2024-2025学年湖南省长沙市地质中学高一（下）期末数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年湖南省长沙市地质中学高一（下）期末数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设全集U={1,2,3,4,5,6}，集合A={3,4,6}，B={x∈Z||x|≤2}，则(∁UA)∩B=( )
A. {1,5}B. {1,2}C. {2,3}D. ⌀
2.已知△ABC是锐角三角形，若sin2A−sin2B=sinBsinC，则ab的取值范围是( )
A. (0,2)B. ( 2, 3)C. ( 2,2)D. ( 3,2)
3.函数f(2x)的定义域为[0,1)，则f(1−3x)的定义域是( )．
A. (−2,1]B. (−12,1]C. (−13,13]D. (−2,4]
4.德国心理学家艾⋅宾浩斯研究发现，人类大脑对事物的遗忘是有规律的，他依据实验数据绘制出“遗忘曲线”.“遗忘曲线”中记忆率y随时间t(小时)变化的趋势可由函数y=1−近似描述，则记忆率为50%时经过的时间约为(参考数据：lg2≈0.30，lg3≈0.48)( )
A. 2小时B. 0.8小时C. 0.5小时D. 0.2小时
5.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，若∀a，b∈[0,+∞)，且a≠b，都有af(a)−bf(b)a−bBF，设直线CA，CB与平面EFG所成的角分别为α，β，平面EFG与底面ABC所成的锐二面角为θ，则( )
A. sinθ0)个单位长度，得到函数g(x)的图像，下列说法正确的是( )
A. 当θ=5π6时，g(x)为偶函数
B. 当θ=π6时，g(x)在区间[−π3,π3]上单调递增
C. 当θ=π4时，g(x)在区间[−π6,π6]上的值域为[0, 3]
D. 当θ=π4时，函数y=g(x)−95在区间[−π6,π6]上有2个零点
10.直线l：x−my−2=0(m∈R)与x轴的交点F为抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点，若点O为坐标原点，l与C交于A、B两点.则( )
A. p=8
B. OA⋅OB=−12
C. △OAB重心横坐标的最小值为43
D. 以线段AB为直径的圆被y轴截得的弦长为定值
11.已知函数f(x)=(x+1)2,x≤0|lnx|,x>0，则方程f(f(x))−m=0(m∈R)实数根的个数可以为( )
A. 4B. 6C. 7D. 9
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，ED⊥平面ABCD，FC⊥平面ABCD，ED=2FC=2，则异面直线AE与BF所成角的余弦值为______．
13.已知在△ABC中，AB=2,AC= 17,BC=3,P为平面ABC内一点，则PC⋅(PA+PB)的最小值是______．
14.已知f(x)是定义在R上的偶函数，且∀x1≠x2∈[0,+∞)，f(x1)−f(x2)x1−x2>2(x1+x2)恒成立，若f(2)=8，则满足f(lnm)≤2(lnm)2的实数m的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知向量a=(1,1,0)，b=(−1,0,2)．
(1)若(a+kb)//(2a+b)，求实数k；
(2)若向量a+kb与2a+b所成角为锐角，求实数k的范围．
16.(本小题12分)
如图，多面体ABCDEF中，底面ABCD是菱形，∠BCD=60°，四边形BDEF是正方形且DE⊥平面ABCD．
(Ⅰ)求证：CF//平面ADE；
(Ⅱ)若AE= 2，求多面体ABCDEF的体积V．
17.(本小题12分)
对于函数f(x)，若在定义域内存在实数x，满足f(−x)=−f(x)，则称f(x)为“局部奇函数”．
(1)已知二次函数f(x)=ax2+2x−4a，a∈R，试判断f(x)是否为“局部奇函数”，并说明理由；
(2)若f(x)=4x−m⋅2x+1+m2−1为定义在R上的“局部奇函数”，求函数f(x)在x∈[−1,1]的最小值．
18.(本小题12分)
中国乒乓球队是中国体育军团的王牌之师，屡次在国际大赛上争金夺银，被体育迷们习惯地称为“梦之队”.2024年巴黎奥运会，中国乒乓球队包揽全部五枚金牌.其中团体赛由四场单打和一场双打比赛组成，采用五场三胜制.每个队由三名运动员组成，当一个队赢得三场比赛时，比赛结束.2024年8月10日，中国队对战瑞典队，最终以3：0取得团体赛冠军，赛前某乒乓球爱好者对赛事情况进行分析，根据以往战绩，中国队在每场比赛中获胜的概率均为45．
(1)求中国队以3：0的比分获胜的概率；
(2)求中国队在已输一场的情况下获胜的概率；
(3)求至多进行四场比赛的概率．
19.(本小题12分)
设数列{an}是1，2，…，n(n∈N∗)的一个排列.由{an}中连续r项组成的集合称作“{an}的长为r的子列集”，其中1≤r≤n.任取不大于n的正整数s，t，当st≥n时，若数列{an}的任意长为s的子列集B={b1,b2,…,bs}和数列1，2，…，n的任意长为t的子列集C={c1,c2,…,ct}，都有B∩C≠⌀，则称数列{an}为“好数列”．
(Ⅰ)判断下列数列是否为“好数列”：
①1，3，5，2，4；②1，4，6，2，5，3．
(Ⅱ)证明：由1，2，…，n的排列构成的所有“好数列”中，存在首项不超过[n+12]的“好数列”([x]表示不超过x的最大整数)；
(Ⅲ)若数列{an}为“好数列”，求n的最大值．
参考答案
1.B
2.B
3.C
4.C
5.B
6.B
7.B
8.A
9.AD
10.BC
11.ACD
12.3 1010
13.−6
14.[1e2,e2]
15.解：(1)a+kb=(1−k,1,2k)，2a+b=(1,2,2)，
∵(a+kb)//(2a+b)，∴1−k1=12=2k2，解得k=12；
(2)由(1)知，a+kb=(1−k,1,2k)，2a+b=(1,2,2)，
∵向量a+kb与2a+b所成角为锐角，
∴(a+kb)⋅(2a+b)=(1−k,1,2k)⋅(1,2,2)=1−k+2+4k>0，解得k>−1，
又当k=12时，(a+kb)//(2a+b)，可得实数k的范围为{k|k>−1且k≠12}.
16.(Ⅰ)证明：∵底面ABCD是菱形，∴AD//BC，
∵四边形BDEF是正方形，∴DE//BF，
∵BF∩BC=B，且AD∩DE=D∴平面ADE//平面BCF，
∵CF⊂平面BCF，∴CF//平面ADE．
(Ⅱ)解：连结AC，交BD于O，
∵四边形BDEF是正方形且DE⊥平面ABCD．
∴DE⊥平面ABCD，又AC⊂平面ABCD，∴AC⊥DE，
∵底面ABCD是菱形，∴AC⊥BD，
又BD∩DE=D，∴AC⊥平面BDEF，
∵AE= 2，∠BCD=60°，∴AD=DE=BD=1，
∴AO=CO= 32，
∴多面体ABCDEF的体积：
V=2VA−BDEF=2×13×AO×S正方形BDEF
=2×13× 32×12
= 33．
17.解：(1)f(x)是局部奇函数，理由如下：
若f(−x)=−f(x)，则ax2−2x−4a=−ax2−2x+4a，
整理得，2a(x−2)(x+2)=0有解，
所以x=2或x=−2，
故f(x)是局部奇函数；
(2)由题意得，存在x使得f(−x)=−f(x)，
所以(14)x−m⋅2−x+1+m2−1=−4x+m⋅2x+1−m2+1有解，
整理得，(4x+4−x)−2m(2x+2−x)+2m2−2=0，
令t=2x+2−x，则4x+4−x=t2−2，t≥2，
从而关于t的方程t2−2mt+2m2−4=0，
令F(t)=t2−2mt+2m2−4，
①当F(2)=2m2−4m≤0时，满足题意，此时0≤m≤2，
②当F(2)=2m2−4m>0时，F(t)=0在t≥2有解等价于Δ=4m2−4(2m2−4)≥0m>2F(2)=2m2−4m>0，此时M无解，
所以m的范围[0,2]，
令s=2x，则s∈[12,2]，
f(x)可化为g(s)=s2−2ms+m2−1，对称轴s=m，
当0≤m≤12时，g(s)在[12,2]上单调递增，当s=12时，函数取得最小值g(12)=m2−m−34，
当121，所以由长为m+1的子列集{a2,⋯am+1,am+2}和{am+1,am+2,⋯,a2m+1}
与集合{k−1,k}的交集非空，知k−1∈{am+1,am+2}；
又与集合{k,k+1}的交集非空，知k+1∈{am+1,am+2}，
此时，长为m−1的子列集{a2,⋯,am}∩{k−1,k,k+1}=⌀，矛盾．
所以，当n≥8时，不存在“好数列”．
又数列1，4，6，2，5，3，7是“好数列”．
综上，若数列{an}为“好数列”，n的最大值为7．