天的收费起步价为14 元，即路程不超过3 公里时收费14 元，超过部分每 公里收费2.4 元．如果乘客白天乘坐出租车的路程x(x >3) 公里，乘车费为y 元，那么y 与x 之间的关系式为
12 ．如图，已知点P 在直线l 外，按以下步骤作图：①在直线l 上任取一点A ，以点 A 为圆 心，以AP 的长为半径作弧，交直线l 于点B ，连接PB ；②以点P 为圆心，以PA 的长为半 径作弧；③以点A 为圆心，以PB 的长为半径作弧，交前弧于点C ，作直线PC ．若上PBA = 72° , 则 Ð BPC 的度数为 ．
13 ．如图，某社区公园的平面示意图为一个三角形区域ABC ，A 为公园主入口．已知
AB = AC = 600 米，上BAC = 100° , 为方便居民活动，计划在Ð ABC 的平分线BD 上设置一个 便民服务站 D（D 在AC 边上）；在BD 和BC 边上分别选取安装点 E、F，要求BE = CF ；沿 AE 、AF 铺设两条智能照明步道，已知步道建设成本为每米 400 元，为节省经费，这两条 步道总建设费用的最小值为 元．
三、解答题（共 10 小题，共 61 分）
14 ．先化简再求值：
(xy + 2)(xy - 2) - 9x2y2 + 4 ÷ (-4xy)，其中 x = 4 ，y = ．
15 ．如图，小亮站在河边的点 A 处，在河的对面（小亮的正北方向）的点 B 处有一电线塔， 他想知道电线塔离他有多远，于是他向正西方向走了 30 米到达一棵树点 C 处，接着再向前 走了 30 米到达点 D 处，然后他左转90。向南直行，当小亮看到电线塔、树与自己现处的位 置 E 在一条直线上时，他共走了 140 米．
(1)根据题意，画出示意图；
(2)求小亮在点A 处时他与电线塔的距离，并说明理由．
16．德国心理学家艾宾浩斯研究发现，遗忘在新事物学习之后立即开始，而且遗忘的进程并 不是均匀的．如果把学习后的时间记为 x（时），记忆留存率记为 y（%），则根据实验数据 可绘制出曲线（如图所示），即著名的“艾宾浩斯遗忘曲线” ．该曲线对人类记忆认知研究产 生了重大影响．
请认真观察图象，回答下列问题：
(1)这个变化过程中自变量是_______（填文字）；因变量是_______（填文字）
(2)请说明点 D 的实际意义．
(3)由图可知，知识记忆遗忘先_______后_______，记忆留存率随学习后时间的增长而逐渐 _______ ．（填序号）
①快；②慢；③增多；④减少．
(4)有研究表明，如及时复习，一天后记忆量能保持98% ，根据上述遗忘曲线规律制定两条 暑假学习计划．
17 ．图 1 是计算机“扫雷”游戏的画面，在9× 9 个小方格的雷区中，随机埋藏着 10 颗地雷， 每个小方格最多能埋藏 1 颗地雷．
(1)小明如果踩在图 1 中的任意一个小方格上，则踩中“地雷”的概率是_____；
(2)如图 2，小明先点一个小方格，显示数字 2，它表示围着数字 2 的 8 个方格中埋藏着 2 颗 地雷（图中包含数字 2 的黑框区域记为A ），若小明在区域 A 内围着数字 2 的 8 个方格中任 点一个，则踩中“地雷”的概率是_____；
(3)如图 2，为了尽可能不踩中“地雷”，小明的第二步应踩在A 区域内的小方格上还是应踩在 A 区域外的小方格上？并说明理由．
18 ．【阅读材料】
我国著名数学家华罗庚教授曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休” ．数形结合就是把 抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形结合起来，可以使复杂、难懂的问题具体化， 从而把握数学问题的本质，实现优化解题的目的．例如，教材在探究平方差公式与完全平方 公式时，就利用了数形结合的方法．
【类比探究】
（1）利用图 1 中面积的等量关系可以得到的数学公式为_______（请填序号）．
① (a + b)(a - b) = a2 - b2 ② (a - b)2 = a2 - 2ab + b2
③ a(a + b) = a2 + ab ④ a(a - b) = a2 - ab
【解决问题】
（2）利用【类比探究】中得到的结论，解决下列问题：
①已知a - b = 3, a2 + b2 = 5 ，则 ab = _______；
②若(6+ x)x = 7 ，求 (6 + x)2 + x2 的值；
【拓展应用】
（3）如图，点 E 是线段AB 上的一点，在线段AB 的同侧作以AB、BE 为边的正方形，设 AE = 6 ，两正方形的面积和为 50，求图中阴影部分面积．
19 ．探究活动：折叠中的对称之美 【初步探究】
在学习了轴对称的知识后，老师告诉大家： “ 折叠中隐含着许多轴对称问题． ” 为了深入理 解，小明决定动于实验．他拿出一张长方形纸片ABCD，其中， AB∥CD ，AD ⅡBC ．他 在边AD 上取一点E ，在边BC 上取一点F ，并将纸片沿直线 EF 折叠，使得点C 落在新位 置C¢ ,如图1，小明发现△GEF是等腰三角形；
（1）请结合图 1 证明△GEF是一个等腰三角形（即GE = GF ）
【深入探究】
小明又沿着对称轴GH 折叠，使得点E 与F 重合，展开后如图2 ，GH 与EF 交于点O ，连 接EH后，他想进行以下探究活动：
活动 1（计算面积）：
若测量得EF = 10 ，GH = 8 ，求四边形 GFHE 的面积；
活动 2（证明性质）：
小明发现四边形GFHE 的四条边均相等，你能证明吗？
（2）请选择以上任意一个活动完成．
20．在城市规划中，工程师们正在设计一座新的桥梁．桥梁的主结构由多个三角形支撑构成， 以确保其稳定性．为了优化材料的使用和承重分布，工程师需要精确计算各个支撑杆的长度 和角度．
(1)等边三角形支撑的初步计算：
桥梁的一个主要支撑结构是一个等边三角形ABC ，其边长为5 米．为了加强支撑，工程师 在AC 边上选择了一个点D ，并从D 点平行于BC 方向铺设了一根长度为1米的加固杆DF 同 时，从B 点向外延伸1米到E 点，连接DE 与AB 相交于P ，请计算 PF 的长度．
(2)可变尺寸的等边三角形支撑：
现在，工程师考虑用不同尺寸的等边三角形支撑，其边长为a 米．同样地，从D 点平行于BC 铺设长度为b 米的加固杆DF ，并延长 CB 至点E 使得BE = b 米．为了进一步加固，从P 点 垂直(PG 丄 AB ) 设置一根支柱，与BC 交于G ，请计算 FG 的长度．
(3)非等边三角形支撑的特殊条件：
在另一个设计中，支撑结构不再是等边三角形，工程师在AC 边上选择D 点，并从D 点垂直 向下(DF 丄 BC) 设置测量杆DF．他们发现主梁AB 与斜拉索DE 的长度相等(AB = DE )，并 且上A + 上E = 上C ，请证明 BE = 2CF ．
1 ．A
【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别， 根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如 果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图 形，这条直线就叫做对称轴．
【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项符合题意；
B、是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C、是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D、是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选：A．
2 ．B
【分析】根据“用表格表示变量之间的关系”的方法，结合表格中的数据可得答案． 【详解】解：根据表格中，海拔高度与空气含氧量的对应值可得，
当海拔高度为 3000m 时，对应的空气含氧量为209.63g/m3， 故选：B．
【点睛】本题考查了用表格表示变量之间的关系，理解表格中两个变量的对应值的意义是正 确判断的前提．
3 ．D
【分析】本题考查了同底数幂的乘法， 同底数幂的除法，幂的乘方，合并同类项，熟练掌握 公式和运算的法则是解题的关键．根据运算法则逐一计算判断即可．
【详解】解：∵ a2，a3 不是同类项，无法计算，错误， 故 A 不合题意．
∵ a2 .a4 = a6 ，错误， :B 不合题意．
∵ a6 ÷ a3 = a3 ，错误， :C 不合题意．
∵ (-a2 )3 = -a6 ，正确， :D 合题意．
故选：D．
4 ．D
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，根据等腰三角形三线合一的性质可得 AD T BC ， AD 平分7BAC ，从而判断 B 与 C 正确； 由等腰三角形等边对等角的性质可判断 A 正确； 根据已知条件不能判断 D 正确．
【详解】解：∵ △ABC 中，AB = AC ，D 是BC 中点
: AD 丄 BC，上B = 上C，上BAD = 上CAD ，即 AD 平分7BAC ， 故 A 、B 、C 三项正确， D 不正确．
故选：D．
5 ．A
【分析】本题考查了方位角、平行线的性质， 熟练掌握平行线的性质是解题关键．如图（见 解析），延长BC 至点 G，先根据平行线的性质可得上1 = 90°, 上2 = 25° , 再根据平行线的性质 可得上BCE = 上1 = 90° ,然后根据平角的定义可得 上3 = 65° ,最后根据方位角的定义即可得 出答案．
【详解】解：如图，延长 BC 至点 G，
由题意得：AM Ⅱ BN Ⅱ CF ，
: 上1 = 180° - 65° - 25° = 90° , 上2 = 25° , 要使CE 与AB 的方向一致，则CE Ⅱ AB ， : 上BCE = 上1 = 90° ,
: 上3 = 180° - 上BCE - 上2 = 65° ,
即水渠从 C 村沿北偏东65° 方向修建，可以保持AB 的方向一致， 故选 A．
6 ．D
【分析】本题考查了平行线的判定定理，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键． 结合图形根据平行线的判定定理对选项逐一判断即可求解．
【详解】A 、上1 = 上4 ，不能得到 ADⅡBC ，故 A 选项不合题意．
B 、上2 = 上5 ，不能判断 ADⅡBC ，故 B 选项不符合题意．
C 、上4 = 上B ，则可判断 ABⅡCD ，故 C 选项不符合题意．
D 、上1 = 上3 ，则 ADⅡBC ，故 D 选项符合题意． 故选：D．
7 ．B
【分析】本题考查了事件的分类， 三角形内角和，概率等知识，掌握随机事件，必然事件的 概念是解题的关键．
必然事件：在一定条件下必然会发生的事件；不可能事件：一定不会发生的事件；随机事件： 介于必然事件和不可能事件之间，可能发生也可能不发生的事件；由此即可求解．
【详解】解： A、掷一枚正方体骰子，偶数朝上这一事件是随机事件，故原选项错误，不符 合题意；
B、在平面上任意画一个三角形，其内角和为180。”这一事件是必然事件，故原选项正确， 符合题意；
C、在单词 bk （书）中任意选择一个字母为 的概率为 ，故原选项错误，不符合题意；
D、天气预报说明天的降水概率是90% ，则明天不一定会下雨，故原选项错误，不符合题意； 故选：B．
8 ．A
【分析】利用三角形全等的判定和性质，根据两点之间线段最短，列出路程和比较解答即可． 本题考查了三角形全等的判定和性质，两点之间线段最短，熟练掌握原理是解题的关键．
【详解】解：在 AC 上截取AE = AB ，
: △BAO≌△EAO (SAS) ， : OB = OE ，
A. OABCO 的线段表示为：OA + AB + BC + CO , B. OACBO 的线段表示为：OA + AC + CB + BO , C. OBACO 的线段表示为：OB + BA + AC + CO , D. OBCAO 的线段表示为：OB + BC + CA + AO , : OA + AC + CB + BO - (OA + AB + BC + CO )
= AC + BO - AB - CO
= AC + OE - AE - CO = OE + CE - OC ， : OE + EC > OC ，
: OA + AC + CB + BO > OA + AB + BC + CO ， 故 B 不符合题意；
在AC 上截取CB = CF ，
: △BCO≌△FCO (SAS) ， : OB = OF ，
又OB + BA + AC + CO - (OA + AB + BC + CO )
= OB + AC - OA - BC
= OB + AF + FC - OA - BC ，
= OF + AF - OA
: OF + AF > OA ，
: OB + BA + AC + CO > OA + AB + BC + CO ， 故 C 不符合题意；
OB + BC + CA + AO - (OA + AB + BC + CO)
= OB + CA - AB - CO
= OB + EC + AE - AB - CO ．
= OE + EC + AB - AB - CO = OE + EC - CO ， ∵ OE + EC > OC ，
: OB + BC + CA + AO > OA + AB + BC + CO ， 故 D 不符合题意；
故选：A．
9 ．3
【分析】此题考查了平方差公式，熟练掌握 m2 - n2 = (m + n)(m - n)是关键．根据题意得到
m - n = 2 ，m2 - n2 = (m + n)(m - n) = 6 ，即可求出答案． 【详解】解：∵ m - n = 2 ，m2 - n2 = (m + n)(m - n) = 6 ， : 2 (m + n) = 6
即 m + n = 3
故答案为：3
10 ．4.5
【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线的性质定理是解题关 键．先证出BD 平分Ð ABC ，再根据角平分线的性质定理求解即可得．
【详解】解：由题意可知，上ABD = 上BAC = 30。，上C = 90。， : 上ABC = 60。= 2上ABD ，即 BD 平分 Ð ABC ，
则由角平分线的性质定理得：点M 到AB 边的距离等于CM 的长，即为4.5cm ，
故答案为：4.5 ．
11 ．y = 2.4x + 6.8
【分析】本题考查了一次函数的应用，根据题意找到所求量的等量关系是解决问题的关 键．根据乘车费用= 起步价+ 超过3 千米的费用，即可求解．
【详解】解：依题意得：y = 14+2.4(x -3) = 2.4x +6.8，
故答案为：y = 2.4x + 6.8 ．
12 ．108。##108 度
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质， 平行线的判定，熟练掌握各知识点是解题的 关键；由作图可得：AB = AP = PC ，AC = PB ，可证明△ABP≌△PAC(SSS) ，得到对应角 相等，再根据平行线的判定，即可求解．
【详解】解：连接 AC ，由作图可得：AB = AP = PC ，AC = PB ，
:△ABP≌△PAC(SSS) ， : 上PAB = 上APC ，
: PC P l ；
: 上PBA = 72。，
: Ð BPC = 180。- 上PBA = 108。
故答案为：108。．
13 ．240000
【分析】线段 AC 绕点 C 逆时针旋转60。得到线段CA¢ ,连接 A¢F 、AA¢ ,则 AC = A¢C ，
上ACA¢ = 60。，由角平分线的定义证得上ABE= 上A¢CF ，进而证得 △ABE≌△A¢CF (SAS ) ，得 AE = A¢F ，可得当点 A、F、A¢ 三点共线时，AE + AF 的值最小，最小值为AA¢ , 再根据等 边三角形的判定与性质求解即可．
【详解】解：线段AC 绕点 C 逆时针旋转60。得到线段CA¢ , 连接A¢F 、AA¢ , 则AC = A¢C ， 上ACA¢ = 60。，
: AB = AC = 600 ，上BAC = 100。，
: AB = A¢C ，上ABC = 上ACB = 40。，
:上A¢CF = 20。，
: BD 平分 Ð ABC ，
:上ABE = 上A¢CF ，
又Q BE = CF ，
: △ABE≌△A¢CF (SAS )，
: AE = A¢F ，
: AE + AF = A¢F + AF ≥ AA¢ ,
:当点A 、F、A¢ 三点共线时，AE + AF 的值最小，最小值为AA¢ ,
: AC = A¢C ，上ACA¢ = 60。， :△ACA¢ 是等边三角形，
: AA¢ = AC = 600 ，
:步道建设成本为每米 400 元，
:这两条步道总建设费用的最小值为600 × 400 = 240000 元， 故答案为：240000．
【点睛】本题考查旋转的性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的定义、三角形的三边 关系，正确作出辅助线，构造全等三角形是解题的关键．
14 ．2xy ，4
【分析】本题考查了整式的混合运算- 化简求值，先根据整式的运算法则进行化简，再把x、y 的值代入到化简后的结果中计算即可求解，掌握整式的运算法则是解题的关键．
【详解】解： (xy + 2)(xy - 2) - 9x2y2 + 4 ÷ (-4xy)
= (x2y2 - 4) - 9x2y2 + 4 ÷ (-4xy)
= (-8x2y2 ) ÷ (-4xy)
= 2xy ．
当 时，
原式
15 ．(1)见详解
(2)80 米，理由见详解
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质的实际应用．掌握全等三角形的判定方法是解答 本题的关键．
（1）根据题意可判断 AC = CD = 30 米，ED = 140 - AC - CD = 80 米，即可画出示意图．
（2）根据题意直接利用“ASA ”可判断 △BAC≌△EDC ，根据全等三角形的性质可得出 AB = ED = 80 米
【详解】（1）解：根据题意可知AC = CD = 30 米，ED = 140 - AC - CD = 140 - 30 - 30 = 80 米． 故可画示意图如下：
（2）根据题意可知：上BAC = 上EDC = 90。，
:在 △BAC 和△EDC 中 上 ， : △BAC≌△EDC(ASA) ，
: AB = ED = 80 米
:小刚在点A 处时他与电线塔的距离为 80 米．
16 ．(1)学习后的时间；记忆留存率
(2)点 D 的实际意义是学习第 24 小时，记忆留存率为33.7%
(3)① , ② , ④
(4)暑假的学习计划两条：①每天上午、下午、晚上各复习 10 分钟；②坚持每天复习，劳 逸结合
【分析】本题考查了函数的图象，读懂题目信息并准确识图理解函数图象的横坐标与纵坐标 的实际意义是解题的关键．
（1）根据函数的概念，结合体函数图象，即可求解；
（2）根据点的坐标的意义即可解答；
（3）根据函数的图象可解；
（4）提出一条合理的建议即可．
【详解】（1）这个变化过程中自变量是学习后的时间；因变量是记忆留存率， 故答案为：学习后的时间；记忆留存率．
（2）D 的实际意义是学习第24 小时，记忆留存率为33.7%
（3）由图形知，知识记忆遗忘是先快后慢，记忆留存率随学习后时间的增长而逐渐减少， 故答案为：① , ② , ④;
（4）暑假的学习计划两条：①每天上午、下午、晚上各复习 10 分钟；②坚持每天复习， 劳逸结合
17 ．(1)
(3)应踩在 A 区域外．见解析
【分析】本题考查了利用概率公式计算，解题关键是掌握概率公式．
（1）直接利用概率公式计算即可；
（2）直接利用概率公式计算即可；
（3）比较两个概率的大小，从而得出结论．
【详解】（1）解：:在9× 9 个小方格的雷区中，随机地埋藏着10 颗地雷，每个小方格最多能 埋藏 1 颗地雷，
:小明如果踩在图 1 中的任意一个小方格上，则踩中“地雷”的概率是 ；
故答案为： ；
（2）若小明在区域 A 内围着数字 2 的 8 个方格中任点一个，则踩中“地雷”的概率是 故答案为：
（3）小明的第二步踩在 A 区域的小方格上，可能踩中地雷的概率是 ，
小明的第二步踩在 A 区域外的小方格上，可能踩中地雷的概率是 ，
1 1
∵ > ，
4 9
:为了尽可能不踩中“地雷”，小明的第二步应踩在 A 区域外的小方格上．
18 ．（1）②；（2）① -2 ；②50；（3）
【分析】本题考查了完全平方公式，熟练地进行计算是解题的关键．
（1）阴影部分是边长为a - b 的正方形，可以看作大正方形面积减去空白部分的面积，根据 面积相等可得(a - b)2 = a2 - 2ab + b2 ；
（2）①根据完全平方公式变形，即可求解;
②设a = 6 + x ，b = x ，则 a - b = 6 ，ab = (6 + x)x =7 ，进而根据完全平方公式变形计算即 可求解;
（3）设 AB 长为x, BE 长为y，根据题意得到 x2 + y2 = 50 ，然后求出 (x -y)2 = 36 ，然后利用 完全平方公式的变形求解即可.
【详解】解：（1）利用图 1 中面积的等量关系可以得到的数学公式为(a - b)2 = a2 - 2ab + b2 ; 故答案为：②;
（2）① Qa - b = 3 ，a2 + b2 = 5，而 (a - b)2 = a2 - 2ab + b2 ，
:9 = 5 - 2ab ，
:ab= -2，
故答案为：-2 ；
②设a = 6 + x ，b = x ，则 a - b = 6 ，ab = (6 + x)x = 7 ， : (6 + x)2 + x2
= a2 + b2
= (a - b)2 + 2ab
= 36 +14
= 50 ；
（3）设 AB 长为x, BE 长为y， 两正方形的面积和为 50，
AB2 + BE2 = 50 ，
:x2 + y2 = 50 ，
Q AE = 6 ，
: AE = AB - BE = x - y = 6 ，
:(x - y)2 = 36 ，
x2 + y2 - 2xy = 36 ，
50 - 2xy = 36 ， 2xy = 14 ，
xy = 7 ，
:阴影部分的面积
19 ．（1）见解析；（2）活动一：40；活动二：见解析
【分析】本题考查平行线的判定和性质， 折叠的性质，等角对等边，以及全等三角形的性质 与判定；掌握折叠的性质是解题的关键．
（1）根据折叠可得上1 = 上2 ，根据平行线的性质可得上1 = 上3 ，即可得出 Ð 2 = Ð 3 ，根据等 角对等边，即可得证；
（2）活动一：根据折叠的性质可得 EF 丄 GH ，进而根据S四边形GFHE = S△GEH + S△AGFH ，即可 求解．
活动二：根据折叠的性质，证明△GEO≌△HFO(ASA ) ，进而得出 GE = HF ，即可得证． 【详解】（1）Q第一次折叠，:上1 = 上2
又Q AD Ⅱ BC ，: Ð 1 = Ð 3 ，
:上2 = 上3 ，
: GE = GF
（2）活动一：
Q第二次折叠，对称轴是GH ，:EF 丄 GH
S四边形GFHE = S△GEH + S△AGFH
1 1
= GH . OE + GH . OF
2 2
= = GH . EF
8 = 40
活动二：Q第二次折叠，
: GE = GF ，EH = FH ，OE = OF ，EF 丄 GH
又Q AD Ⅱ BC ，
: Ð 1 = Ð 3
在△GEO 和 △HFO 中
ï
í OE = OF
ì 上1= 上3
ïl上GOE = 上HOF
: △GEO≌△HFO(ASA )
: GE = HF ，
:GE = HE = HF = GF
20 ．(1) 2
(2) FG = a - b
(3)见解析
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定， 等边三角形的性质与判定，垂直平分线的性 质；熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键；
（1）先证明 △AFD 是等边三角形，根据平行线的性质可得出上FDP = 上BEP ，证明
△DPF≌△EPB ，即可得证；
（2）由（1）可得， △DPF≌△EPB ，且 BP = PF ，证明 △BGF 是等边三角形，即可求解；
（3）延长 AC 至G ，使 AB = BG ，过点G 作GH丄 BC 交BC 的延长线于点H ，连接 BG ， 证明 △DEF≌△GBH (AAS) ，进而证明 △DFC≌△GHC (AAS) ，根据线段的和差关系，即可求 解．
【详解】（1）解：Q△ABC 是等边三角形， :上ABC = 上ACB = 上A = 60。，
QDF Ⅱ BC ，
:上AFD = 上ABC ， 上ADF = 上ACB ，
:上AFD = 上ADF = 上A = 60。， :△AFD 是等边三角形，
: AD = AF = DF = 1 ，BF = 4 ，
QDF Ⅱ BC ，
:上FDP = 上BEP ，
在 △DPF 和 △EPB 中，
ï
í上FPD = 上BPE
ì上FDP = 上BEP
ïlDF = BE
:△DPF≌△EPB (AAS)， : PF = BP = BF = 2
（2）由（1）可得， △DPF≌△EPB ，且 BP = PF
Q PG 丄 AB ，
:PG 为BF 的垂直平分线，
:FG = BG ，
Q 上ABC = 60。，
:△BGF 是等边三角形， :FG = BF ，FD = AF ， 即FG = a - b ；
（3）证明：延长AC 至G ，使AB = BG ，过点G 作GH丄 BC 交BC 的延长线于点H ，连接
BG
Q AB = BG ，AB = DE ，
:上A = 上BGA ，BG = DE ，
Q 上A + 上E = 上ACB ， 上BGA + 上CBG = 上ACB ，
:上E = 上GBH ，
在 △DEF 和 △GBH 中，
:△DEF≌△GBH (AAS) ， :DF = HG ，EF = BH ， 在 △CFD 和 △CHG 中，
:△DFC≌△GHC (AAS) ，
: FC = HC ，
Q EF = BH ，
: EB + BF = FH + BF ，
: EB = FH ，
: FC = BE 即BE = 2CF ．