广东省清远市2024-2025学年高一下学期期末考试 数学 含解析

这是一份广东省清远市2024-2025学年高一下学期期末考试 数学 含解析，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知复数，则（ ）
A．B．C．3D．1
2．下列各组数的方差最小的是（ ）
A．B．
C．D．
3．设，且相互独立，则（ ）
A．0.5B．0.6C．0.7D．0.9
4．在中，已知，用表示，则（ ）
A．B．
C．D．
5．已知正四棱锥的侧棱长为，侧面与底面所成二面角的余弦值为，则下列结论不正确的是（ ）
A．正四棱锥的底面边长为16B．正四棱锥的高为6
C．正四棱锥的体积为D．正四棱锥的表面积为576
6．已知某中学共有学生1000名，其中男生有600人，现按性别采用分层随机抽样的方法抽取100人，抽取的样本中男生身高的平均数和方差分别为160和4，女生身高的平均数和方差分别为155和3，则估计该校学生身高的总体方差是（ ）
A．9.6B．9C．8.6D．8
7．已知为四边形所在平面内一点，满足，若，且为的中点，是中点，则（ ）
A．1B．C．D．3
8．已知函数的图象关于直线对称，的图象向右平移个单位后得到函数的图象，若在区间内恰有3个解，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．在复平面内，为坐标原点，已知向量对应的复数分别为，则以下正确的是（ ）
A．点位于第二象限B．
C．向量对应的复数为D．
10．某学校对高一学生预选科进行调查统计，发现学生选科仅有物化生､政史地､物化地､物化政､生史地五种组合，其中选择物化地和物化政组合的人数相等，并绘制得到如下的扇形图和条形图，则（ ）
A．该校高一学生总人数为800
B．该校高一学生中选择物化政组合的人数为90
C．该校高一学生中选择物理的人数比选择历史的人数多
D．按选科组合用分层随机抽样的方法从该校高一学生抽取40人，则生史地组合应抽取8人
11．已知正方体，点满足，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小值为1
B．当时，平面截得正方体的截面面积为
C．当时，平面
D．当时，平面
三、填空题
12．已知向量，若，则 .
13．在中，角的对边分别为，已知，则 .
14．如图，底面半径为2的圆锥，将其放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点滚动，当这个圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了3周，则该圆锥的外接球表面积为 .
四、解答题
15．已知.
(1)求实数；
(2)若，求.
16．在中，角的对边分别为，若.
(1)求；
(2)若的面积为，求的周长.
17．某校组织高一年级800名学生数学竞赛，从中随机抽取了100名学生竞赛成绩进行适当分组，得到如下频率分布直方图.
(1)求频率分布直方图中的值；
(2)估计这100名学生的平均分（样本的平均数可以用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和近似估计）；
(3)若要从这800人中淘汰728人进入下一轮复赛，根据样本频率分布直方图估计进入复赛最低分数线.
18．某校数学建模社团招聘社长职位分笔试与面试两个环节，在笔试中有两轮答题：第一轮从类的5个问题中任选两题作答，若两题都答对，则得40分，否则得0分；第二轮从类的5个问题中任选两题作答，每答对1题得30分，答错得0分.若两轮总分不低于60分则进入面试环节.小红和小明参加此次招聘活动，已知小红对类每个问题的答对的概率均为0.5.在类的5个问题中，小明只能答对4个问题，在类的5个问题中，小明每个问题答对的概率都为0.4.他们回答任一问题正确与否互不影响.
(1)求小明在第一轮得40分的概率；
(2)求小红两轮总分得60分的概率；
(3)试判断小红和小明谁更有机会进入面试环节？
19．三余弦定理是空间角的重要结论之一，如图1：设点为平面外一点，过点的斜线在平面上的射影为为平面上的任意直线，则.

(1)证明以上三余弦定理；
(2)如图2，在平行六面体中，，.
①证明：平面平面；
②若直线与平面所成角的正弦值为，求点到平面的距离.
1．B
根据复数乘法的运算法则求解.
【详解】因为，则.
故选：B.
2．A
根据方差的意义立即选出正确答案.
【详解】A 组所有数据相同，完全集中，方差为 0；
B 组数据在 4 到 6 之间，有一定分散；
C 组数据在 3 到 4 之间，相对集中，但方差大于 A 组；
D 组数据从 5 到 9，分散程度最大，方差大于 A 组；
所以A 组方差最小.
故选：A.
3．C
利用相互独立事件乘法公式，再由和事件概率公式即可求解.
【详解】由相互独立，所以，
又因为，所以，
而，
故选：C.
4．B
根据给定条件可得为中点，再利用中点向量式求得答案.
【详解】在中，由，得为中点，
所以.
故选：B
5．C
在正四棱锥中，设底面边长为，根据侧棱长和侧面与底面所成的二面角可求底边的边长，从而可求体高、体积以及表面积，据此可判断各项的正误．
【详解】如图，在正四棱锥中，为正方形的中心，，
则为的中点，连接，，，
则平面，，
则为侧面与底面所成的锐二面角，则,
设底面边长为．则．
在中，，
解得，故底面边长为，故A正确；
正四棱锥的高，故B正确
体积，故C不正确
表面积为，故D正确.
故选：C．
6．A
利用分层数据中的平均数公式和方差公式来计算样本中的平均数和方差，问题即可得解.
【详解】由题意得：抽取的100人中，男生有60人，女生有40人，
由抽取的样本中男生身高的平均数为160，女生身高的平均数为155，
可得这100位学生的平均身高为，
再由抽取的样本中男生身高的平均数和方差分别为160和4，女生身高的平均数和方差分别为155和3，
则这100位学生身高的方差为，
所以估计该校学生身高的总体方差是9.6，
故选：A.
7．C
由，根据向量的加法减法运算法则可得四边形为平行四边形，利用平面向量线性定理将向量用表示，再利用向量的数量积运算律求解即可.
【详解】∵向量，，，满足等式，
∴，即，
则四边形为平行四边形．
因为，，
所以，,
分别为、的中点，
所以
,
故选：C.
8．D
利用辅助角公式，结合对称轴可求解析式，再利用平移可得，利用正弦值等于在区间内内恰有3个解,可得到动区间端点的取值范围，即可求解.
【详解】由的图象关于直线对称，
则，又因为，所以，
即
由的图象向右平移个单位后得到函数的图象，
则，
由可得：，
因为，所以，
根据在区间内恰有3个解，
则，解得：，
故选：D.
9．AD
根据给定条件，求出向量的坐标，再逐项判断即得.
【详解】依题意，向量，
对于A，点位于第二象限，A正确；
对于B，，B错误；
对于C，，向量对应的复数为，C错误；
对于D，，，D正确.
故选：AD
10．ACD
选项A：由选科为政史地这种组合的学生人数和所占比例即可求得总人数；选项B：由选科为物化政这种组合的学生所占比例和高一学生总人数即可求得选科为物化政这种组合的学生人数；选项C：比较选择物理的学生所占比例与选择历史的学生所占比例即可；选择D：根据选科是生史地这种组合的学生所占比例进行分层随机抽样即可.
【详解】选项A：由扇形图可知选科是政史地这种组合的学生所占比例为，
由条形图可知选科是政史地这种组合的学生人数为200，
故该校高一学生总人数为，选项A正确；
选项B：由条形图可知选科是生史地这种组合的学生人数为160，
则选科是生史地这种组合的学生所占比例为，
依题意，选择物化地和物化政组合的人数相等，
因此选科是物化政这种组合的学生所占比例为，
故选科是物化政这种组合的学生人数为，选项B错误；
选项C：该校高一学生中选择物理的学生所占比例为：，
该校高一学生中选择历史的学生所占比例为：，，
故该校高一学生中选择物理的人数比选择历史的人数多，故选项C正确；
选项D：选科是生史地这种组合的学生所占比例为，
故生史地组合应抽取人，选择D正确.
故选：ACD.
11．ABD
首先确定点在四边形区域内（包括边界），由平面即可判断A；当时，确定点位置，从而确定截面的形状，通过相关计算即可判断B；取的中点，的中点，连接，从而确定点的位置，再证明平面∥平面，即可判断C；通过证明平面，即可判断D.
【详解】由知，点在四边形区域内（包括边界）.
对于A，因为平面，所以当点在点时，取最小值，故A正确；
对于B，当时,所以是的中点.
取的中点，的中点，连接，，，，，，
又∥且，∥且，
所以∥且，所以四边形为平行四边形，
所以∥，
同理可知，∥，所以∥，显然，
所以平面截得正方体的截面为菱形，
因为
所以，故B正确；
对于C，取的中点，的中点，连接，则，
所以，
因为，所以，则点在线段上，
连接，，，，，，则∥，∥，
平面，平面平面，所以∥平面，
同理可得∥平面，
又，平面，所以平面∥平面，
显然平面与平面有公共点，且点平面，
所以与平面相交，则与平面相交，故C错误；
对于D，当时点在线段上（点除外），连接，则，
又平面，平面，所以，
又，平面，所以平面，
所以平面，故D正确.
故选：ABD.
12．
根据向量平行的坐标公式计算即可.
【详解】因为，，
所以，得.
故答案为：.
13．
明智同角公式及正弦定理求解即得.
【详解】在中，由，得，
由正弦定理，得.
故答案为：
14．
根据题意，以母线长为半径绕一圈可带动底面圆走三圈，推知母线长后即可求解.
【详解】设圆锥母线长，底面半径为，依题意，，即，
因此圆锥轴截面等腰三角形底角，，，
此三角形外接圆半径即为圆锥的外接球半径，
所以该圆锥的外接球表面积为.
故答案为：
15．(1)
(2)5.
（1）利用复数乘法，结合复数相等求出.
（2）利用复数求出，进而求出其模.
【详解】（1）由，得，则，
所以.
（2）由（1）得，则，
所以.
16．(1)；
(2)
（1）由正弦定理边化角，再利用两角和的正弦公式求解.
（2）由三角形面积公式及余弦定理得出结果.
【详解】（1）在中，由及正弦定理，得，
则，
即，而，则，
又，所以.
（2）由的面积为，得，解得，
由余弦定理得：
，即，
解得，所以的周长为.
17．(1)
(2)
(3)108
(1)根据频率直方图的特征可知所有的频率之和为1，列出方程，解方程即可；
(2)根据频率直方图，利用每组的组中值乘以对应的频率，再求和即可；
(3)根据频率分布直方图进行总体百分位数的估计即可.
【详解】（1）由题意得
，解得.
（2）平均分为：.
（3）由直方图可知，成绩在内的频率为，成绩在内的频率为，
因为
设复赛最低分数线为，则位于区间内，
故.
18．(1)
(2)
(3)小明谁更有机会进入面试环节.
（1）对A类的5个问题进行编号：，设小明只能答对4个问题的编号为：，列出所有的样本空间，即可求出小明在第一类得40分的概率；
（2）小红两轮总分得60分，只能有两种得分情况：小红第一轮答错一题得分，第二轮答对两题得分或小红当第一轮答错两题得分，第二轮答对两题得分，求对应事件的概率再求和即可得解.
（3）依题意能够晋级复赛，则第一轮答对两题得分，第二轮答对一题得分；或第一轮答对两题得分，第二轮答对两题得分；或第一轮答错两题得分，第二轮答对两题得分；或第一轮答对一题得分，第二轮答对两题得分；分别求出小红和小明晋级复赛的概率，进行比较得出结论.
【详解】（1）对A类的5个问题进行编号：，第一轮从A类的5个问题中任选两题作答，
则有共种，
设小明只能答对4个问题的编号为：，
则小明在第一轮得40分，有共种，
则小明在第一轮得40分的概率为：；
（2）设“小红两轮总分得60分”为事件，“小红第一轮答错一题得分，
第二轮答对两题得分”为事件;“小红当第一轮答错两题得分，第二轮答对两题得分”.
则,
;
.
（3）由（1）知，小明在第一轮得40分的概率为，
则小明在第一轮得0分的概率为：，
依题意，两人能够晋级复赛，即两轮总积分不低于60分
当第一轮答对两题得分，第二轮答对一题得分时，
小红和小明晋级复赛的概率分别为：
；
；
当第一轮答对两题得分，第二轮答对两题得分时，
小红和小明晋级复赛的概率分别为：
；；
当第一轮答错一题得分，第二轮答对两题得分时，
小红和小明晋级复赛的概率分别为：
；；
当第一轮答错两题得分，第二轮答对两题得分时，
小红晋级复赛的概率分别为：
；
小红晋级复赛的概率为：；
小明晋级复赛的概率为：；
，
小明更有机会进入面试环节.
19．(1)证明见解析；
(2)①证明见解析；②.
【详解】（1）在射线上任取不同于点的点，设点在平面上的射影点为，
则平面，，在平面内过点作于点，连接，
因为平面，平面，则，
因为，，平面，
则平面，又平面，因此，
，
所以.

（2）①在平行六面体中，连接，连接，
由，得是菱形，则，为中点，
又，则≌，，因此，
而平面，则平面，又平面，
所以平面平面.

②由①得，在平面内射影为，令在平面内射影为，
则平面，是直线与平面所成角，
即，，由①得平分，即，
由（1）得，，
，
由平面平面，得点到平面的距离等于点到平面的距离，
由，得，又，
因此，解得，题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
A
C
B
C
A
C
D
AD
ACD
题号
11









答案
ABD