精品解析：广东省大湾区2024-2025学年高一下学期期末统一测试数学试卷

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数学
本试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、考场号、座位号和准考证号填写在答题卡上，将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”．
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效．
4．考生必须保证答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．
1. 设为虚数单位，若复数是纯虚数，则实数的值为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 1或3
2. 已知平面向量，若，则（ ）
A B. C. D.
3. 已知相互啮合的两个齿轮，大轮有48齿，小轮有20齿，当大轮转动一周时，小轮转动的角度（弧度）是（ ）
A. B. C. D.
4. 设，是两个平面，m，l是两条直线，则下列命题为真命题是（ ）
A. 若，，，则B. 若，，，则
C. 若，，，则D. 若，，，则
5. 如图，水平放置的的直观图恰为腰长为2的等腰直角三角形，则中最长边的长为（ ）
A. B. 4C. D. 6
6. 如图，已知直线，为之间一定点，并且点到的距离为2，到的距离为1.为直线上一动点，作，且使与直线交于点，则△面积的最小值为（ ）

A. B. C. D.
7. 如图，高度为的圆锥形玻璃容器中装了水，则下列四个容器中，水的体积最接近容器容积一半的是（ ）
A. B.
C. D.
8. 若函数在区间上恰有两个零点，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）

A. 的图象关于直线对称
B. 在上单调递增
C. 是奇函数
D. 将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象
10. 如图，某校测绘兴趣小组为测量河对岸直塔AB（A为塔顶，B为塔底）的高度，选取与B在同一水平面内的两点C与D（B，C，D不在同一直线上），测得测绘兴趣小组利用测角仪可测得的角有：，则根据下列各组中的测量数据可计算出塔AB的高度的是（ ）
A. s，B. s，
C s，D. s，
11. 已知一个直三棱柱的顶点都在一个球的球面上，该棱柱的底面为等腰直角三角形，且侧棱长与底面三角形的斜边长相等，现过球心作一截面，则截面的可能是（ ）
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12 化简______.
13. 函数的定义域是__________.
14. 多面体上，位于同一条棱两端顶点称为相邻的顶点．如图所示，正方体的一个顶点在平面内，其余顶点在的同侧．正方体上与顶点相邻的三个顶点到的距离分别为1，2和4，则正方体其余四个顶点到平面的距离之和为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 如图，在中，已知为线段上一点，，．
（1）求实数，的值；
（2）若，，且与的夹角为，求的值．
16. 已知函数
（1）求的最小正周期;
（2）求在区间上的最大值与最小值;
（3）若，且，求的值.
17. 如图，记的内角的对边分别为．已知点在边上，，．
（1）求证：；
（2）若，
（i）求；
（ii）当时，求的周长．
18. 如图，在三棱柱中，D为的中点，，平面平面．
（1）证明：平面平面；
（2）设，四棱锥的体积为，求平面与平面ABC所成角的余弦值．
19. 若实数，且满足，则称是“余弦相关”的．
（1）若，求出所有与之“余弦相关”的实数；
（2）若实数是“余弦相关”的，求的取值范围；
（3）若不相等的两个实数是“余弦相关”的，求证：存在实数，使得为“余弦相关”的，也为“余弦相关”的．