2024_2025学年_福建泉州高二第一学期期中考试数学试卷[附解析]

这是一份2024_2025学年_福建泉州高二第一学期期中考试数学试卷[附解析]，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知向量，，若，则（ ）
A．B．2C．D．1
2．椭圆的长短轴之和为18，焦距为6，则椭圆的标准方程为（ ）
A．B．
C．或D．
3．已知点在平面内，且对空间任意一点，若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
4．若圆与圆有且仅有一条公切线，则（ ）
A．B．1C．D．0
5．在空间直角坐标系中，平面的法向量为，已知，则到平面的距离等于（ ）
A．4B．2C．3D．1
6．椭圆的左､右焦点分别为，，为椭圆上一点，若的周长为，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
7．已知，下列命题正确的是（ ）
A．若到距离之和为，则点的轨迹为椭圆
B．若到距离之差为，则点的轨迹为双曲线
C．椭圆上任意一点（长轴端点除外）与连线斜率之积是
D．渐近线为且过点的双曲线的焦点是
8．斜率为1的直线与椭圆相交于A，B两点，则的最大值为（ ）
A．2B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知双曲线，则（ ）
A．的取值范围是B．的焦点可在轴上也可在轴上
C．的焦距为6D．的离心率的取值范围为
10．下列说法正确的是（ ）
A．直线的倾斜角的取值范围为
B．“”是“点到直线距离为3”的充要条件
C．直线恒过定点
D．直线与直线平行
11．在空间直角坐标系中，有以下两条公认事实：
（1）过点，且以为方向向量的空间直线l的方程为；
（2）过点，且为法向量的平面的方程为．
现已知平面，，，，则（ ）．
A．B．C．D．
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知点，圆，则圆上的点到的距离最大值为 .
13．已知是双曲线的左焦点，，是双曲线右支上的动点，则的最小值为 ．
14．已知直线与椭圆交于两点，弦的中点为，则直线的方程为 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知正三棱锥如图所示，其中，，点D在平面内的投影为点E，点F为线段上靠近B的三等分点．
(1)若，求的值；
(2)求的值．
16．已知以点为圆心的圆与直线相切，过点的动直线与圆A相交于
(1)求圆的方程；
(2)当时，求直线的方程．
17．如图，在三棱锥P－ABC中，底面是边长为4的正三角形，PA＝2，PA⊥底面ABC，点E，F分别为AC，PC的中点.
(1)求证：平面BEF⊥平面PAC；
(2)在线段PB上是否存在点G，使得直线AG与平面PBC所成角的正弦值为？若存在，确定点G的位置；若不存在，请说明理由.
18．已知双曲线C：的右焦点为，且C的一条渐近线恰好与直线垂直.
(1)求C的方程；
(2)直线l：与C的右支交于A，B两点，点D在C上，且轴.求证：直线BD过点F.
19．已知椭圆C：的离心率为，焦距为2．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若直线l：（）与椭圆C相交于A，B两点，且．
①求证：的面积为定值；
②椭圆C上是否存在一点P，使得四边形OAPB为平行四边形？若存在，求出点P横坐标的取值范围；若不存在，说明理由．
答案
1．【正确答案】C
【详解】因为，，
所以，
，
因为，
所以，解得，
故选：C
2．【正确答案】C
【详解】因为,
又因为，
所以,
,
解得,
椭圆焦点在x轴时，椭圆的标准方程为：;
椭圆焦点在y轴时，椭圆的标准方程为.
故选：C.
3．【正确答案】B
【详解】由点在平面内，可知，
又，
所以，三项相加可得.
故选：B.
4．【正确答案】C
【详解】由题意得，圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，
又两圆有且仅有一条公切线，则两圆的位置关系为内切，所以，即，解得．
故选：C.
5．【正确答案】B
【详解】设点到平面的距离为，则，，选B
考点：点到平面的距离的计算.
6．【正确答案】B
【分析】
根据椭圆方程可得，再结合三角形周长，得，进而可得离心率.
【详解】
因为，所以.
因为的周长为，所以，所以，
所以椭圆的离心率为，
故选：B.
7．【正确答案】C
【分析】直接利用椭圆定义和双曲线定义，直线的斜率，渐近线的应用逐个判断选项即可.
【详解】对于A，若到距离之和为，
即，
则点的轨迹为线段，A错误；
对于B，若到距离之差为，
即，又，
则点的轨迹为双曲线的一支，故B错误；
对于C，椭圆上任意一点（长轴端点除外）与连线斜率之积：
，C正确；
对于D，渐近线为且过点的双曲线方程为，
双曲线过点，则，
故双曲线方程为，
故焦点坐标为和，故D错误.
故选：C
8．【正确答案】C
【详解】设A，B两点的坐标分别为，直线l的方程为y＝x＋t，
由消去y，得5x2＋8tx＋4（t2－1）＝0，
则x1＋x2＝，x1x2＝，
∴|AB|＝|x1－x2|＝
＝＝·，
当t＝0时，|AB|max＝．
故选：C.
9．【正确答案】AC
【分析】根据双曲线方程的特征，易于求得，判断方程中分母的符号即可判断A,B项，计算易得C项，先算出离心率的表达式，再根据的范围，即可确定的范围.
【详解】对于A，表示双曲线，，解得，故A正确；
对于B，由A项可得，故，的焦点只能在轴上，故B错误；
对于C，设的半焦距为，则，，即焦距为，故C正确；
对于D，离心率，，，的取值范围是，故D错误．
故选AC.
10．【正确答案】ACD
【详解】对于A：设直线的倾斜角为，
则，又，所以的取值范围是，故A正确；
对于B：由点到直线的距离为3，可得，
解得或，
所以“”是“点到直线的距离为”的充分不必要条件，故B错误；
对于C：直线，即，令，可得，
所以直线恒过定点，故C正确；
对于D：直线，即，斜率为，过点，
直线的斜率为，过点，
所以直线与直线平行，
即直线与直线平行，故D正确.
故选：ACD
11．【正确答案】AC
【分析】根据公认事实求出直线的方向向量和平面的法向量，用空间向量判断它们之间的位置关系即得.
【详解】平面的法向量为，
对于，则，即：，
故经过点，方向向量为，则，即，
故，即A正确，D错误；
对于，即，故经过点，方向向量为，
因点满足平面，即与有公共点，故B错误；
对于，可知经过点，方向向量为，
因，可得，即或，
但点不满足平面，即，故，故C正确.
故选AC.
12．【正确答案】
【详解】由圆方程知：圆心，半径，
圆上的点到的距离最大值为.
故答案为.
13．【正确答案】
作出图形，设双曲线的右焦点为，根据双曲线的定义可得，可得出，利用、、三点共线时取得最小值即可得解.
【详解】对于双曲线，则，，，如下图所示：
设双曲线的右焦点为，则，
由双曲线的定义可得，则，
所以，，
当且仅当、、三点共线时，等号成立.
因此，的最小值为.
故答案为.
关键点点睛：利用双曲线的定义求解线段和的最小值，有如下方法：
（1）求解椭圆、双曲线有关的线段长度和、差的最值，都可以通过相应的圆锥曲线的定义分析问题；
（2）圆外一点到圆上的点的距离的最值，可通过连接圆外的点与圆心来分析求解.
14．【正确答案】
【分析】点差法求出直线的斜率，点斜式得直线方程.
【详解】设点，点为弦的中点，有，
将两点代入椭圆方程，得，
两式作差，得，整理得，
得直线的斜率为，直线的方程为，即.
经检验符合题意.
15．【正确答案】(1)，，
(2)3
【分析】（1）先根据空间向量得线性运算将用表示，再根据空间向量基本定理即可得解；
（2）先利用余弦定理求出，再根据数量积的运算律即可得解.
【详解】（1）
，
又，
∴，，；
（2）由余弦定理得，
易知；
故
，
∴．
16．【正确答案】(1)
(2)或
【分析】(1)由题意知点到直线距离公式可确定圆A半径，带入到圆的标准方程可求得圆的方程；
(2)过A做，由垂径定理可知圆心到直线，设出直线，可分为斜率存在和斜率不存在两种情况，解之可得直线方程
【详解】（1）易知到直线的距离为圆A半径r，
所以，
则圆A方程为
（2）过A做,由垂径定理可知，且，
在中由勾股定理易知
当动直线斜率不存在时，设直线的方程为，
经检验圆心到直线的距离为，且根据勾股定理可知，
显然合题意，
当动直线斜率存在时，过点，设方程为：，
由到距离为知得，
代入解之可得，
所以或为所求方程．
17．【正确答案】(1)证明见解析
(2)存在满足条件的点G，点G为PB的中点
【详解】（1）证明：∵AB＝BC，E为AC的中点，∴BE⊥AC.
又PA⊥平面ABC，BE⊂平面ABC，∴PA⊥BE.
∵PA∩AC＝A，∴BE⊥平面PAC.
∵BE⊂平面BEF，∴平面BEF⊥平面PAC.
（2）存在.由（1）及已知得PA⊥BE，PA⊥AC，
∵点E，F分别为AC，PC的中点，
∴EF∥PA，∴EF⊥BE，EF⊥AC.
又BE⊥AC，∴EB，EC，EF两两垂直.
分别以的方向为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，如图，
则，，，.
设，，
所以，
设平面PBC的法向量为，
则，即，
令，则，，
∴，
由已知得，即，即，，解得或，由，故.
所以存在满足条件的点G，点G为PB的中点.
18．【正确答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据焦点坐标及渐近线的斜率列式求解即可；
（2）设点的坐标，联立直线与双曲线方程，韦达定理，根据向量共线坐标运算得三点共线，即证.
【详解】（1）由焦点坐标为得，所以，
又双曲线C：的一条渐近线恰好与直线垂直，
得即，所以，
所以双曲线C的方程为，即.
（2）由题意可知直线l的斜率存在且不为0，所以，
设，，则，由（1）可知，双曲线C的渐近线为，
又直线l与双曲线C的右支交于A，B两点，则，即.
联立，消去x得，
则，得，
，，则，
又，所以，，
所以，
所以，又，有公共点F，所以B，F，D三点共线，
所以直线BD过点F.

19．【正确答案】(1)
(2)① 证明见解析；②不存在，理由见解析
【详解】（1）由题意知，焦距，故，又，故，
所以，故椭圆C的方程为．
（2）①由消去y，化简得：，
设，，则，
，，
故，
因为，所以，
所以，
坐标原点到直线l的距离为，
所以的面积为，
故的面积为定值．
②假设存在椭圆上的点P，使得OAPB为平行四边形，则，
设，则，
又因为，即，得，
与矛盾，
故椭圆上不存在点P，使得OAPB为平行四边形．