湖北省2024_2025学年高三数学上学期12月月考试题

这是一份湖北省2024_2025学年高三数学上学期12月月考试题，共10页。试卷主要包含了已知复数等内容，欢迎下载使用。
A．B．C．D．
2．用最小二乘法得到一组数据的线性回归方程为，若，则（ ）
A．11B．13C．63D．78
3．已知等差数列和的前项和分别为、，若，则（ ）
A．B．C．D．
4．设为单位向量，在方向上的投影向量为，则（ ）
A．B．C．D．
5．已知函数的图象向左平移后所得的函数为奇函数，则的最小值为（ ）
A．2B．4C．6D．8
6．记抛物线的焦点为为抛物线上一点，，直线与抛物线另一交点为，则（ ）
A．B．C．2D．3
7．直三棱柱中，，P为BC中点，，Q为上一点，，则经过A，P，Q三点的平面截此三棱柱所成截面的面积是（ ）
A．B．4C．D．5
8．若函数定义域为，且为偶函数，关于点成中心对称，则的值是（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列关于平面向量的说法中正确的是（ ）
A．已知点是直线l上三个不同的点，O为直线l外一点，且，则
B．已知向量，且与的夹角为锐角，则的取值范围是
C．已知点G为三条边的中线的交点，则
D．已知，则在上的投影的坐标为
10．如图所示，若长方体AC的底面是边长为2的正方形，高为4．E是的中点，则（ ）
A．
B．三棱锥的体积为
C．
D．三棱锥的外接球的表面积为24π
11．已知双曲线的左､右焦点分别为，过点的直线与的左支相交于两点，若，且，则（ ）
A．B．
C．双曲线的渐近线方程为
D．直线的斜率为4
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12． 的展开式中，的系数为15，则a=________.（用数字填写答案）
13．已知正实数满足，则______.
14．在四面体中，是边长为的等边三角形，，，，点在棱上，且，过点作四面体的外接球的截面，则所得截面圆的面积最小值与球的表面积之比为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求B；
（2）若，求b的取值范围．
16．已知函数.函数在处取得极值.
（1）求实数a；
（2）对于任意，，当时，不等式恒成立，求实数m的取值范围.
17．如图，在棱长为2的正方体中，、、分别为棱、、的中点.（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦.
18．已知椭圆C的两个焦点，，过点且与坐标轴不平行的直线l与椭圆C相交于M，N两点，的周长等于16.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若过点的直线与椭圆C交于两点A，B，设直线，的斜率分别为，.
（i）求证：为定值；
（ii）求面积的最大值.
19．给定正整数，设数列是的一个排列，对表示以为首项的递增子列的最大长度（数列中项的个数叫做数列的长度），表示以为首项的递减子列的最大长度.我们规定：当后面的项没有比大时，，当后面的项没有比小时，.例如数列：，则.，.
（1）若，求和；
（2）求证：；
（3）求的最值.
高三年级12月月考数学答案
1．C 2．D 3．B 4． D 5．D 6．C 7．A 8．C 9．ACD 10．BD 11．BC
12． 13. 14．/1：8
15. (1) (2)
(1)由正弦定理及可得，又，
则，即，
则，因为，所以，，因为，所以．
(2)由余弦定理得，因为，，所以，当且仅当时取等号．又因为，所以．综上所述，，b的取值范围是．
16.(1) (2)
（1），因为在处取得极值，故，解得.当时，，，故在处导函数为0，且在左右导函数异号，满足极值点条件，故
（2），构造函数，即，因为任意，，当时，不等式恒成立，所以函数在上单调递减，即在上恒成立，由，
设，因为，所以，所以函数单调递减，
故，因此，故实数m的取值范围为
17.（1）证明见解析 （2）
【解析】（1）证明：正方体中， ，分别为棱，的中点，所以， 平面，平面，所以，所以，正方形中，为的中点，为的中点，所以，所以，设、交点为，则，所以，即；又、平面，，所以平面.
（2）如图，以点为原点，分别以、、为，，轴建立空间直角坐标系.因为正方体棱长为2，，，分别为棱，，的中点. 所以，，，，.
所以，.由（1）知平面.
所以是平面的一个法向量，设是平面的法向量，则取，得，
所以，所以二面角的余弦值为，
18. （1）； （2）（i）证明见解析；（ii）面积的最大值为.
【小问1详解】由题意可得椭圆焦点在x轴上，且，
所以椭圆的方程为.
【小问2详解】（i）证明：由题意可知直线斜率存在，当直线斜率为0时，显然，所以；当直线斜率不为0时，设直线方程为，
联立，
则，
设，则，
所以，
因为，
所以.综上，为定值0.
（ii）由（i）可得，
所以，
所以，当且仅当即时等号成立，
所以面积的最大值为.
19. （1）， （2）证明见解析；
（3）当为偶数时，的最小值为；当为奇数时，的最小值为；
【小问1详解】以为首项的最长递增子列是，所以，因为后面的项都比小，所以，以为首项的最长递增子列是，所以，因为后面没有项，所以；
因为后面的项都比大，所以，以为首项的最长递减子列是或者，所以；
因为后面的项都比大，所以，因为后面没有项，所以；
所以，即，
【小问2详解】对于，由于数列是的一个排列，故，
若，则每个以为首项的递增子列都可以在前面加一个，得到一个以为首项的更长的递增子列，所以，而每个以为首项的递减子列都不包含，且，
故可将替换为，得到一个长度相同的递减子列，所以，这意味着；
若，同理有，，故，
总之，且和不能同时为零，
故.
【小问3详解】由（2）可知和不能同时为零，故，
当为偶数时，设，一方面有；
另一方面，考虑这样一个数列：，，
则对有，
故此时；
结合以上两方面可得，当为偶数时，的最小值为；当为奇数时，设，
一方面有；
另一方面，考虑这样一个数列：，，
则对有，
故此时；
结合以上两方面可得，当为奇数时，的最小值为；
综上可得，当为偶数时，最小值为；
当为奇数时，的最小值为；