2024_2025学年_福建南安高二第一学期10月月考数学试卷合集2套[附解析]

这是一份2024_2025学年_福建南安高二第一学期10月月考数学试卷合集2套[附解析]，共26页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知向量 a=2,−1,3， b=−4,2,x， 且 a⊥b， 则 x= （ ）
2．若直线经过两点，则直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
3．两条平行直线和间的距离为，则的值分别为（ ）
A．B．
C．D．
4．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线和平面的位置关系是（ ）
A．B．
C．或D．
5．已知向量，若不能构成空间的一个基底，则实数m的值为（ ）．
A．B．0C．5D．
6．已知直线l的倾斜角等于，且l经过点，则下列结论中不正确的是（ ）
A．l的一个方向向量为
B．l在x轴上的截距等于
C．l与直线垂直
D．点到直线l上的点的最短距离是1
7．如图，一束光线从出发，经直线反射后又经过点，则光线从A到B走过的路程为（ ）
A．B．C．D．
8．如图，边长为2的正方形沿对角线折叠，使，则三棱锥的体积为（ ）

A．B．C．D．4
二、多选题（本大题共3小题）
9．下列四个选项中，说法错误的是（ ）
A．坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率
B．直线与直线互相平行，则
C．过两点的所有直线的方程为
D．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为.
10．已知空间向量，则（ ）
A．
B．在上的投影向量为
C．若向量，则点在平面内
D．向量是与平行的一个单位向量
11．如图，在棱长为2的正方体中，点P是正方体的上底面内（不含边界）的动点，点Q是棱的中点，则以下命题正确的是（ ）

A．三棱锥的体积是定值
B．存在点P，使得与所成的角为
C．直线与平面所成角的正弦值的取值范围为
D．若，则P的轨迹的长度为
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知直线，若直线不能围成三角形，写出一个符合要求的实数的值 ．
13．在空间直角坐标系中，点为平面外一点，其中、，若平面的一个法向量为，则点到平面的距离为 ．
14．长方体中，，点是线段上异于的动点，记．当为钝角时，实数的取值范围是 ；当点到直线的距离为时，的值为 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知向量，
(1)求与的夹角；
(2)若与垂直，求实数t的值．
16．在中，，边上的高所在直线的方程为，的平分线所在直线的方程为，点的坐标为.

(1)求直线的方程；
(2)求直线的方程及点的坐标.
17．如图，已知平行六面体的底面是矩形，且，，，为与的交点，设，，.

(1)用，，表示，；
(2)求异面直线与所成角的余弦值.
18．如图所示：多面体中，四边形为菱形，四边形为直角梯形，且，平面，．
(1)证明：平面；
(2)若直线与平面所成的角为，求平面与平面所成角的正弦值．
19．人脸识别是基于人的脸部特征进行身份识别的一种生物识别技术．主要应用距离测试样本之间的相似度，常用测量距离的方式有3种．设，，则欧几里得距离；曼哈顿距离，余弦距离，其中（为坐标原点）．
(1)若，，求，之间的曼哈顿距离和余弦距离；
(2)若点，，求的最大值；
(3)已知点，是直线上的两动点，问是否存在直线使得，若存在，求出所有满足条件的直线的方程，若不存在，请说明理由．
答案
1．【正确答案】A
【分析】代入空间向量垂直的数量积坐标表示的公式，即可求解.
【详解】 a⊥b⇔a⋅b=2×−4+−1×2+3x=0， 得 x=103 .
故选A.
2．【正确答案】C
【详解】由直线经过两点，可得直线的斜率为，
设直线的倾斜角为，有，又，所以.
故选：C.
3．【正确答案】B
【详解】由已知可得，，解得.
代入化简可得，.
根据两条平行线之间的距离公式可得，
.
故选：B.
4．【正确答案】A
【详解】由，，，
所以，即，
所以.
故选：A
5．【正确答案】C
【详解】因为不能构成空间的一个基底，
所以共面，
故存在使得，
即，
故，解得.
故选：C
6．【正确答案】B
【详解】对于A，因为直线l的倾斜角等于，所以直线l的斜率，
所以直线l的一个方向向量为，又，
所以是直线l的一个方向向量，故A正确；
对于B，由选项A可知直线l的斜率，又l过点，
所以直线l的方程为，即，
令，得，
所以l在x轴上的截距等于，故B错误；
对于C，直线的斜率为，因为，
所以l与直线垂直，故C正确；
对于D，点到直线l：的距离为，
所以点到直线l上的点的最短距离是1，故D正确.
故选：B
7．【正确答案】C
【详解】
一束光线从出发，经直线反射,与交于点P,
由题意可得，点关于直线的对称点在反射光线上，
设,则,,
故光线从A到B所经过的最短路程是.
故选：C.
8．【正确答案】C
【详解】取中点，连接，则，
而平面，
于是平面，，，
又，则，
解得，，而，则，
，
所以三棱锥的体积为.
故选：C

9．【正确答案】AD
【分析】根据直线的倾斜角与斜率判断A；根据两直线平行求出参数的值，即可判断B；根据两点式方程判断C；分截距都为与都不为两种情况讨论，即可判断D.
【详解】对于A：坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角，
但是与轴平行（重合）的直线的倾斜角为，斜率不存在，故A错误；
对于B：因为直线与直线互相平行，
则，解得或，
当时直线与直线重合，故舍去，
当时直线与直线平行，符合题意，
综上可得，故B正确；
对于C：过两点的所有直线的方程为，故C正确；
对于D：当截距都为时直线方程为，
当截距都不为时，设直线方程为，则，解得，
所以直线方程为，
综上可得满足条件的直线方程为或，故D错误.
故选AD.
10．【正确答案】ABD
【详解】由已知可得，A正确；
由于，所以在上的投影向量即为，B正确；
若在平面ABC内，则存在实数x，y，使得，而,
所以，
上述方程组无解，故点E不在平面ABC内，C错误;
由，故，且，
所以正确．
故选：ABD．
11．【正确答案】ACD
【详解】对于A，三棱锥的体积等于三棱锥的体积，
是定值，A正确；
以为坐标原点，分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，设，则
对于B，，使得与所成的角满足：
，
因为，故，故，
而，B错误；
对于C，平面的法向量，
所以直线与平面所成角的正弦值为：，
因为，故
故，
而，，
故即的取值范围为，C正确；
对于D，，由，
可得，化简可得，
在平面内，令，得，令，得，则P的轨迹的长度为
，D正确；
故选：ACD.
12．【正确答案】
【详解】由解得，所以的交点坐标为，
过定点，
若直线不能围成三角形，只需经过点，或与平行，或与平行，
当经过点时，，解得；
当与平行时，，解得；
当与平行时，，解得.
故的值为.
故（只需写出其中一个即可）.
13．【正确答案】/
【详解】因为、，所以,
记平面的一个法向量为，
则，解得，
故平面的一个法向量为.
因为，所以,
所以点到平面的距离为.
故答案为.
14．【正确答案】 /0.25
【详解】在长方体中，建立如图所示的空间直线坐标系，
则，令，
则有，，，
由为钝角，得，解得，
，因此；
显然，点到直线的距离
，整理得，
解得，所以.
故；
15．【正确答案】(1)
(2)
【详解】（1），，
，，
，
令与的夹角为，
则，
则与的夹角为.
（2），，
又与垂直，，
即，解得.
16．【正确答案】(1)
(2)直线的方程为：，
【详解】（1）
由于所在直线的方程为，故的斜率为，
与互相垂直，直线的斜率为，
结合，可得的点斜式方程：，
化简整理，得，即为所求的直线方程．
（2）
由和联解，得
由此可得直线方程为：，即，
，关于角平分线轴对称，
直线的方程为：，
直线方程为，
将、方程联解，得，，
因此，可得点的坐标为．
17．【正确答案】(1)，
(2)
【详解】（1）因为是平行六面体，
所以，
（2）因为，底面是矩形，所以，
又因为，，所以，，
因此
，
，
若异面直线与所成角为，
则，
因此异面直线与所成角的余弦值为．
18．【正确答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）因为平面，平面，所以；
底面为菱形，所以；
又因为，平面，所以平面.
（2）如图： 设，取的中点，连接，则
，所以平面.
故可以以为原点，建立如图空间直角坐标系.
因为为直线与平面所成的角，所以.
又，
所以，，，，，
则，.
设平面的法向量为n=x,y,z，
则，
取，则，则，
又为平面的法向量，设平面与平面所成的角为，
，则，
，即平面与平面所成角的正弦值为.
19．【正确答案】(1)，
(2)
(3)存在，和
【详解】（1），
，
；
（2）设，由题意得：，
即，而表示的图形是正方形，
其中、、、．
即点在正方形的边上运动，，，
可知：当取到最小值时，最大，相应的有最大值．
因此，点有如下两种可能：
①点为点，则，可得；
②点在线段上运动时，此时与同向，取，
则．
因为，所以的最大值为．
（3）易知，设，则
当时，，则，，满足题意；
当时，，
由分段函数性质可知，
又且恒成立，当且仅当时等号成立．
综上，满足条件的直线有且只有两条，和．
2024-2025学年福建省南安市高二上学期10月月考数学学情检测试题（二）
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1. 若集合，，则（ ）
A． B．C． D．
2. 已知函数为奇函数，则（ ）
A． B． C． D．
3. “”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4. 已知，则（ ）
A．B．C．D．
5. 医学家们为了揭示药物在人体内吸收、排出的规律，常借助恒速静脉滴注一室模型来进行描述，在该模型中，人体内药物含量（单位：）与给药时间（单位：）近似满足函数关系式，其中，分别称为给药速率和药物消除速率（单位：）．经测试发现，当时，，
则该药物的消除速率的值约为（ ）（附：）
A． B． C． D．
6. 函数的图象大致为（ ）

A. B. C. D.
7. 已知函数,, 则下列命题正确的是（ ）
A．函数的最小正周期为
B．直线是图象的一条对称轴
C．函数在区间上单调递减
D．将的图象向左平移个单位长度后得到的的图象
8. 已知函数的图像关于轴对称，且当时，其导函数满足，若，，，
则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)
9.下列命题正确的是（ ）
A．若, 则
B．若, 则
C．若, 则
D．若，，则的最小值为
10.已知，函数，则（ ）
A．对任意，函数总存在零点
B．当时，是函数的极值点
C．当时，曲线与轴相切
D．对任意，函数在区间上单调递增
11.已知函数（）是奇函数，是的导函数（），,且满足，则下列说法正确的是（ ）
A． B．函数为偶函数
C． D．函数的周期为
三、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 函数在处的切线方程为_____________________.
13. 定义在上的函数满足，且在上单调递减，则不等式
的解集为_____________________.
14. 已知 ，函数 恒成立，则的最大值为 ．
四、解答题：（本大题共5题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（本题满分13分）
在中，角所对的边分别为，且满足．
(1)求的值；
(2)若的面积为，周长为，求的外接圆面积 .
16．（本题满分15分）
某农场收获的苹果按A,B,C三个苹果等级进行装箱，已知苹果的箱数非常多，且A,B,C三个等级苹果的箱数之比为．
（1）现从这批苹果中随机选出3箱，若选到任何一箱苹果是等可能的，求至少选到2箱A级苹果的概率；（2）若用分层随机抽样的方法从该农场收获的A,B,C三个等级苹果中选取10箱苹果，假设某游客要从这
10箱苹果中随机购买3箱，记购买的A级苹果有箱，求的分布列与数学期望．
17．（本题满分15分）
如图，平面，，．
(1)求证：平面；
(2)若二面角的余弦值为，求线段的长．
18．（本题满分17分）
已知函数.
（1）若关于的不等式的解集为，求函数的最小值；
（2）是否存在实数，使得对任意，存在，不等式成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.
19．（本题满分17分）
定义：如果函数在定义域内，存在极大值和极小值，且存在一个常数,
使成立，则称函数为极值可差比函数，常数称为该函数的
极值差比系数. 已知函数.
（1）当时，判断是否为极值可差比函数，并说明理由；
（2）是否存在使的极值差比系数为？ 或存在,求出的值;若不存在，请说明理由;
（3）若，求的极值差比系数的取值范围.
答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12、 13、 【或】 14、
四、解答题：本题共5小题，共77分．
15、解：（1）
由正弦定理得……………………………..2分

即,即, ……………………………..4分
又 ……………………………..6分
（2）依题意得,所以……………………………..8分
由余弦定理得
解得 ……………………………分
所以的外接圆半径……………………………分
所以的外接圆面积为 . …………………………….13分
说明：【第（1）问未说明扣1分，未说明扣1分；
第（2）问也可先求出，再通过等边三角形的几何性质求外接圆面积】
16、解:

17、解： (1)法一：因为,，且平面,平面,
所以平面 ……………………………2分
同理：,，且平面,平面,
所以平面 ……………………………4分
又, 所以平面平面 ……………………………6分
又直线平面，所以平面． ……………………………7分
法二：依题意，以为原点，分别以的方向为轴，轴，轴正方向，
建立空间直角坐标系(如图)，可得，．
设，则． ……………………………2分
易知是平面的法向量， ……………………………4分
又，可得， ……………………………6分
又因为直线平面，所以平面． ……………………………7分
(2)依题意，以为原点，分别以的方向为轴，轴，轴正方向，建立的空间直角坐标系(如图)，则，．
设，则， ……………………………9分
所以,,．
设为平面的法向量，则即
不妨令，可得． ……………………………11分
设为平面的法向量，则即
不妨令，可得．……………………………13分
由二面角的余弦值为，有，
即 ……………………………14分
解得．经检验，符合题意．所以线段的长为．……………………………15分
18、解：（1）依题意得，2和3是方程的两根
由韦达定理可知： …………………2分
∴ …………………4分
又∵，∴
当且仅当时等号成立，…………………6分
所以的最小值为.…………………7分
（2）假设存在实数，使得对任意，存在，不等式成立
…………………8分
∵，
∴ …………………11分
∴在成立 …………………12分
记，，其对称轴为，
①当，即时，
由，又 ∴ …………………14分
②当，即时，
由，又 ∴ …………………16分
综上所述，不存在实数，使得对任意，存在，不等式成立.
…………………17分
19、

A． 103
B． 113
C．4
D．6
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
选项
C
D
B
D
A
C
D
B
题号
9
10
11
选项
AB
ACD
ABD