2024-2025学年山东省菏泽市高一下学期教学质量检测数学试题（含答案）

这是一份2024-2025学年山东省菏泽市高一下学期教学质量检测数学试题（含答案），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.i2025=( )
A. 0B. 1C. iD. −i
2.某人打靶时连续射击三次，下列事件中与事件“至少一次中靶”互为对立的是( )
A. 三次都没有中靶B. 三次都中靶C. 至多一次中靶D. 只有一次中靶
3.若菱形ABCD的边长为2，∠A=60∘，则AB⋅BC=( )
A. 4B. 2C. 1D. −2
4.如图，△O′A′B′是水平放置的△OAB用斜二测画法画出的直观图，其中∠O′B′A′=90∘，A′B′=1，则AB=( )
A. 1B. 2C. 2D. 6
5.已知α，β，γ为两两不重合的平面，l，m，n为两两不重合的直线，下列结论中正确的是( )
A. 若α⊥γ，β⊥γ，则α⊥β
B. 若m⊂α，α⊥β，则m⊥β
C. 若m⊂α，n⊂α，m//β，n//β，则α//β
D. 若α∩β=l，β∩γ=m，α∩γ=n，m//n，则l//n
6.如图，某数学兴趣小组欲测量校内旗杆顶部M和教学楼顶部N之间的距离，从C点测得M点的仰角∠MCA=45∘，N点的仰角∠NCB正弦值为35，∠ACB=60∘，旗杆AM高10米，教学楼BN高15米，则MN=( )
A. 6 3米B. 4 13米C. 5 13米D. 10 3米
7.已知样本数据x1，x2，⋯，x2025的平均数和方差分别为a，b，样本数据y1，y2，⋯，y2025的平均数和方差分别是b，a，若yi=2xi−7(i=1,2,⋯,2025)，则y12+y22+⋯+y202522025=( )
A. 5B. 17C. 20D. 2025
8.现有大小和质地相同的6个球，其中有3个红球(标号分别为1、2、3)，3个绿球(标号分别为1、2、3)，按一定方式抽取两球，标号之和大于4即为取球成功.现有三种抽取方式：方式 ①有放回依次抽取两球;方式 ②不放回依次抽取两球;方式 ③按颜色等比例分层抽取两球.记这三种方式取球成功的概率分别为p1，p2，p3.则( )
A. p1>p2>p3B. p3>p2>p1C. p3>p1=p2D. p1=p2=p3
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若虚数z1，z2是方程x2−x+1=0的两根，则下列说法正确的有( )
A. |z1|=|z2|B. z12=z22C. z1+z2=z1z2D. z1z2=|z1|2
10.已知三个随机事件A，B，C，概率均不为0，下列说法正确的有( )
A. 若A⊆B，则P(AB)=P(A)
B. 若A，B互斥，P(A∪B)=0.6，P(B)=0.2，则P(A)=0.6
C. 若P(A∪C)=P(B∪C)，则P(A)=P(B)
D. 若P(AB)=P(AB)，则P(A)=P(B)
11.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，点E，F分别是AD，DD1的中点，点P是底面ABCD内一动点，则下列说法正确的有( )
A. 过B1，E，F三点的平面截正方体所得截面图形是四边形
B. 存在点P，使得FP/​/平面ABC1D1
C. FP+B1P的最小值为 17
D. 若FP⊥CP，则点P轨迹的长度为2π
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知正方形ABCD的边长为1，AB=a,BC=b,AC=c,则|a+b+c|= ．
13.在等腰梯形ABCD中，AD/​/BC，∠ABC=π3，BC=3AD=3，该梯形绕直线AD旋转一周形成的面围成的几何体体积为 ．
14.如图，平面凸四边形ABCD中，AD⊥AC，AB⊥BC，AC平分∠BCD．∠ACD=30∘，则tan∠BDC= ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知点O(0,0)，向量OA=(2,3)，OB=(4,−3)，OC=(1,λ).
(1)若OC⊥AB，求λ的值;
(2)若点P在线段AB的延长线上，且|AP|=32|PB|，求点P的坐标．
16.(本小题15分)
某部门针对某社区建设满意度进行评分，第一轮由8名评委进行评分，评分如下：71，73，76，79，81，83，86，91
第二轮由100名社区居民进行评分，将居民的评分分成[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]五组，并画出其频率分布直方图(如图)．
(1)求a的值并估计这100名居民评分的中位数;
(2)若第一轮评分的平均分为x，第二轮评分的平均分为y(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表).记z=x+y
根据z的取值将社区建设满意度分为三个等级：
试估计该社区建设满意度等级．
17.(本小题15分)
已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，acsC+ 3asinCb+c=1
(1)求角A;
(2)若a= 6，O为平面ABC内一点，满足OA+OB+OC=0，求△BOC面积的最大值．
18.(本小题17分)
品酒师测试通常采用的方法如下：拿出3瓶外观相同但品质不同的酒让其品尝，要求其按品质优劣为它们排序，经过一段时间，等其记忆淡忘后，再让其品尝这3瓶酒，并重新按品质优劣为它们排序，这称为一轮测试.分别以a1，a2，a3表示第一次排序时被排为1，2，3的三种酒在第二次排序时的序号，令X=|a1−1|+|a2−2|+|a3−3|，则X是对两次排序的偏离程度的一种描述.若两轮测试都有X=0，则该品酒师被授予“特级品酒师”称号;若两轮测试都有X≤2，且至少有一轮测试出现X≠0，则该品酒师被授予“一级品酒师”称号，甲没有任何品酒经验，采用随机猜测的方法排序．
(1)试列出甲每轮测试第二次排序时所有可能的结果(a1,a2,a3)构成的样本空间Ω;
(2)甲参加了两轮测试，两轮测试结果相互独立，记事件D=“甲被授予一级品酒师称号”，求P(D);
(3)甲连续两天都参加了两轮测试，两天测试结果相互独立，记事件E=“在这两天中甲至少有一次被授予特级品酒师称号”，求P(E)并解释其意义．
19.(本小题17分)
如图，△ABC与△BCD所在平面互相垂直，在直角三角形△ABC中，AB=AC，在△BCD中，BC⊥BD，∠BCD=60∘，点E、F分别在线段BD、CD上，将△DEF沿直线EF向上翻折，使点D与点A重合．
(1)证明：AC⊥AE;
(2)求直线AF与平面ABE所成角的正弦值;
(3)判断四棱锥A−BEFC是否存在外接球，若存在，求出外接球半径，若不存在说明理由．
参考答案
1.C
2.A
3.B
4.D
5.D
6.C
7.A
8.D
9.ACD
10.ABD
11.BC
12.2 2
13.7π
14.3 35
15.解：(1)AB=OB−OA=(2,−6)，
因为OC⊥AB，
所以OC⋅AB=2−6λ=0得λ=13；
(2)设P(x,y)，
因为点P在线段AB的延长线上且|AP|=32|PB|，
所以AP=32BP，
所以x−2=32(x−4)y−3=32(y+3),
解得：x=8y=−15,
所以点P的坐标为(8,−15)．
16.解：(1)由(0.010+a+0.025+0.030+0.015)×10=1得：a=0.020，
因为0.1+0.2=0.30.5，
所以100名居民评分的中位数位于区间[70,80)，
设100名居民评分的中位数为x，
则0.3+(x−70)×0.025=0.5，解得x=78，
所以a的值为0.020，中位数为78．
(2)x=18(71+73+76+79+81+83+86+91)=80，
y=55×0.1+65×0.2+75×0.25+85×0.3+95×0.15=77，
所以z=x+y=80+77=157，
所以该社区建设满意度等级为满意.
17.解：(1)由acsC+ 3asinCb+c=1，
得acsC+ 3asinC=b+c，
由正弦定理得sinAcsC+ 3sinAsinC=sinB+sinC，
所以sinAcsC+ 3sinAsinC=sin(A+C)+sinC，
化简得 3sinAsinC=csAsinC+sinC，
因为sinC≠0，
所以 3sinA=csA+1，
所以sin(A−π6)=12，
因为0