专题01 空间向量及其线性运算-【暑假衔接讲义】2025年新高二数学暑假提升精品讲义（含答案）（人教A版2019选择性必修第一册）

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知识点01：空间向量的有关概念
1、空间向量的有关概念
（1）概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，空间向量的大小叫做空间向量的长度或模；如空间中的位移速度、力等．
（2）几类特殊的空间向量
2、空间向量的表示
表示方法：和平面向量一样，空间向量有两种表示方法：
（1）几何表示法：用有向线段来表示，叫向量的起点，叫向量的终点；
（2）字母表示法：用表示．向量的起点是，终点是，则向量也可以记作，其模记为或.
知识点02：空间向量的加法、减法运算
1、空间向量的加减法
空间中任意两个向量都是共面的，它们的加、减法运算类似于平面向量的加减法（如下图）．

2、空间向量加减法运算律
交换律： 结合律：
小结：空间向量加法的运算的小技巧
（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，
即：
（2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量，
即：；
知识点03：空间向量的数乘运算
1、定义：与平面向量一样，实数与空间向量的乘积仍然是一个向量，称为向量的数乘运算．
2：数乘向量与向量的关系
3、对数乘向量与向量的关系的进一步理解：
（1）可以把向量模扩大（当时），也可缩小（当时）；可以不改变向量的方向（当时），也可以改变向量的方向（当时）．
（2）实数与向量的积的特殊情况：当时，；当时，若，则．
（3）实数与向量可以求积，但是不能进行加减，例如，，没有意义，无法运算．
知识点04：共线向量
1、空间向量共线的充要条件：对任意两个空间向量 QUOTE ， QUOTE ， QUOTE ∥ QUOTE 的充要条件是存在实数 QUOTE ，使得 QUOTE .
2、直线的方向向量：如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量 QUOTE ，则对于直线l上任意一点 QUOTE ，存在实数 QUOTE ，使得 QUOTE .
与向量 QUOTE 平行的非零向量称为直线l的方向向量．这样，直线l任意一点都可以由直线l上的一点和它的方向向量表示，也就是说，直线可以由其上一点和它的方向向量确定。
3、证明空间三点共线的三种思路：对于空间三点P、A、B可通过证明下列结论来证明三点共线
（1）存在实数 QUOTE ，使 QUOTE 成立.
（2）对空间任一点O，有 QUOTE .
（3）对空间任一点O，有 QUOTE .
知识点05：共面向量
1、定义：如图，如果表示向量 QUOTE 的有向线段 QUOTE 所在的直线OA与直线l平行或重合，那么称向量 QUOTE 平行与直线l．如果直线OA平行于平面 QUOTE 或在平面 QUOTE 内，那么称向量 QUOTE 平行于平面 QUOTE ．平行于同一个平面的向量，叫做共面向量．
2、共面向量定理：如果两个向量不共线，那么向量与向量共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使
3、空间共面向量的表示
如图空间一点位于平面内的充要条件是存在有序实数对，使．
或者等价于：对空间任意一点，空间一点位于平面内（四点共面）的充要条件是存在有序实数对，使，该式称为空间平面的向量表示式，由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定．
4、拓展
对于空间任意一点，四点共面（其中不共线）的充要条件是（其中）．

【题型01：空间向量的有关概念辨析】
一、单选题
1．（23-24高二上·山东日照·阶段练习）下列命题中为真命题的是（ ）
A．向量与的长度相等
B．将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆
C．空间非零向量就是空间中的一条有向线段
D．不相等的两个空间向量的模必不相等
2．（23-24高二上·陕西咸阳·阶段练习）在长方体中，下列向量与是相等向量的是（ ）
A．B．C．D．
3．（24-25高二上·全国·课后作业）已知正方体的中心为O，则下列各结论中正确的是（ ）
A．与是一对相反向量
B．与是一对相反向量
C．与是一对相反向量
D．与是一对相反向量
二、多选题
4．（24-25高二上·安徽合肥·期中）下列说法正确的有（ ）
A．设是空间向量，若与共线，与共线，则与共线
B．若两个非零向量与满足，则
C．零向量与任何向量都共线
D．两个单位向量一定是相等向量
5．（24-25高二下·全国·课后作业）下列命题是假命题的是（ ）
A．若分别表示空间两向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量
B．的充要条件是A与C重合，B与D重合
C．若向量，满足，且与同向，则
D．若两个非零向量与满足，则与共线
【题型02：空间向量的线性运算】
一、单选题
1．（24-25高二上·浙江绍兴·期中）在平行六面体中，运算的结果为（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高二下·甘肃·期中）在空间四边形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，则（ ）
A．B．C．D．
3．（24-25高二上·河北·阶段练习）如图，在空间四边形ABCD中，E，M，N分别是边BC，BD，CD的中点，DE，MN交于F点，则（ ）
A．B．C．D．
4．（24-25高二下·安徽六安·阶段练习）如图所示，在正方体中，下列各式中运算结果为向量的个数是（ ）
①； ② ③； ④．
A．1B．2C．3D．4
5．（24-25高二上·广东深圳·期末）如图，在四面体ABCD中，E是BC的中点，，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【题型03：共线向量及其求参数问题】
一、单选题
1．（24-25高二上·湖南永州·期中）下列条件中，能说明空间中不重合的三点、、共线的是（ ）
A．B．C．D．
2．（24-25高二下·福建龙岩·期中）已知，，不共面，若，，且三点共线，则（ ）
A．B．1C．2D．3
3．（24-25高二上·天津河西·期中）设空间四点满足，其中，则（ ）
A．点一定在直线上B．点一定不在直线上
C．点不一定在直线上D．以上答案都不对
4．（24-25高二上·四川·期中）平行六面体中，，则实数的值为（ ）
A．1B．C．2D．3
5．（24-25高二下·全国·课后作业）已知A，B，C三点共线，O为空间任一点，则①；②存在三个不为0的实数，m，n，使，那么使①②成立的与的值分别为（ ）
A．1，B．，0C．0，1D．0，0
【题型04：共面向量及其求参数问题】
一、单选题
1．（23-24高二上·浙江杭州·期末）对于空间一点和不共线三点，且有，则（ ）
A．四点共面B．四点共面
C．四点共面D．五点共面
2．（23-24高二上·河南洛阳·阶段练习）在下列条件中，一定能使空间中的四点M，A，B，C共面的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（24-25高二上·江苏无锡·期中）设为空间的一个基底，，，，若，，共面，则（ ）
A．B．C．D．
4．（24-25高二上·湖南娄底·期末）已知为空间任意一点，四点共面，且任意三点不共线，若，则的值为（ ）
A．B．C．D．1
5．（24-25高二上·广东·期中）已知A，B，C三点不共线，点O不在平面ABC内，，若A，B，C，D四点共面，则的最大值为（ ）
A．B．C．1D．2
一、单选题
1．（24-25高二上·广东梅州·期末）如图，在平行六面体中，下列说法错误的是（ ）
A．B．C．D．
2．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知M，A，B，C为空间中四点，任意三点不共线，且，若M，A，B，C四点共面，则的值为（ ）
A．0B．1C．2D．3
3．（24-25高二下·浙江·阶段练习）三个非零向量则“共面”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．（24-25高二上·内蒙古鄂尔多斯·期中）如图，在四面体中，是棱上一点，且是棱的中点，则（ ）

A．B．
C．D．
5．（24-25高二上·辽宁丹东·期末）在四面体中，，，，点满足，为的中点，且，则（ ）
A．B．C．D．
6．（24-25高二上·上海青浦·期末）已知点D在确定的平面内，是平面外任意一点，满足，且，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
7．（24-25高二上·广东广州·期中）给出下列命题，其中正确的命题是（ ）
A．若，则或
B．若向量是向量的相反向量，则
C．在正方体中，
D．若空间向量、、满足，，则
8．（23-24高二·全国·课堂例题）如图所示，在长方体中，，，，则在以八个顶点中的两个分别为始点和终点的向量中（ ）

A．单位向量有8个B．与相等的向量有3个
C．的相反向量有4个D．模为的向量有4个
9．（23-24高二上·重庆万州·阶段练习）以下四个命题中错误的是（ ）
A．向量，，若，则
B．若空间向量、、，满足，，则
C．对于空间向量、、，满足，，则
D．对空间任意一点O和不共线的三点A、B、C，若，则P、A、B、C四点共面
三、填空题
10．（24-25高二上·全国·课后作业）在空间四边形中，连接、.若是正三角形，且为其中心，则的化简结果为 .
11．（24-25高二上·陕西渭南·阶段练习）设，是空间两个不共线的向量，已知，，，且A，B，D三点共线，则 ．
12．（24-25高二上·上海嘉定·期中）已知，，是不共面向量，，，，若，，三个向量共面，则实数 .
13．（24-25高二上·上海·阶段练习）已知，，，三点不共线，为平面外任意一点．若．且，，，四点共面，则实数 ．
四、解答题
14．（24-25高二上·安徽·阶段练习）已知向量是空间中不共面的三个向量，.
(1)若，求的值；
(2)若四点共面，求的值.
名称
定义及表示
零向量
长度为0的向量叫做零向量，记为
单位向量
模为1的向量称为单位向量
相反向量
与向量长度相等而方向相反的向量，称为的相反向量，记为
相等向量
方向相同且模相等的向量称为相等向量
的范围
的方向
的模
与向量的方向相同
，其方向是任意的
与向量的方向相反