2024-2025学年北京清华大学附属中学下学期八年级数学期末试卷

这是一份2024-2025学年北京清华大学附属中学下学期八年级数学期末试卷，共52页。试卷主要包含了填空题，解答题，附加题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共 24 分，每题 3 分，第 1-8 题均有四个选项，符合题意的选项只
有一个）
1 ．下列图形中，是中心对称图形的是( )
A．
B．
C．
D．
2 ．如图，在四边形ABCD 中，ADⅡBC ，要使四边形 ABCD 成为平行四边形,则应添加的 条件是( )
A ．AB = CD B ．AC = BD C ．AD = AB
D ．上ABC + 上BCD = 180°
3 ．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y= x2 向左平移 1 个单位长度得到的抛物线为( )
A ．y = (x + 1)2 B ．y = (x -1)2 C ．y = x2 +1 D ．y = x2 -1
4 ．某校为了解学生对“生命，生态与安全”课程的学习掌握情况，从八年级学生中随机抽取 了 24 名学生进行综合测试．本次测试共有 10 道题目，答对题数情况如下表：
则本次测试学生答对题数的中位数和众数分别是( )
A ．7 和 7 B ．7 和 8 C ．8 和 7 D ．8 和 8
5 ．一次函数y = ax + b 的自变量和函数值的部分对应值如下表所示：
则关于 x 的不等式ax + b > x 的解集是( )
答对题数（道）
6
7
8
9
10
人数
3
8
6
5
2
x
0
5
y
3
5
A ．x < 5 B ．x > 5 C ．x < 0 D ．x > 0
6．把长为 2 m 的绳子分成两段，使较长一段的长的平方等于较短一段的长与原绳长的积．设 较长一段的长为 x m，依题意，可列方程为( )
A ．x2 = 2(2 - x) B ．x2 = 2(2 + x) C ．(2 - x)2 = 2x D ．x2 = 2 - x
7．如图，将 △ABC 绕点 B 顺时针旋转90° 得到 △DBE ，A ，C 的对应点分别为 D，E，AC 的 延长线分别交BD ，DE 于点 F，G，下列结论正确的是( )
A ．AC = CG B ．上ABC = 上BDE C ．AG 丄 DE D ．BC∥DE
8 ．已知点A(2, c) ，B (b, n) ，D (1, d) 都在二次函数y = ax2 + bx + c (a > 0) 的图象上．则下列 结论正确的是( )
B ．a - b < 0 C ．d - n > 0 D ．n - c > 0
二、填空题（共 24 分，每题 3 分）
9 ．在平面直角坐标系xOy 中，点(-3,5) 关于原点的对称点是 ．
10 ．关于x 的方程x2 - 6x + 2m -1 = 0有两个相等的实数根，则m 的值是 ．
11 ．如图， △ABC 绕某点旋转得到 △DEP ，则其旋转中心的坐标是 ．
12 ．一次数学实践活动中，小组的综合成绩由小组自评、组间互评和教师评价三部分组成， 各部分成绩均按百分制计，然后再按小组自评占30% 、组间互评占30% 、教师评价占40% ， 计算小组的综合成绩，甲、乙两个小组各部分的成绩如下表所示， 则 组的综合成 绩更高（填“甲”或“乙”）．
13 ．如图，在菱形ABCD 中，AC 、BD 交于点 O ，DE 丄 BC 于点 E，连接OE ，若 OE = 2, AC = 6 ，则菱形 ABCD 的面积为 ．
14．如图，在 △ABC 中，上ACB = 90° , 将△ABC 绕点 C 顺时针旋转得到△EDC ，若点 B 的 对应点 D 恰好落在边AB 上，AC ，ED 交于点 F，设 上BCD = a ，则 Ð AFE 的度数是 （用含有 α 的式子表示）．
15 ．二次函数y = ax2 + bx + c (a ≠ 0) 的部分图象如图所示，该图象的对称轴是直线x =1 ，图 象与y 轴交点的纵坐标是 2，图象与 x 轴交点的横坐标分别为x1, x2 ，且满足
x1 < 2 < x2 < 3 ．根据以上信息，给出下面四个结论：
。 2a + b = 0 ；
小组
小组自评
组间互评
教师评价
甲组
95
85
85
乙组
90
90
88
② b - a > 2 ；
③当-1 ≤ x ≤ 2 时，3a + 2 ≤ y ≤ 2 ；
④抛物线上有两点 若y1 > y2 ，则 ． 上述结论中，所有正确结论的序号是 ．
16 ．如图 1，在 △ABC 中，上BCA = 90° , AB = 5 ，将其分割成Ⅰ 、Ⅱ 、Ⅲ三部分，然后再拼 成如图 2 的菱形PQMN （不重叠、无缝隙），若 NH - PG = 1，则QH 的长为 ．
三、解答题（共 52 分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程）
17 ．解方程：
(1) x2 - 4x + 2 = 0 ；
(2) 2x2 + 2x - 3 = 0 ；
(3) x (x - 2) = 3x - 6 ．
18 ．已知抛物线y = ax2 + bx - 3(a ≠ 0) 经过点(-2，5) ，它的对称轴是直线 x =1 ，求这条抛物 线的函数表达式．
19 ．平面直角坐标系xOy 中，一次函数y = x + b(k ≠ 0) 的图象与函数y = 2x 的图象交于点 (1，m)．
(1)求b，m 的值；
(2)当x < 2 时，对于x 的每一个值，函数y = x + b(k ≠ 0) 的值大于函数y = 2x + n 的值，直接写 出n 的取值范围．
20 ．已知关于x 的一元二次方程x2 - 2kx + 2k - 1 = 0 ．
(1)请判断这个方程根的情况；
(2)若该方程有一个根小于 1，求 k 的取值范围．
21 ．如图，在。ABCD 中，AE 丄 BC ，点 F 在AD 上，且BE = DF ，连接CF ．
(1)求证：四边形AECF 是矩形；
(2)连接BF ，若 BF 平分 Ð ABC ，AB = 6 ，上ABC = 60° ,求。ABCD 的面积．
22．北京体育中考现场考试包括两个项目：素质项目和运动能力项目，在素质项目中，女子 800m 的评分标准如表 1 所示：
表 1
在女子 800m 的考试现场，A ，B 两名同学被分到同一个小组．她们同时出发，当跑步的时 间为 t（单位：s ）时，A 同学跑步的路程为S1 （单位：m ），B 同学跑步的路程为S2 （单位： m ）．为了取得更好的成绩，每名同学都会根据自身情况制订跑步策略，A 同学的策略是先 加速跑再匀速跑，最后加速冲刺；B 同学的策略是先加速跑再匀速跑．A ，B 两名同学现场 考试的部分数据如表 2 所示：
时间
3¢55¢¢
4¢01¢¢
4¢08¢¢
4¢ 16¢¢
4¢25¢¢
4¢35¢¢
4¢45¢¢
4¢49¢¢
4¢53¢¢
分值
8
7.5
7
6.5
6
5.5
5
4.5
4
时间
4¢57¢¢
5¢02¢¢
5¢07¢¢
5¢ 12¢¢
5¢ 19¢¢
5¢26¢¢
5¢35¢¢
5¢36¢¢
分值
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
时间 r
（s）
0
20
40
60
80
120
160
180
200
220
260
路程
S1
（m）
0
25
100
225
400
500
600
650
800
路程
S2
（m）
0
12.5
50
112.5
200
450
550
600
650
a
800
\l "bkmark1" 表 2
\l "bkmark2" (1)a 的值为．
(2)请根据表 2 中的数据在下面的平面直角坐标系中补全S2 的图象．
(3)根据以上信息，给出下面三个结论：
①当20 ≤ t ≤ 200 时，A 同学一直在 B 同学的前面：
②B 同学可以得到6.5 分；
③两名同学在匀速跑步阶段速度相同：
上述结论中，所有正确结论的序号是______．
(4)假如 B 同学的匀速跑速度不变，且在120s 时恰好跑了500m ，则 B 同学可以得到______ 分．
23 ．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y = ax2 - 2a2x(a ≠ 0) 经过A(1- a, y1 ), B(m, y2 ) 两 点．
(1)若y1 = y2 ，求 m 的值（用含 a 的式子表示）；
(2)若对于2 < m < 3，都有 y1 > y2 ，求 a 的取值范围．
24 ．已知 E 为正方形ABCD 内部一点，且满足AE = AB ，连接 AE ，BE ，DE ．
(1)如图 1，若 DE = AD，求 上BED 的大小；
(2)如图 2，连接CE ，将线段CE 绕点 C 顺时针旋转90° 到线段CF ，连接 BF ，射线 DE 交线 段BF 于点 M．
①依照意补全图2；
@用等式表示线段BM 与MF 的数量关系，并证明．
四、附加题（共 20 分）
25 ．如图，在Rt△ABC 中，上ACB = 90° , 上A = 30° , 将Rt△ABC 绕点C 顺时针旋转90° 得 到 △DEC ，点M ，N 分别为AB ，DE 的中点，连接CM ，CN ，MN ，若MN = 4 ，则AC 的长为( )
A ．2 B ．4 C ． D ．
26 ．已知实数 m ，n 满足m - n2 = 2 ，则代数式 m2 + 2n2 + 4m - 3的最小值等于( )
A ．9 B ．6 C ．-8 D ．-16
27 ．已知二次函数y = x2 - 2tx + 4 在0 ≤ x ≤ 2 范围内的最小值不小于 3，则实数 t 的取值范围 是 ．
28 ．如图，M 是等腰直角三角形ABC 的边BC 的中点，且AB = 4 ，P 是平面内一动点，且 与点 M 之间的距离为 1，连接AP ，将线段AP 绕点 A 逆时针旋转90° , 得到线段AQ ，连接 MQ ，则MQ 的最小值为 ．
29．在平面直角坐标系xOy 中，对于图形 M，线段AB 和点 C，若在图形 M 上存在点 P，使 线段CP 的中点在线段AB 上，则称 C 为图形 M 关于线段AB 的“扩充点”．
(1)如图，点A(2,0) ，B (0, 2) ，在点C1 (-2,0) ，C2 (-1, 2) ，C3 (-3, 2) 中，△AOB 关于线段OB 的“扩充点”是______；
(2)已知点D(a,0) ，E (a, 2) ，F (b, 2) ，G (b,0)，其中 a < b ，直线l ：y = kx + 3．
①H 是直线 l 上的一个动点，当a = 0 ，b = 4 ，k = 2 时，若 H 为四边形DEFG 关于线段DE 的“扩充点”，直接写出点 H 的横坐标 h 的取值范围；
@连接EG ，T (t,1) 为线段EG 的中点，当a = t -1，k = t - 3 时，若直线 l 上存在四边形DEFG 关于线段EG 的“扩充点”，直接写出 t 的取值范围．
1 ．C
【分析】此题主要考查了中心对称图形的定义，根据中心对称图形的定义旋转180° 后能够 与原图形完全重合即是中心对称图形即可判断出．
【详解】解：A 、B 、C 不是中心对称图形，C 是中心对称图形， 故选：C．
2 ．D
【分析】根据平行四边形的判定方法进行判断即可．
【详解】解：A ．根据ADⅡBC ，AB = CD 无法判断四边形ABCD 是平行四边形，故 A 错 误；
B ．根据ADⅡBC ，AC = BD 无法判断四边形ABCD 是平行四边形，故 B 错误；
C ．根据ADⅡBC ，AD = AB 无法判断四边形ABCD 是平行四边形，故 C 错误；
D ．∵ 上ABC + 上BCD = 180° , : ABⅡCD ，
∵ ADⅡBC ，
:四边形ABCD 是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形），故 D 正确． 故选：D．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定方法， 两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
3 ．A
【分析】此题考查了二次函数图象的平移，根据“左加右减，上加下减”规律进行解答即可． 【详解】解： 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y= x2 向左平移 1 个单位长度得到的抛物线 为y = (x + 1)2 ，
故选：A
4 ．C
【分析】本题考查了求众数和中位数， 一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数 据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数 就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数 据的中位数，据此求解即可．
【详解】解：由表格知，答对题数为 7 道的有 8 人，人数最多，
所以本次测试学生答对题数的众数是 7； 因为共有 24 人，
所以中位数是排序后第 12 ，13 名的平均数，即 ， 故选：C．
5 ．A
【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，先根据待定系数法求出一次函数的解析式， 再解不等式求解．
【详解】解：将 (0, 3)，(5, 5) 代入y = ax + b
解得： : y = 0.4x + 3 ，
: 0.4x + 3 > x ， 解得：x < 5 ，
故选：A．
6 ．A
【分析】由题意依据较长一段的长的平方等于较短一段的长与原绳长的积建立方程即可得出 答案.
【详解】解：设较长一段的长为 x m，则较短一段的长为（2-x ）m， 由题意得：x2 = 2(2 - x) .
故选：A.
【点睛】本题考查一元二次方程的实际运用，根据题意找出题目蕴含的数量关系是解决问题 的关键．
7 ．C
【分析】本题考查旋转的性质、平行线的判定，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键． 由旋转得上A = 上D, 上ABD = 90° ,可得 上A + 上AFB = 90° ,进而可得 上D + 上DFG = 90° ,则
上DGF = 90° ,即 AG 丄 DE ，从而可得答案．
【详解】解：: △ABC 绕点B 顺时针旋转90° 得到 △DBE ，
:上A = 上D, 上ABD = 上CBE = 90°, 上E = 上ACB ，AC = DE，上ABC = 上DBE ，
:上CBE + 上E ≠ 180°, 上A + 上AFB = 90° ,
Q 上AFB = 上DFG ，
:上D + 上DFG = 90° ,
:上DGF = 90° , 即AG 丄 DE ，
故 C 选项正确，符合题意；
根据已知条件不能得出 A 、B 、D 选项， 故 A 、B 、D 选项不正确，不符合题意．
故选：C．
8 ．D
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关 键．先求得抛物线开口向上，对称轴为直线x =1 ，然后根据二次函数的图象与性质一一判 断即可．
【详解】解：将 x =0 代入二次函数y = c ，
:二次函数y = ax2 + bx + c (a > 0) 的图象过点(0, c)，
Q 点A(2, c) ，(0, c)都在二次函数y = ax2 + bx + c (a > 0) 的图象上， :二次函数y = ax2 + bx + c (a > 0) 的对称轴为直线x = 1 ，
故 A 错误；
Qb = -2a ，
Qa > 0 ，
:a - b = a - (-2a ) = 3a > 0 故 B 错误；
Q 二次函数y = ax2 + bx + c (a > 0) 的对称轴为直线x = 1 ，
: D(1, d) 为二次函数y = ax2 + bx + c (a > 0) 的顶点，
: 当x =1 时，二次函数y = ax2 + bx + c (a > 0) 有最小值为d ，
:d < n ，
:d - n < 0 ，故 C 错误； Qb = -2a, a > 0 ，
:b < 0 ，
: 点(0, c) ，B (b, n)都在二次函数y = ax2 + bx + c (a > 0) 的图象上，且在对称轴的左侧， Q 二次函数y = ax2 + bx + c (a > 0) 的图象在对称轴的左侧，y 随x 的增大小减小，
b < 0 < 1 ，
: n > c ，
: n - c > 0 ，故 D 正确； 故选：D
9 ．(3, -5)
【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律： 关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数。
根据“平面直角坐标系中任意一点P(x, y) ，关于原点的对称点是(-x, -y) ，即关于原点的对 称点，横纵坐标都变成相反数”解答．
【详解】根据关于原点对称的点的坐标的特点， :点(-3,5) 关于原点过对称的点的坐标是(3, -5) ．
故答案为：(3, -5)
10 ．5
【分析】本题考查的是一元二次方程根的情况，根据方程有两个相等的实数根时判别式为 0 即可求解．
直接根据一元二次方程根的判别式列出式子，求解即可．
【详解】解：:方程x2 - 6x + 2m -1 = 0有两个相等的实数根，
: Δ = (-6)2 - 4× 1 × (2m -1) = 0 ， 解得：m = 5 ．
故答案为：5．
11 ．(1, -1)
【分析】本题考查了旋转的性质、找旋转中心， 熟练掌握以上知识点，采用数形结合的思想 是解此题的关键．
先根据旋转的性质得出点A 的对应点为点D ，点 B 的对应点为点E ，连接 BE 、AD ，作线 段BE 、AD 的垂直平分线，它们的交点为P(1, -1)，即可得到答案．
【详解】解：Q △ABC 绕某点旋转，得到 △DEF ，
: 点A 的对应点为点D ，点 B 的对应点为点E ，
如图，连接BE 、AD ，作线段 BE 、AD 的垂直平分线，它们的交点为P(1, -1)，
, :旋转中心的坐标是(1, -1) ， 故答案为：(1, -1) ．
12 ．乙
【分析】本题考查了数据的加权平均数，熟悉掌握数据的百分制运算是解题的关键． 根据各组数据的百分制进行运算加权平均数求解比较即可．
【详解】解：甲组的综合成绩为 乙组的综合成绩为
故乙组的综合成绩更高， 故答案为：乙．
13 ．12
【分析】本题考查了菱形的性质， 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，掌握菱形面积 等于对角线乘积的一半是解题关键．由菱形的性质可知AC = 6 ，O 是BD 的中点，进而得到 BD = 4 ，即可求出菱形 ABCD 的面积．
【详解】解：Q 四边形ABCD 是菱形，AC = 6 ， : O 是BD 的中点，
:在Rt△BED 中
:BD = 4 ，
:菱形ABCD 的面积为 故答案为：12 ．
14 ． a
【分析】本题主要考查旋转的性质、三角形的内角和定理、三角形外角性质， 熟练掌握旋转 的性质是解题关键．由旋转的性质可知，BC = CD, 上B = 上EDC, 上A = 上E, 上ACE = 上BCD, 因 为上BCD = a ，所以上 上ACE = a ，由三角形内角和可
得，上A = 90° - 上 ．所以上 ．再由三角形外角性质即可解答.
【详解】解：由旋转的性质可知，BC = CD ，上B = 上EDC ，上A = 上E ，上ACE = 上BCD ， ∵ 上BCD = a ，
: 上B = 上 上ACE = a ， ∵ 上ACB = 90° ,
故答案为：
15 ．。②
【分析】本题考查了二次函数的性质，抛物线与x 轴的交点问题，抛物线与y 轴的交点问题， 二次函数图象与系数的关系，一元二次方程跟的判别式等．解题的关键是掌握二次函数的图 象与性质．
根据抛物线的对称轴可得b= -2a ，进而判断结论。，根据抛物线的增减性，函数值可判断 结论③,根据抛物线的对称性得出抛物线与x 轴的另一个交点在-1和0 之间，结合函数值
( 1 ö
得出a - b < -2 ，进而判断结论②,根据抛物线的对称性得出点Pçè2 ，y1 ,÷ 关于对称轴的对
¢ ( 3 ö
称点坐标为P çè2 ，y1 ,÷ , 结合抛物线的增减性即可得出y1 > y2 时，得出 m 的取值范围，进而 判断结论④,即可求解．
【详解】解：∵二次函数y = ax2 + bx + c (a ≠ 0) 的对称轴为x = 1 ， 即
: b = -2a ，
: 2a + b = 2a - 2a = 0 ，故。结论正确； ∵ b = -2a ，c = 2 ，
故抛物线的解析式为y = ax2 - 2ax + 2 ， 当x = -1 时，y = a + 2a + 2 = 3a + 2 ，
当x = 1 时，y = a - 2a + 2 = -a + 2 ，
∵ a < 0 ，
:-a + 2 > 2 ，
∵抛物线的对称轴是x =1 ，故抛物线 y = ax2 - 2ax + 2 的最大值为-a + 2； 当x = 2 时，y = 4a - 4a + 2 = 2 ，
故当-1 ≤ x ≤ 2 时，3a + 2 ≤ y ≤ -a + 2 ；即③结论不正确；
根据图象可得：抛物线与x 轴的一个交点在2 和3 之间，抛物线的对称轴为x = 1 ， 故抛物线与x 轴的另一个交点在-1和0 之间，
当x = -1 时，y = a - b + c < 0 ， ∵ b = -2a ，c = 2 ，
: a - b < -2 ，
: b - a > 2 ，故②结论正确； ∵抛物线的对称轴为x = 1 ，
故点 关于对称轴的对称点坐标为 ∵抛物线的开口向下，
故抛物线在对称轴的左侧，y 随x 的增大而增大，抛物线在对称轴的右侧，y 随x 的增大而 减小，
若y1 > y2 ，
则 或 故④结论错误；
综上，结论正确的有。② .
故答案为：①@．
【分析】根据题意， 上BCA = 90° , AB = 5 ，菱形PQMN ，NH - PG = 1 ，设QH = DE = x ， BE = MN = QM = QH + HM = AD + DE = AB = ，NH = AC ， 由NH - PG = 1 ，得AC - BC = 1 即BC = 2AC - 2 ，根据勾股定
DQ BC 4
理，故 AC = 3 ，BC = 4 ，过点D 作DQ 丄 AC 于点Q ，根据题意，得 tan A = = = ， AQ AC 3
设DQ = 4x ，AQ = 3x ，则 故
解答即可．
【详解】解：根据题意，上BCA = 90° , AB = 5 ，菱形PQMN ，NH - PG = 1，
1 5
设QH = DE = x ，BE = MN = QM = QH + HM = AD + DE = AB = ，
2 2
NH = AC ，PG = BF = CF = BC ，CD = PQ = PN = MN = ， 由NH - PG = 1，得 AC - BC = 1 即BC = 2AC - 2 ，
根据勾股定理，得BC2 + AC2 = AB2 ， 故(2AC - 2)2 + AC2 = 25 ，
解得 ，故BC = 4 ， 过点D 作DQ 丄 AC 于点Q ，
根据题意，得tan A = DQ = BC = 4 ， AQ AC 3
设DQ = 4x ，AQ = 3x ，
解得
故
故答案为： ．
【点睛】本题考查了勾股定理，菱形的性质，解方程，三角函数的应用，拼图的几何意义， 熟练掌握性质和三角函数的应用是解题的关键．
17 ．
(3) x1 = 3 ，x2 = 2
【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方 法，配方法，公式法，因式分解法等．
（1）利用配方法解一元二次方程即可；
（2）利用公式法解一元二次方程即可；
（3）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：x2 - 4x + 2 = 0
x2 - 4x = -2
x2 - 4x + 4 = 2 (x - 2)2 = 2
x - 2 = ±
: x1 = 2 + ，x2 = 2 - ；
（2）2x2 + 2x - 3 = 0
a = 2 ，b = 2 ，c = -3
Δ = b2 - 4ac = 22 + 4× 2 × 3 = 28 > 0
（3）x (x - 2) = 3x - 6 ，
x (x - 2) = 3 (x - 2) ，
x (x - 2) - 3(x - 2) = 0 ， (x - 3)(x - 2) = 0 ，, : x - 3 = 0 或 x - 2 = 0
: x1 = 3 ，x2 = 2 ．
18 ．y = x2 - 2x - 3
【分析】本题考查了根据二次函数的对称性求函数值，掌握二次函数的性质是解题的关
键．根据“抛物线y = ax2 + bx - 3(a ≠ 0) 经过点(-2，5) ”得出4a - 2b - 3 = 5 ，根据“对称轴是直
线x = 1 ”得出 解方程组即可求解．
【详解】解:∵抛物线y = ax2 + bx - 3(a ≠ 0) 经过点(-2，5) ，它的对称轴是直线 x = 1 ，
解得 : y = x2 - 2x - 3 ．
19 ．(1) b = 1 ，m = 2
(2) n ≤ -1
【分析】（1）根据待定系数法求解即可得到答案；
（2）根据数形结合思想方法，列式求解即可．
【详解】（1）解：∵函数y = 2x 的图象经过点(1，m)， : m = 2 ，
∵一次函数y = x + b(k ≠ 0) 的图象经过(1，2) ，
: 1+ b = 2 ， 解得b = 1；
（2）解：如图：
,
由（1）得，一次函数解析式为：y = x + 1， 当x = 2 时，y = x + 1 = 3，
把(2，3) 代入y = 2x + n 得，4 + n = 3 ， 解得：n = -1 ，
观察图象，当x < 2 时，对于x 的每一个值，函数y = x + b(k ≠ 0) 的值大于函数y = 2x + n 的值， 则n ≤ -1．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式， 两条直线相交或平行问题，采用数形结合思 想是解题的关键．
20 ．(1)有两个实数根
(2) k < 1
【分析】（1）根据根的判别式即可求出答案；
（2）求出方程的两根，根据该方程有一个根小于 1 列出不等式，解不等式即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意得：
△= b2 - 4ac = (-2k)2 - 4(2k -1) = 4k2 - 8k + 4 = 4 (k2 - 2k +1) = 4 (k -1)2 ，
∵无论k 取何值时， △= 4 (k -1)2 ≥ 0 ， :原方程有两个实数根；
解
∵该方程有一个根小于 1， : 2k -1< 1，
: k < 1 ．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的情况，公式法解一元二次方程，解题的关键是熟练运 用根的判别式．
21 ．(1)见解析
(2) 27
【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，矩形的判定，含30° 角的直角三角形的性质， 勾股定理，角平分线的定义，熟练以上知识点是解题的关键．
（1）根据已知条件先证明四边形 AECF 为平行四边形，再根据上AEC = 90° 即可得证；
（2）由BF 平分7ABC ，可求得AF = AB ，再根据上ABC = 60° , 则上BAE = 30° , 根据含30° 角的直角三角形的性质，求得BE ，再求出AE ，由DF = BE 进而即可求得AD ，即可得到答 案．
【详解】（1）证明：Q 四边形ABCD 是平行四边形，
\AD ⅡBC ，AD = BC ．
Q BE = DF ，
: AD - DF = BC - BE ，即 AF = EC ． 又AD ⅡBC ，
: 四边形AECF 是平行四边形， Q AE 丄 BC ，
:上AEC = 90° .
:平行四边形AECF 是矩形．
（2）解：Q 上AEC = 90° , 上ABC = 60° , :上BAE = 90° - 上ABC = 30° .
又AB = 6 ，
Q BF 平分7ABC ， :上ABF = 上CBF ． 又AD ⅡBC ，
:上AFB = 上CBF ．
:上ABF = 上AFB ，
: AF = AB = 6 ．
又DF = BE = 3，
: AD = AF + FD = 9 ．
:。ABCD 的面积为
22 ．(1)700
(2)见详解
(3)①③ (4) 7.5
【分析】（1）从表中可知S2 在200s - 260s 这一时间段内呈现匀速变化，先算出这一时间段 的速度，再根据200s - 220s 的间隔，结合已求出的速度算出这段时间增加的路程，最后加上 200s 时的路程，即可求出a 的值；
（2）在平面直角坐标系中准确找出这些点的位置，然后按照顺序用平滑的曲线将这些点连 接起来，就可以完成图像的补全；
（3）①对于判断A、B 同学位置关系，我们只需在20 ≤ t ≤ 200 这个时间段内，对比S1 和S2 每个时刻对应的路程大小判断即可；②判断B 同学跑800m 得分，需要先从表格中找出B 同 学跑800m 对应的时间，再对照评分标准确定相应的分值判断即可；③判断A、B 同学匀速 跑步阶段速度是否相同，我们分别计算出A、B 同学在各自匀速跑步阶段的路程和时间，然 后根据速度公式算出速度，最后比较两个速度是否相等即可；
（4）利用已知的120s 跑500m 这一条件，通过比例关系求出跑800m 所用的时间，再依据评 分标准确定B 同学的得分即可．
本题考查了数据的分析与解读和应用能力，函数的图像与描点以及对评分标准的理解，对数 据表的解读是解本题的关键．
【详解】（1）解：观察S2 的数据规律，发现从200s 到260s ，路程从 650m 增加到800m ， 根据匀速部分的规律，从200s 到260s ，时间经过了 260 - 200 = 60s ，路程增加了
800 - 650 = 150m ，则每秒跑了 150 ÷ 60 = 2.5m/s ，
200s 到220s 经过20s ，增加的路程是 2.5× 20 = 50m ，
故a = 650 + 50 = 700m ， 故答案为：700；
（2）根据表 2 中的S2 的时间和路程数据，在平面直角坐标系中依次找出对应点，然后用平 滑的曲线连接起来，如图所示，
（3）当 20 ≤ t ≤ 200 时，A 同学的路程始终大于B 同学的路程，从表中还可以看出A 同学在 每个时间点的路程都超过B 同学的路程，因此①正确；
B 同学完成800m 的时间为260s ，即 4 分 20 秒；根据评分标准，4 分 25 秒对应 6 分，4 分 16 秒对应 6.5 分，因此 4 分 20 秒对应 6 分，结论②错误；
A 同学在匀速阶段阶段的速度为：从80s 到120s ，跑了100m ，速度为 B 同学
在匀速阶段的速度为：从120s 到200s ，跑了 200m ，速度为 因此，两名同学在匀速跑阶段速度相同，结论③正确；
故答案为：①③;
（4）B 同学在120s 时跑了500m ，匀速速度为 2.5m / s ，剩余的路程为 300m ，以匀速速度 完成需要
因此B 同学完成800m 的总时间 为120s +120s=240s= 4 分 0 秒， 根据评分标准，4 分01 秒对应7.5 分；
综上分析，B 同学可以得到 7.5 分， 故答案为：7.5
23 ．(1) m1 = 3a -1, m2 = -a + 1
【分析】题目主要考查二次函数的性质，理解题意，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．
（1）根据题意，将点 A 、B 代入计算求解即可；
（2）根据题意化简得出ym = a[m - (3a -1)][m - (1 - a)] ，然后根据二次函数的性质分情况分析求 解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线y = ax2 - 2a2x(a ≠ 0) 经过A(1- a, y1 ), B(m, y2 ) ， : y1 = a(1 - a)2 - 2a2 (1 - a), y2 = am2 - 2a2m ，
∵ y1 = y2 ，
: a(1 - a)2 - 2a2 (1 - a) = am2 - 2a2m ，
整理得：m2 - 2am - (3a -1)(a -1) = 0 ，
即(m - 3a + 1)(m + a -1) = 0 ，
解得：m1 = 3a -1, m2 = -a + 1；
（2）由（1）得 y1 = a(1 - a)2 - 2a2 (1 - a), y2 = am2 - 2a2m ， ∵ 2 < m < 3 ，y1 > y2 ，
: a(1 - a)2 - 2a2 (1 - a) > am2 - 2a2m ，即 am2 - 2a2m - (3a3 - 4a2 + a) < 0 ， 令ym = a[m - (3a -1)][m - (1 - a)] ，即 ym < 0
当a > 0 时，抛物线开口向上， : ym < 0 的解集为两根之间，
由（1）得 m1 = 3a -1, m2 = -a + 1， : 3a -1 ≥ 3 且1- a ≤ 2 ，
解得： 或a ≥ -1 （不符合题意，舍去）
当a < 0 时，抛物线开口向下， : ym < 0 的解集为两根之外，
: 3a -1 < -1 < 2,1 - a ≤ 2 ，
解得：a ≥ -1
:-1≤ a < 0
综上： 或-1≤ a < 0 ．
24 ．(1) 上BED = 135°
(2)①见详解②BM = MF ，证明见详解
【分析】（1）利用正方形的性质和等边三角形的判定与性质得到 上AED = 上EAD = 60° ,利
用等腰三角形的性质定理和三角形的内角和定理求得上ABE = 上 结论 可求；
（2）①依据题意画图即可；
②连接BD ，DF ，过点 B 作BG Ⅱ DF ，交DM 的延长线于点 G，利用正方形的性质和全 等三角形的判定与性质得到BE = DF ，上EBC = 上FDC ，利用（1）的方法求得
上BED = 上AEB + 上AED = 135° ,利用正方形的性质，三角形的内角和定理和等式的性质得 到上G = 上BEG = 45° ,利用等腰三角形的判定定理得到 BE = BG ，最后利用全等三角形的 判定与性质解答即可．
【详解】（1）解：:四边形ABCD 为正方形， : AB = AD ，上BAD = 90° ,
: DE = AD ，AE = AB ， : AE = AD = DE ，
: △ADE 为等边三角形， : 上AED = 上EAD = 60° ,
: 上BAE = 30° ,
: AB = AE ，
: 上BED = 上AEB + 上AED = 75° + 60° = 135° ;
（2）解：①依题意补全图 2，如图，
②线段BM 与MF 的数量关系为：BM = MF ，证明如下：
连接BD ，DF ，过点 B 作BG Ⅱ DF ，交DM 的延长线于点 G，如图，
∵四边形ABCD 为正方形，
: BC = CD ，上BCD = 90° , 上CBD = 上CDB = 45° . ∵将线段CE 绕点 C 顺时针旋转90° 得到线段CF ， : 上ECF = 90° , CE = CF ，
: 上ECF = 上BCD = 90° , : 上BCE = 上DCF ．
在 △BCE 和 △DCF 中，
: △BCE≌△DCF (SAS ) ，
: BE = DF ，上EBC = 上FDC ， ∵ 上DBE + 上EBC = 45° ,
: 上CDF + 上DBE = 45° . ∵ AB = AE ，AD = AE ，
: 上BEG = 45° ,
: 上DBE + 上BDE = 45° , : 上CDF = 上BDE ．
∵ 上BDE + 上EDC = 45° , : 上EDC + 上CDF = 45° , : 上EDF = 45° ,
∵ BG ⅡDF ，
: 上G = 上EDF = 45° ,
: 上G = 上BEG = 45° , : BE = BG ，
: BG = DF ．
在△BMG 和 △FMD 中，
: △BMG≌△FMD (AAS)， : BM = MF ．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质， 等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，等边三 角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，添加适当的辅助线构造全等 三角形是解题的关键．
25 ．A
【分析】本题考查了旋转的性质、直角三角形的性质、解直角三角形的相关计算， 熟练三角 函数的定义和旋转的性质，是解题关键．根据旋转得出 △DCE 为直角三角形，
上MCN = 90° , AB = DE ，根据直角三角形性质得出 证明 △CMN 为等腰直角三角形，得出 解直角三角形得出
AC = AB × cs A = 4× .
【详解】解：∵将Rt△ABC 绕点C 顺时针旋转90° 得到 △DEC ， : △DCE 为直角三角形，上MCN = 90° , AB = DE ，
∵点M ，N 分别为AB ，DE 的中点，
: CM = CN ，
: △CMN 为等腰直角三角形，
: AB = 2CM = 4 ，
故选：A．
26 ．A
【分析】本题主要考查了配方法的应用，非负数的性质，把m - n2 = 2 变形为n2 = m - 2 ≥ 0 ， 代入所求式子，根据配方法进行变形，利用偶次方的非负性解答即可．
【详解】解：: m - n2 = 2 ， : n2 = m - 2 ≥ 0 ，m ≥ 2 ， : m2 + 2n2 + 4m - 3
= m2 + 2m - 4 + 4m - 3
= m2 + 6m + 9 -16
= (m + 3)2 -16 ，
则代数式m2 + 2n2 + 4m - 3的最小值等于(2 + 3)2 -16 = 9 ．
故选：A．
27 ．t ≤ 1
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质， 分类讨论；确定出抛物线的对称轴，分三种情 况考虑即可．
【详解】解：抛物线的对称轴为直线
当x = 0 时，y = 4 ；当 x = 2 时，y = 8 - 4t ；当x = t 时，y = -t2 + 4 ；
当t ≤ 0 时，0 ≤ x ≤ 2 在对称轴的右侧，函数值随自变量的增大而增大，
而此时8 - 4t ≥ 8 ，则函数在 0 ≤ x ≤ 2 范围内的最小值不小于4，故满足题意； 当0 < t ≤ 2 时，函数在0 ≤ x ≤ 2 内取得最小值-t2 + 4 ，
由题意，只需满足-t2 + 4 ≥ 3 ，解得：-1≤ t ≤ 1， 即0 < t ≤ 1 ；
当t > 2 时，0 ≤ x ≤ 2 在对称轴的左侧，函数值随自变量的增大而减小， 由题意，只需满足4 > 8 - 4t ≥ 3，解得：
故这样的 t 不存在，
综上，t 的取值范围为t ≤ 1 ．
故答案为：t ≤ 1 ．
28 ．3
【分析】连接PM ，AM ，将线段 AM绕着点 A 逆时针旋转90° 得到线段AH ，连接QH ， MH ，由旋转性质可推导 △HAQ≌△MAP ， △MAH 是等腰直角三角形，则HQ = MP = 1 ，
MH = AM ，根据等腰直角三角形的性质及勾股定理求得AM值， 根据三角形三边关系，得 MQ ≥ MH - HQ ，可知当 M、Q 、H 共线时，MQ 最小，最小值为MH - 1 ，即可求解．
【详解】解：连接PM ，AM ，将线段 AM绕着点 A 逆时针旋转90° 得到线段AH ，连接 QH ，MH ，
由旋转性质得AQ = AP ，AH = AM ，上MAH = 上PAQ = 90° ,即
上HAQ = 上MAP = 90° - 上QAM ，
: △HAQ≌△MAP (SAS) ， △MAH 是等腰直角三角形， ,
∵点 M 是等腰直角三角形ABC 边BC 的中点，AB = 4 ， : AM 丄 BC ，AB = AC = 4 ，
根据三角形三边关系，MQ + HQ ≥ MH ，即MQ ≥ MH - HQ :当 M、Q 、H 共线时，MQ 最小，最小值为MH - 1 ，
:MQ 的最小值为4 -1 = 3 ， 故答案为：3．
【点睛】本题考查旋转的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判 定与性质，熟练掌握它们的性质是解题的关键．
29 ．(1)C1 ，C2
【分析】（1）结合图形，可知C1 (-2, 0) ，A(2, 0) 的中点在原点，符合题意；求得点A(2, 0) ， B (0, 2) 的中点为(1,1) ，接着求得C2 (-1, 2) 与(1,1) 的中点并发现这个中点落在线段OB 上，
从而得出答案；
（2）①当a = 0 ，b = 4 ，k = 2 时，那么D(0, 0) ，E (0, 2) ，F (4, 2) ，G (4, 0)，直线l ：
y = 2x + 3 ，可判断四边形EFGD 是矩形，在矩形EFGD 上存在点H ¢ , 使线段HH ¢ 的中点S 在线段ED 上，那么可知，H ¢ 可落在线段EF ，DG ，DE 上，然后分别求得当H ¢ 在线段
EF ， DG ， DE 上时， h 的范围即可；@当 a = t -1 ， k = t - 3 时， D(t -1, 0) ， E (t -1, 2)， 直线l ：y = (t - 3)x + 3 ，通过T(t,1) 为线段EG 的中点，得到b = t +1 ，接着判断四边形EDGF 是正方形，当t > 3 时，设点G 关于点E 的对称点为G¢ , 那么点G¢(t - 3, 4) ， 那么当直线 l 过点G¢(t - 3, 4) 时，直线的斜率最大，即t 取得最大值， 当t < 3 时，设点D 关于点G 的对称 点为G¢¢ , 那么点G¢¢(t +3, 0) ，那么当直线 l 过点G¢¢(t +3, 0) 时，直线的斜率最小，t 取得最小 值，当t = 3 时，也符合题意，最后求得答案．
【详解】（1）解：Q C1 (-2, 0) ，A(2, 0) ，
: C1 和A 的中点为(0, 0) ，符合题意；
Q 点A(2, 0) ，B (0, 2) ，
: 点A(2, 0) ，B (0, 2) 的中点为(1,1) ，
: C2 (-1, 2) 与(1,1) 的中点为 即(0,) ， 在线段OB 上，
: △AOB 关于线段OB 的“扩充点”是C1 ，C2 ，
故答案为：C1 ，C2 ；
（2）解： Q 已知点 D(a, 0) ， E (a, 2) ， F (b, 2) ， G (b, 0) ，其中 a < b ，直线 l ： y = kx + 3， 其中a = 0 ，b = 4 ，k = 2 ，
: D(0, 0) ，E (0, 2) ，F (4, 2) ，G (4, 0)，直线l ：y = 2x + 3 ，
:DE = FG = 2 ，EF = DG = 4 ， : 四边形EFGD 是平行四边形，
Q 上EDG = 90° ,
: 四边形EFGD 是矩形，
直线l ：y = 2x + 3 ，代入 x = 1 ，y = 5 ；代入 x = 0 ，y = 3 ，
由题意可知，在矩形EFGD 上存在点H ¢ , 使线段HH ¢ 的中点S 在线段ED 上，那么可知，H ¢ 可落在线段EF ，DG ，DE 上，如图所示：
不妨设H(h, 2h +3) ，
当H ¢ 在线段EF 上，当HH ¢ 的中点S 为点D 时，过点H ¢ 作H ¢U 丄 x 轴于点U ，过点 H 作 HV 丄 x 轴于点V ，如图所示：
QH¢ 在线段EF 上，
:H ¢ 纵坐标为 2，即 H ¢U = 2 ，
Q上H ¢UD = 上HVD = 90° , 上H ¢DU = 上HDV ，DH ¢ = DH ， :VH ¢DU≌VHDV ，
:HV = H ¢U = 2 ， QH 在第三象限， :2h + 3 = -2 ，
当HH ¢ 的中点S 为点E 时，如图所示：
此时H 在第二象限，2h + 3 = 2 ，解得
那么当H ¢ 在线段
当H ¢ 在线段DE 上，使线段HH ¢ 的中点S 落在线段DE ，如图所示：
那么h = 0 ；
同理可求得H ¢ 落在线段DG 上，- ≤ h < 0 ，
综上，
②当a = t -1 ，k = t - 3 时，D(t -1, 0) ，E (t -1, 2)，直线l ：y = (t - 3)x + 3 ， :ED = 2 ，
Q E(t -1, 2) ，G (b, 0) ，T (t,1) 为线段EG 的中点，
:b = t +1，
: F (t + 1, 2) ，G (t + 1, 0)，
:FG = 2 ，
Q D(t -1, 0) ，G (t + 1, 0) ，E (t -1, 2) ，F (t + 1, 2) ，
:DG = 2 = EF ，
: 四边形EDGF 是菱形，
Q 上EDG = 90° ,
: 四边形EDGF 是正方形，
Q 直线l ：y = (t - 3)x + 3 ，x = 0 时，y = 3
:直线l 一定过(0, 3) ，
当t > 3 时，设点G 关于点E 的对称点为G¢ , 那么点G¢(t - 3, 4) ， 如图所示：
若直线 l 上存在四边形DEFG 关于线段EG 的“扩充点”，那么当直线 l 过点G¢(t - 3, 4) 时，直 线的斜率最大，即t 取得最大值，
将G¢(t - 3, 4) 代入y = (t - 3)x + 3 ，得 4 = (t - 3)2 + 3 ，解得 t = 4 ，t = 2 （舍去）；
当t < 3 时，设点D 关于点G 的对称点为G¢¢ ,那么点G¢¢(t +3, 0) ，如图所示：
若直线 l 上存在四边形DEFG 关于线段EG 的“扩充点”，那么当直线 l 过点G¢¢(t +3, 0) 时，直 线的斜率最小，t 取得最小值，
将G¢¢(t +3, 0) 代入y = (t - 3)x + 3 ，得0 = (t - 3)(t +3) + 3 ，解得 t = -、/6 ，t = /6 （舍去）； 当t = 3 时，D(2, 0) ，G (4, 0) ，E (2, 2) ，F (4, 2) ，直线l 为y = 3 ，如图所示：
借助图象，可知在y = 3 可找到E1 (3, 3) 与F1 (3,1) 的中点落在点E 上，那么t = 3 满足题意；
综上，- ≤ t ≤ 4 ．
【点睛】本题考查了一次函数几何综合，一次函数的图象与性质，中点坐标，轴对称的性质， 三角形全等的判定与性质，熟练掌握以上知识点并理解“扩充点”是解题的关键．